Pure Mathematics
Vol.07 No.02(2017), Article ID:20108,32 pages
10.12677/PM.2017.72015

Study on Unsteady Free Boundary Problem

Xiaoqing Wu

College of Science, Southwest Petroleum University, Chengdu Sichuan

Received: Mar. 11th, 2017; accepted: Mar. 28th, 2017; published: Mar. 31st, 2017

ABSTRACT

In this paper, the singular interior boundary problem of heat conduction equation is established:
seeking, satisfy
(I)
which is the function to be determined.
And the linear function expression of singular inner boundary is obtained, satisfying
We establish free boundary problem A and free boundary problem B on homogeneous heat conduction equation.
The problem A is free boundary problem in region. The problem B is free boundary problem in region. It is obtained that free boundary about problem A and problem B are the linear function. The free boundary about problem A and problem B coincides with the singular inner boundary.
Similarly,we establish the singular interior boundary problem of Black-Scholes equation:
seeking, satisfy
(II)
which and are functions to be determined.
When final function, and boundary value function, the singular inner boundary is obtained, and the solution function satisfies and when final function, the singular inner boundary is obtained, and the solution function satisfies and boundary value function.
We establish free boundary problem A and free boundary problem B on homogeneous Black-Scholes equation.
The problem A is free boundary problem in region. The problem B is free boundary problem in region. It is determined that free boundary about problem A and problem B. The conclusion by the final value function satisfies or. Thus the conclusion that is the public free boundary about the problem A and problem B,which satisfies the condition, constant determined by the parameters in the Black-Scholes equation.

Keywords:Heat Conduction Equation, Black-Scholes Equation, Free Boundary Problem, Inverse Problem

不定常自由边界问题研究

吴小庆

西南石油大学理学院,四川 成都

收稿日期:2017年3月11日;录用日期:2017年3月28日;发布日期:2017年3月31日

摘 要

本文建立了热传导方程的奇异内边界问题:求,使其满足
(I)
其中为待求函数。并获得奇异内边界的线性函数表达式,且解函数满足。同时获得了热传导方程的问题A (在区域上的自由边界问题)和问题B(在区域上的自由边界问题)的自由边界皆为,问题A和问题B的自由边界与奇异内边界重合;线性函数表达式为最佳热源位置边界。完全类似地,我们建立了Black-Scholes方程的奇异内边界问题:
,使其满足
(II)
其中为待求函数。
获得:当终值函数且边值函数时;奇异内边界为,且解函数满足;当终值函数时;获得奇异内边界为,且解函数满足。同时建立了自由边界问题A(在区域上)和自由边界问题B(在区域上)。获得问题A和问题B在齐次终值条件下确定的自由边界都为。终值函数满足得到。从而问题A和问题B具有公共自由边界,满足条件,常数由Black-Scholes方程中的参数唯一确定。

关键词 :热传导方程,Black-Scholes方程,自由边界问题,反问题

Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

一个偏微分方程的定解问题,若其定解区域的部分边界是待定的,它和定解问题的解彼此相关且必须同时确定。这类定解问题,人们称之为自由边界问题,其待定边界称为自由边界。所有自由边界问题都是非线性问题。自由边界问题的研究有着广泛的实际背景。在渗流力学、等离子物理、塑性力学、射流等方面都提出了各种不同形式的定常和不定常自由边界问题 [1] - [18] 。热传导方程和Black-Scholes方程的自由边界问题都是不定常自由边界问题。

本文建立了热传导方程的奇异内边界问题:求,使其满足

(I)

其中为待求函数。并获得奇异内边界的线性函数表达式,且解函数满足;同时获得了热传导方程的自由边界问题A(在区域上)和问题B(在区域上)的自由边界皆为,问题A和问题B的自由边界与奇异内边界重合;线性函数表达式为最佳热源位置边界。完全类似地,我们建立了Black-Scholes方程的奇异内边界问题:求,使其满足

(II)

,且,获得奇异内边界为,且解函数满足

获得奇异内边界为,且解函数满足。同时建立了自由边界问题A(在区域上)和自由边界问题B(在区域上)。获得问题A和问题B的自由边界都为。终值函数满足条件下得到。从而问题A和问题B具有公共自由边界

2. 主要结果

2.1. 热传导方程在区域具有多条奇异内边界的初值问题数学模型I

符号说明:

函数的支集,支集的闭包,记函数集合

是定义在中的连续函数};

数学模型I (热传导方程具有多条奇异内边界的初值问题):

其中:微分算子

(4)

为常数,且为Dirac函数。

数学模型I.1 (齐次热传导方程的初值问题):

(5)

数学模型I.2 (热传导方程具有多条奇异内边界带齐次初值条件的初值问题):

(6)

2.1.1. 热传导方程在区域具有多条奇异内边界的初值问题的数学模型I的结果

定理1 (具有多条奇异内边界的热传导方程初值问题解的存在定理):若

1)为充分光滑的单调函数,

2)

3)

则数学模型I的唯一精确解

(7)

(8)

(9)

其中(8)式是数学模型I.1的唯一精确解;(9)式是数学模型I.2的唯一精确解。

2.1.2. 数学模型I的求解过程

先考虑特征值问题

(10)

这是奇异施图姆-刘维尔问题。设方程的特解形式为,代入方程即得特征方程

(11)

特征根

即有

(12)

于是得到特征值

(13)

特征函数

(14)

,由于

即知特征函数系是无界区间上带权函数的正交系。

正交关系

(15)

可以将定义在区间的连续函数展为特征函数的积分形式

(16)

由正交关系

(17)

由(16),(17)这一对关系式可以引入广义特征函数法 [17] 求解数学模型I。由(16)将模型I的解表为

(18)

由(17)则有

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

将(18),(22),(23)三式代入方程(1)则有

(24)

于是

(25)

由(2)式和(18),(19)有

(26)

(27)

得到关于的非齐次常微分方程的初值问题

先求对应的齐次常微分方程

(30)

的通解。

(31)

用常数变易法求解非齐次常微分方程的初值问题。设满足非齐次常微分方程通解形式为

(32)

其中为待求函数。

将上式代入非齐次常微分方程(30),即有

对上式在区间上积分

利用(29)即有

(34)

将上式代入(18)式即有

(35)

其中由(27),由(21)确定,由(13)给出,即有

(36)

(37)

(38)

利用的表达式(27)即有

即有

(39)

将(21)代入(38)得到

(40)

化简上式得到

(41)

即得到数学模型I的唯一解

(42)

其中:由(40)式给出,由(41)式给出。即知(8)式是数学模型I.1的解;(9)式是数学模型I.2的解。

2.1.3. 热传导方程N + 1条奇异内边界的确定

数学模型II (热传导方程确定N+1条奇异内边界的数学模型):

,使其满足

上述问题中函数是待定的。

定理2 (热传导方程确定N + 1条奇异内边界的数学模型的精确解):若

1)

2)为充分光滑的单调函数,

则数学模型II的唯一精确解,且可表为

边值函数唯一确定为

证明:与文 [17] 完全类似。从略。

自由边界问题A (热传导方程在区域上的齐次初值条件的自由边界问题):

,使其满足

上述问题中函数是待定的。

推论2.1 (自由边界问题A解的存在定理):若

1),

2)

则自由边界问题A的唯一精确解

边值函数唯一确定为

自由边界问题B (热传导方程方程在区域上的齐次初值条件的自由边界问题):求,使其满足

上述问题中函数是待定的。

推论2.2 (自由边界问题B解的存在定理):若

1)

2)

则自由边界问题B的唯一精确解

边值函数唯一确定为

引理3:若

1) 当;则数学模型I.1的解

(74)

且满足

2) 当;则数学模型I.1的解

(75)

且满足

3) 当;则数学模型I.1的解

(76)

且满足

证明:1) 当;由数学模型I.1的解(8)式即有

(77)

(78)

从而,故

(79)

(80)

同理可证3) 。证毕。

定理3 (数学模型I的精确解及其性质):若

1)

2)

3)

则数学模型I有唯一精确解,且可表为

(81)

(82)

(83)

且满足

边值函数唯一确定为

证明:由定理2有

由引理3即有

从而

证毕。

自由边界问题IA (热传导方程方程在区域上的非齐次初值条件的自由边界问题):求,使其满足

其中函数是待定的。

推论3.1(自由边界问题IA解的存在定理):若

1)

2)

3)

则自由边界问题IA存在唯一精确解

其中

(95)

(96)

边值函数唯一确定为

自由边界问题IB (热传导方程在区域上的非齐次初值条件的自由边界问题):求,使其满足

其中函数是待定的。

推论3.2 (自由边界问题IB解的存在定理):若

1)

2)

3)

则自由边界问题IB存在唯一精确解

其中

(106)

(107)

边值函数唯一确定为

附注1:自由边界问题IA 是在区域上的自由边界问题。研究结果表明自由边界问题IA的解不仅仅依赖于内的状况,也受到外区域状况的影响。由于在区域具有N + 1条奇异内边界的假设,从而在区域内具有N条奇异内边界,使得自由边界问题IA的解函数具有复杂性和不确定性;而问题IA的自由边界的确定却与内是否具有奇异内边界无关。对自由边界问题IB结论完全类似。于是为了简化问题,下面建立有且仅有一条奇异内边界的数学模型。

2.2. 热传导方程在区域有且仅有一条奇异内边界的初值问题数学模型III的研究

数学模型III (热传导方程有且仅有一条奇异内边界的初值问题):求,使其满足

其中函数是待定的。

定理4:若1),2)

则数学模型III存在唯一精确解

其中

(118)

(119)

边值函数唯一确定为

(120)

证明:由定理2中令即得。

附注2:在定理4的条件下得到精确解且同时确定了边值函数。对任意给定的边值函数可以导致确定奇异内边界的问题无解。

自由边界问题IIIA (热传导方程在上的自由边界问题):求,使其满足

推论3.1 (自由边界问题IIIA解的存在定理):若

1),2)

则自由边界问题IIIA存在唯一精确解:

其中

(128)

(129)

边值函数唯一确定为

(130)

自由边界问题IIIB (热传导方程在上的自由边界问题):求,使其满足

推论3.2 (自由边界问题IIIB解的存在定理):若

1),2)

则自由边界问题IIIB存在唯一精确解

其中

(138)

(139)

边值函数唯一确定为

(140)

定理6 (数学模型III的奇异内边界与问题IIIA和IIIB的自由边界三线合一定理之一):若

1),2)

则数学模型III与问题IIIA和IIIB同解

同时由(140)唯一确定数学模型III与问题IIIA和IIIB中的边值函数

附注3:关于条件(140),也可以称为数学模型III有解的相容性条件,若给定函数,则条件(140)是关于函数的第一类Volterra积分方程;函数必须是满足积分方程(140)的解。

附注4:函数也可以是广义函数。例如,若边值函数由给出,容易验证是满足积分方程(140)的解。

定理7 (数学模型III的奇异内边界与问题IIIA和IIIB的自由边界三线合一定理之二):若

1),2)

则数学模型III与问题IIIA和IIIB同解

(143)

同时唯一确定边值函数为

(144)

2.3. Black-Scholes方程自由边界问题研究

符号说明:记

函数的支集,支集的闭包

记函数集合

中的连续函数};

;

.

假设在区域内存在一条奇异内边界它把区域分成两个部分; (空集)。

齐次Black-Scholes方程

(145)

在区域的自由边界问题,所考虑问题的未知函数在开区域满足齐次Black- Scholes方程,在自由边界上具有一定奇性,用自由项来描述之,故我们考虑非齐次Black-Scholes方程

(146)

的终值问题。在问题中不仅要求未知函数在的连续解,同时要确定奇异内边界;称其为奇异内边界问题。本文分别考虑Black-Scholes方程具有齐次终值条件和非齐次终值条件的奇异内边界问题。对于区域 (或)上的自由边界问题即可假设在开区域 (或)内没有奇异内边界或奇异点,用延拓法转换为方程(146)的奇异内边界问题来研究。

2.3.1. Black-Scholes方程带齐次终值条件的奇异内边界问题

定解问题I (Black-Scholes方程带齐次终值条件的奇异内边界问题):求,使其满足

其中边值函数是待定的。

定理8 (定解问题I确定奇异内边界定理):若

1),2)为充分光滑的单调函数;

则定解问题I存在唯一精确解

其中。同时边值函数唯一确定为

(154)

证明:引入广义特征函数法 [17] 求解非齐次Black-Scholes方程(147)带齐次终值条件(148)的终值问题,易得其唯一精确解

(155)

解函数求偏导得

(156)

于是

(157)

条件(150)等价于:

(158)

由(158)即有

(常数), (159)

让(159)中即有

从而确定奇异内边界

即有(153)成立。且(153)成立必有(158)成立。由(155),(153)即有(152)成立。

且由(156),(158)有

即有

(160)

于是

1) 当

(161)

2) 当

(162)

从而

(163)

由(149),(152),(153)有(154)成立。证毕。

自由边界问题IA(Black-Scholes方程带齐次终值条件在区域上的自由边界问题):

,使其满足

其中函数是待定的。所求解是定义在区域中的连续函数;

自由边界问题IA*:求,使其满足

其中函数是待定的。所求解

推论8.1 (自由边界问题IA解的存在定理):若,则自由边界问题IA存在唯一精确解由(152),自由边界由(153)给岀;同时边值函数由(154)唯一确定。

证明:自由边界问题IA所求解是定义在区域中的连续函数;

;由延拓法等价于考虑非Black-Scholes方程(147)的奇异内边界问题:即求,使其满足

由定理8的证明即知推论8.1的结论成立。证毕。

推论8.2 (自由边界问题IA*解的存在定理):若,则自由边界问题IA*存在精确解由(152)给岀,自由边界由(153)给岀;但具有多解性。

证明:自由边界问题IA中齐次终值条件为。自由边界问题IA是在区域上的定解问题,区域的终值区间应为;若将齐次终值条件为攺为,则得到自由边界问题IA*。终值条件成立必有终值条件成立,从而自由边界问题IA的解也是自由边界问题IA*的解。由于问题IA*的终值函数是定义区间上的函数,将终值函数连续开拓到将得到一个终值函数族;导致自由边界问题IA*的解函数具有多解性。证毕。(参见 [18] )

自由边界问题IB (Black-Scholes方程带齐次终值条件在区域上的自由边界问题):

,使其满足

(169)

其中函数是待定的。所求解

自由边界问题IB* (Black-Scholes方程带齐次终值条件在区域上的自由边界问题):

,使其满足

(170)

其中函数是待定的。所求解是定义在区域中的连续函数。

推论8.3 (自由边界问题IB解的存在定理):若,则自由边界问题IB存在唯一精确解,解函数由(152),自由边界由(153)给岀;同时边值函数由(154)唯一确定。

证明:与推论8.1的证明类似。

推论8.4 (自由边界问题IB*解的存在定理):若,则自由边界问题IB*存在精确解,解函数由(152),自由边界由(153)给岀;同时边值函数由(154)确定;但具有多解性。

证明:与推论8.2的证明类似。

2.3.2. Black-Scholes方程带非齐次终值条件的奇异内边界问题

定解问题II (Black-Scholes方程带非齐次终值条件的奇异内边界问题):求,使其满足

定解问题II.1 (齐次Black-Scholes方程的终值问题):

定理9:定解问题II.1存在唯一解,且

1) 当,解可表为

(179)

满足

2)当,解可表为

(180)

满足

3)当,解可表为

(181)

满足

证明:广义特征函数法 [17] 定解问题II.1易得其唯一精确解

,且

1) 当

即有

(182)

(183)

从而

2) 当,解

(184)

求偏导

(185)

,有。从而对任意固定的函数关于变量单调增,

同理3) 成立。证毕。

由定理8,定理9即得如下定理10。

定理10 (定解问题II确定奇异内边界定理):若,则定解问题II存在唯一精确解

(186)

其中

(187)

且满足

1) 当

(188)

且满足,同时唯一确定边值函数为

(189)

2)当

(190)

且满足;同时唯一确定边值函数为

3) 当

(193)

且满足;同时唯一确定边值函数为

附注5:关于的确定:

1)当满足,欲使,必有

2)若,取即有,故有

3)若,同理取。综上所述我们获得的奇异内边界就是金融数学中的最佳实施边界。

定义1:定解问题II中把条件(173)换成

(173)A

则称其为定解问题IIA。

定义2:定解问题II中把条件(173)换成

(173)B

则称其为定解问题IIB。

自由边界问题IIA (Black-Scholes方程带非齐次终值条件在区域上的自由边界问题):

,使其满足

其中函数是待定的。所求解

定理11 (自由边界问题IIA解的存在定理):若

1),2)

则自由边界问题IIA存在唯一精确解

同时唯一确定边值函数为

证明:自由边界问题IIA由延拓法与定解问题IIA等价。定理10中结论2)即得。证毕。

推论11.1 (自由边界问题IIA解的存在定理):若

1),2)

则自由边界问题IIA存在唯一精确解

同时唯一确定边值函数为

证明:当即有。由定理11即得。证毕。

推论11.2(自由边界问题IIA解的存在定理):若

1),2)

则自由边界问题IIA存在唯一精确解

同时唯一确定边值函数为

自由边界问题IIB(Black-Scholes方程带非齐次终值条件在区域上的自由边界问题):

,使其满足

其中函数是待定的。所求解

定理12 (自由边界问题IIB解的存在定理):若

1),2)

则自由边界问题IIB存在唯一精确解

同时唯一确定边值函数为

证明:自由边界问题IIB由延拓法等价定解问题IIB。定理10中结论3)即得。证毕。

推论12.1 (自由边界问题IIB解的存在定理):若

1),2)

则自由边界问题IIB存在唯一精确解

同时唯一确定边值函数为

推论12.2 (自由边界问题IIB解的存在定理):若

1),2)

则自由边界问题IIB存在唯一精确解

同时唯一确定边值函数为

附注6:自由边界问题IIA中非齐次终值条件为。自由边界问题IIA是在区域上的定解问题,区域的终值区间应为;但若将非齐次终值条件攺为,则将导致自由边界问题IIA的解函数具有多解性。自由边界问题IIB是在区域上的定解问题,区域的终值区间应为;但若将非齐次终值条件攺为,同样会导致自由边界问题IIB的解函数具有多解性。(参见 [18] )

2.3.3. 上述结果的应用

金融数学在确定最佳实施边界问题的研究中出现了某些自由边界问题。

例1: 自由边界问题(确定最佳实施边界): 求,使其满足

为确定最佳实施边界,应该满足条件

(235)

由推论11.1 (或推论11.2)即知满足条件(230),(231),(234),(235)的唯一精确解由(205),(206) (或(209),(210))给出,同时边值函数由(207),(208) (或(211),(212))两式唯一确定;但该自由边界问题中(232),(233)给定的边值函数与(207),(208)和(211),(212)都不相容,故该自由边界问题在补充条件(235)下无解。

例2:自由边界问题(确定最佳实施边界): 求,使其满足

要确定最佳实施边界,应该满足条件

(241)

由推论12.1 (或推论12.2)即知满足条件(236),(237),(240),(241)的唯一精确解由(222),(223) (或(226),(227))给出,同时边值函数由(224),(225) (或(228),(229))两式唯一确定;但该自由边界问题中由(238),(239)给定的边值函数与(224),(225)和(228),(229)都不相容,导致该自由边界问题在补充条件(241)下无解。

3. 结论

热传导方程和Black-Scholes方程都是抛物型方程。这两个方程的自由边界问题的研究方法及结果都完全类似。

I. 关于热传导方程的自由边界问题A (在区域上的自由边界问题)和自由边界问题B(在区域上的自由边界问题)有如下结论:

1) 假设在区域内仅存在一条奇异内边界的条件下,关于热传导方程在区域 (或)的自由边界问题即在开区域内没有奇异内边界或奇异点,可以用延拓法转换为非齐次热传导方程(110)的奇异内边界问题来研究。

2) 热传导方程的自由边界问题A和自由边界问题B确定的自由边界都为

3) 热传导方程的自由边界问题A和自由边界问题B的边值函数是反问题的解;它是待求的,不能任意给定。

II. 关于Black-Scholes方程的问题A (在区域上的自由边界问题)和问题B (在区域上的自由边界问题) 有如下结论:

1) 假设在区域内仅存在一条奇异内边界的条件下,关于Black-Scholes方程在区域 (或)的自由边界问题在开区域内没有奇异内边界或奇异点,可以用延拓法转换为方程(146)的奇异内边界问题来研究。

2) Black-Scholes方程的自由边界问题A和自由边界问题B确定的自由边界都为。终值函数满足条件得到。从而问题A和问题B具有公共自由边界,满足条件,常数由Black-Scholes方程中的参数唯一确定。就是金融数学中的最佳实施边界。

3) Black-Scholes方程自由边界问题A (或B)中边值函数是待求的,不能任意给定。

关于热传导方程或Black-Scholes方程的自由边界问题A(或问题B)研究中,若取消在区域内仅存在一条奇异内边界的假设条件,即在开区域(或)内可能存在奇异内边界或奇异点,相应的问题A(或问题B)的解函数将出现复杂性和不确定性(或多解性);但问题A(或问题B)自由边界还是可以唯一确定的。

文章引用

吴小庆. 不定常自由边界问题研究
Study on Unsteady Free Boundary Problem[J]. 理论数学, 2017, 07(02): 104-135. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.72015

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