无穷级数变换的一种方法 One Method of Transformation of Infinite Series

doi:10.12677/PM.2017.73023

Pure Mathematics
Vol.07 No.03(2017), Article ID:20549,10 pages
10.12677/PM.2017.73023

One Method of Transformation of Infinite Series

Yanli Chen, Laiping Zhang, Wanhui Ji

●How to Cite this Article

Department of Basic, Yinchuan Energy Institute, Yinchuan Ningxia

Received: Apr. 30^th, 2017; accepted: May 14^th, 2017; published: May 18^th, 2017

ABSTRACT

By selecting the “transformation kernel” function, some infinite series identities are given by using the residual theorem of the complex function.

Keywords:Transformation Kernels, Residue, Infinite Series, Gamma Function, Identity

无穷级数变换的一种方法

陈艳丽，张来萍，及万会

银川能源学院基础部，宁夏银川

收稿日期：2017年4月30日；录用日期：2017年5月14日；发布日期：2017年5月18日

摘要

本文选取“变换核”函数，利用复变函数的留数定理给出一些形式各异的无穷级数恒等式。

关键词 :变换核，留数，无穷级数，伽马函数，恒等式

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

无穷级数变换有许多文献。著作 [1] 收录1000多级数公式，著作 [2] 介绍无穷级数求和的各种技术。文 [3] [4] [5] 讨论组合数和式问题。文 [6] [7] [8] 用裂项法给出中心型和非中心型二项式系数倒数级数封闭型和式问题。无穷级数与数学各个分支紧密联系，也可以说无穷级数与数学各个分支融合在一起。因此研究无穷级数时常常利用微分，积分，伽马白塔函数，多对数，发生函数，递推关系等各种数学工具和方法。

我们选取一些“变换核”函数，证明形式各异的无穷级数恒等式。利用复变函数的留数定理计算函数在极点的留数，特别是通常多重留数计算公式失效时，我们选用文 [9]

[10] 中2重，3重极点留数公式去计算留数，同时应用“变换核”函数在复平面上的围线积分，得到一些形式各异的级数恒等。

2. 主要结果与证明

命题1 如果，且，则无穷级数恒等式成立

(1)

证明：选择变换核函数，函数在矩形，上积

分，表示中心在原点，水平边和垂直边的矩形，当时，有矩形。有单极点和。

1) 在极点在，计算得留数，易得；

2) 在极点，计算函数的留数，用洛必达法则

3) 在极点，计算函数的留数，用洛必达法则，利用并利用双曲函数展开式以及与三角函数关系计算，利用关系式

4) 在极点，计算的留数

根据文 [11] 留数基本定理如果函数在内只有有限个奇点，。从而有

由此得出(1)式成立。

命题2 设为复数，且，下面伽马函数级数恒等式成立

(2)

证明：选取变换核函数，有单极点，，

1) 在极点，算的留数

2) 在极点，计算的留数

3) 在极点，计算的留数

设为中心在原点的矩形，顶点为的矩形，它的边长为的矩形当时，，即

整理得到(2)式。

命题3 无穷级数恒等式成立

(3)

证明：选择变换核函数，有单极点，和点有3重极点。

1) 展开函数成幂级数

幂级数中的系数，即为的留数

2) 在极点，计算的留数，用洛必达法则

；

3) 在极点，计算的留数

根据文 [9] 留数基本定理如果函数在扩充复平面内只有有限个奇点，那么在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零。。从而有

注意到整理得到，

从而得到

命题4 设，且，则无穷级数恒等式成立

(4)

证明：选择变换核函数，函数在有5重极点，单极点，

1) 将展开幂级数

展开幂级数系数，即在的留数；

2) 在极点，计算的留数

3)在是2重极点，留数公式失效，我们利用文 [11] 公式计算留数。

令，

计算导数与导数值；

于是有；；

计算导数；

；

的导数值；；

将上述数据代入公式，

根据文 [9] 留数基本定理如果函数在内只有有限个奇点，。从而有

从而得到

命题5 设，且，则无穷级数恒等式成立

(5)

证明：选取变换核函数，函数在有5重极点，单极点和3重极点；

1) 展开成幂级数

函数展开幂级数系数，即为在时的留数

2) 在极点，计算的留数

3) 函数在是3重极点，留数公式失效，利用 [10] 公式计算留数。

设，其中在a点解析，，在点有3阶极点，则3重极点留数公式为

令，

下面计算的导数

；；

；

在的函数值与导数值

；

下面细心计算的导数，计算过程有点长，需要细心

；；

；

计算导数值；

通过对微分计算得到

计算得；

对微分计算得到，我们在表达式中仅微分得到，将代入此项得到导数值。其他项因含有项，导数值为0。

在中只有微分后为；

所以；

将；；和；；；

代入3重极点留数公式

根据文 [9] 留数基本定理如果函数在内只有有限个奇点，。从而有

整理得 (5)式得证。

文章引用

陈艳丽,张来萍,及万会. 无穷级数变换的一种方法
One Method of Transformation of Infinite Series[J]. 理论数学, 2017, 07(03): 176-185. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.73023

参考文献 (References)

1. Jolley, L.B.W. (1961) Summation of Series. 2nd Revised Edition, Dover Publications, Inc., New York, 156-159.

2. Sofo, A. (2003) Computation Techniques for the Summation of Series. Kluwer Academic, Plenum Publishers, New York, 123. https://doi.org/10.1007/978-1-4615-0057-5

3. Lehmer, D.H. (1985) Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient. The American Mathematical Monthly, 92, 449-457. https://doi.org/10.2307/2322496

4. Trif, T. (2000) Combinatorial Sums and Series Involving Inverses of Binomial Coefficients. The Fibonacci Quarterly, 38, 79-84.

5. Borwein, J.M. and Girgensohn, R. (2005) Evaluation of Binomial Series. Aequationes Mathematicae, 70, 25-36. https://doi.org/10.1007/s00010-005-2774-x