Pure Mathematics
Vol.07 No.05(2017), Article ID:22197,9 pages
10.12677/PM.2017.75053

Global Attractivity for a Linear Dynamic Equation with a Distributed Delay on Time Scales

Mingchun Shu1, Zhenkun Huang2

1Chengyi College University, Jimei University, Xiamen Fujian

2School of Science, Jimei University, Xiamen Fujian

Received: Sep. 8th, 2017; accepted: Sep. 22nd, 2017; published: Sep. 28th, 2017

ABSTRACT

In this paper, we consider a linear dynamic equation with a distributed delay on time scales. By using Lyapunov function method, we obtain a novel sufficient condition for global attractivity of the linear delayed dynamic equation. And the linear dynamic equation with mixed delays on time scales is also discussed. Some examples are given to illustrate our results.

Keywords:Global Attractivity, Distributed Delay on Time Scales, Mixed Time Delays, Linear Dynamic Equation

时标上一类分布时滞线性动力方程的 全局吸引性

舒明春1,黄振坤2

1集美大学 诚毅学院,福建 厦门

2集美大学 理学院,福建 厦门

收稿日期:2017年9月8日;录用日期:2017年9月22日;发布日期:2017年9月28日

摘 要

本文研究时标上一类具有分布时滞的线性动力方程,利用Lyapunov函数方法,得到了该方程全局吸引性的一个充分条件,并且进一步分析了具有混合时滞的线性动力方程在时标上的全局吸引性。最后文章给出了几个例子予以说明。

关键词 :全局吸引性,时标上分布时滞,混合时滞,线性动力方程

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

动力方程模型在从经济到工业各个领域中都发挥了重要作用,比如管道中水的流动变化,一年中鱼群数量的变化,具有有限次出入的交通流量变化等等。这其中有的是连续过程,有的是离散过程,有的兼有连续和离散。连续过程和离散过程在以往要分别利用微分方程和差分方程来进行研究,得出一些相似而又有差异的结果。而如今由Stefan Hilger [1] 创立的时标理论能将这些结果统一起来,并同时揭示了这些结果的差异。而且更有意义的是它不局限于单纯的连续或离散,它能很好地解决诸多兼有连续和离散的模型。这在以前是不可能做到的。时标理论近年来正受到越来越广泛的关注。而对于时标上的动力方程的研究也正吸引了不少眼球,许多前沿的结果被推广到时标上(参看 [1] - [4] )。其中时标上的一阶线性动力方程 x Δ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = f ( t ) 得以详细讨论。

实际上不容忽视的是动力系统往往存在时滞现象,而时滞可能给系统带来不确定的影响,需要给予充分的考虑,Yu, J.S.和Cheng, S.S.曾在 [5] 中讨论过一类时滞差分方程 Δ x n + q ( t ) x n τ = 0 ,2009年周展、李红娟在 [6] 中就时标上一类时滞微分方程 x Δ ( t ) + q ( t ) x ( t τ ) = 0 的全局吸引性做了研究,给出了相关条件。

现实中,时滞还可能不仅仅来自于过去某一点,而是可表达为过去某一段时间上状态变量的积分,即分布时滞。许多学者在动力系统研究中逐步开始把分布时滞考虑进来(参看文献 [7] [8] [9] )。本文首次就如下具分布时滞线性动力方程的全局吸引性做了讨论:

x Δ ( t ) + q ( t ) 0 τ K ( u ) x ( t u ) Δ u = 0 , t [ t 0 , + ) T (1)

受文献 [9] 和 [10] 的启发,接下来综合考虑离散时滞和分布时滞的双重作用,对如下具混合时滞的线性动力方程的全局吸引性也做了探讨:

x Δ ( t ) + p ( t ) x ( t ζ ) + q ( t ) 0 τ K ( u ) x ( t u ) Δ u = 0 , t [ t 0 , + ) T (2)

其中 T 表示某一无界时标, t [ t 0 , + ) T = [ t 0 , + ) T x ( t ) 表示 t 时刻的系统状态,函数 p ( t ) q ( t ) 非负有界并且右密连续, p ¯ = sup t [ 0 , + ) T p ( t ) q ¯ = sup t [ 0 , + ) T q ( t ) ζ τ 为非负常数,并且 t ± ζ T μ ( t ) T 的距离函数, μ ¯ = sup t T μ ( t ) K ( u ) : [ 0 , τ ] T [ 0 , + ) 右连续且满足

0 τ K ( u ) Δ u = 1 (3)

利用Lyapunov函数方法和引理1,本文得到方程(1)和(2)全局吸引的两个充分条件即定理1和定理2。

2. 预备知识

首先给出时标上一些基本定义和有关引理(参看文献 [1] 和 [2] ),时标 T 是实数 R 上任一非空子集。对

于任何 t T ,定义 t 的前跳算子为 σ ( t ) = { s T : s > t } 。若 σ ( t ) > t ,称t为右扩散;若 σ ( t ) = t t < sup T ,称 t 为右稠密。定义距离函数 μ ( t ) = σ ( t ) t 。此外集合 T k 定义如下:如果 T 的最大点为左扩散点 T k = T { m } ;否则, T k = T 。若函数 f : T R 在每个右稠密点处连续,并且在右稠密点处存在左极限,

则称 f 为右稠密连续,简称右密连续。

定义1:设 f : T R ,当且仅当对于 ε > 0 ,存在 t 的一个邻域 U ,使得

| f ( σ ( t ) ) f ( s ) f Δ ( t ) ( σ ( t ) s ) | ε | σ ( t ) s | , s U T , t T k

成立,则称 f t 处delta可导,记为 f Δ ( t )

可以证得:

1) 若 f t 处连续且 t 为右扩散点,则 f Δ ( t ) = f ( σ ( t ) ) f ( t ) σ ( t ) t

2) 若 f t 处连续且 t 为右稠密点,则 f Δ ( t ) = lim s t f ( s ) f ( t ) s t

假设函数 f , g : T R t T k 处delta可导,则乘积函数 f g 、和函数 f ± g 也都在 t 处delta可导,即

( f g ) Δ = f Δ ( t ) f ( t ) + f ( σ ( t ) ) g Δ ( t ) = f ( t ) g Δ ( t ) + f Δ ( t ) g ( σ ( t ) )

( f ( t ) ± g ( t ) ) Δ = f Δ ( t ) ± g Δ ( t )

定义2:函数 F : T k R 被称为 f : T R 的delta原函数,如果对所有的 t T k F Δ ( t ) = f ( t ) 成立,于是可以定义 f 的积分为

0 t f ( s ) Δ s = F ( t ) F ( a ) , t T k

t σ ( t ) f ( s ) Δ s = f ( t ) μ ( t ) , t T k

定义3:对于任一初始值,方程(1)的解 x ( t ) 都有 lim t + x ( t ) = x 0 成立,则 x 0 称为方程(1)的全局吸引子,方程(1)的解 x ( t ) 是全局吸引的。

3. 主要结果

首先证明一个时标上的二重变上限积分的求导公式如下:

引理1:设函数 f : T R t T k 处delta可导,则

( a t u t f ( s ) Δ s Δ u ) Δ = 0 t f ( t ) Δ u + t σ ( t ) f ( s ) Δ s , t T k

证明:设函数 F : T k R f 的delta原函数,由定义1和2可得

a t u t f ( s ) Δ s Δ u = a t ( F ( t ) F ( u ) ) Δ u , t T k

( a t u t f ( s ) Δ s Δ u ) Δ = ( a t ( F ( t ) F ( u ) ) Δ u ) Δ = ( a t F ( t ) Δ u ) Δ ( a t F ( u ) Δ u ) Δ = ( F ( t ) ( t a ) ) Δ F ( t ) = f ( t ) ( t a ) + F ( σ ( t ) ) F ( t ) = a t f ( t ) Δ u + t σ ( t ) f ( s ) Δ s

引理得证。

下面给出方程(1)的全局吸引性的一个充分条件。

定理1:如果

lim t + 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 , t [ t 0 , + ) T

成立,其中函数 q ( ) 非负有界并且右稠密连续, q ¯ = sup t [ 0 , + ) T q ( t ) ,函数 K ( u ) : [ 0 , τ ] T [ 0 , + ) 右连续且满足 0 τ K ( u ) Δ u = 1 ,则方程(1)的解是全局吸引的。

证明:将(1)式变形可得

( x ( t ) 0 τ K ( u ) t u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u ) Δ = x ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u , t [ t 0 , + ) T (4)

y ( t ) = x ( t ) 0 τ K ( u ) t u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u (5)

则有

y Δ ( t ) = x ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u , t [ t 0 , + ) T (6)

构造Lyapunov函数 V ( t ) 如下:

V ( t ) = y 2 ( t ) + J ( t )

其中

J ( t ) = 0 τ q ¯ K ( u ) [ t u t ( s t q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ s ] Δ u

显然 V ( t ) 0 ,由(5)和(6)式得

( y 2 ( t ) ) Δ = y Δ ( t ) y ( t ) + y ( σ ( t ) ) y Δ ( t ) = μ ( t ) [ y Δ ( t ) ] 2 + 2 y Δ ( t ) y ( t ) = μ ( t ) x 2 ( t ) ( 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 2 x 2 ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 x ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u 0 τ K ( u ) t u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u

由不等式 2 a b a 2 + b 2 和(3)式,上式可以推得

( y 2 ( t ) ) Δ μ ¯ x 2 ( t ) ( 0 τ K ( t ) q ¯ Δ u ) 2 2 x 2 ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u 0 τ K ( u ) ( t u t q ( s + u ) ( x 2 ( t ) + x 2 ( s ) ) Δ s ) Δ u μ ¯ x 2 ( t ) q ¯ 2 2 x 2 ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + q ¯ 0 τ K ( u ) ( t u t q ( s + u ) ( x 2 ( t ) + x 2 ( s ) ) Δ s ) Δ u

由引理1得

J Δ ( t ) = 0 τ K ( u ) ( t u t q ¯ q ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + 0 τ K ( u ) ( t σ ( t ) q ¯ q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u 0 τ K ( u ) ( t u σ ( t ) q ¯ q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u = 0 τ K ( u ) ( t u t q ¯ q ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u 0 τ K ( u ) ( t u t q ¯ q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u

V Δ ( t ) = ( y 2 ( t ) ) Δ + J Δ ( t ) ,所以有

V Δ ( t ) μ ¯ x 2 ( t ) q ¯ 2 2 x 2 ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + q ¯ 0 τ K ( u ) ( t u t q ( s + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + 0 τ K ( u ) ( t u t q ¯ q ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u = x 2 ( t ) [ μ ¯ q ¯ 2 2 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + q ¯ 0 τ K ( u ) ( t u t q ( s + u ) Δ s ) Δ u ] + x 2 ( t ) 0 τ K ( u ) ( t u t q ¯ q ( t + u ) Δ s ) Δ u x 2 ( t ) [ μ ¯ q ¯ 2 2 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 q ¯ 0 τ K ( u ) u Δ u ] x 2 ( t ) [ μ ¯ q ¯ 2 2 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 q ¯ 2 τ ]

如果 lim t + 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = L > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 ,则 V Δ ( t ) < 0 t + 。根据单调有界准则(参看 [11] ),当 t + V ( t ) 的极限存在,可以记为 lim t + V ( t ) = ρ 0

,则 α > 0 ,对充分大的 t ,有 V Δ ( t ) α x 2 ( t ) 。设 T * 充分大,使得

T * + V Δ ( t ) Δ t T * + α x 2 ( t ) Δ t

于是

T * + α x 2 ( t ) Δ t < V ( T * ) ρ < +

所以有 lim t x ( t ) = 0 ,定理得证。

接下来给出方程(2)的全局吸引性的一个充分条件。

定理2:如果对于 t [ t 0 , + ) T

lim t + 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u > ( μ ¯ + τ + 1 2 ) q ¯ 2 + τ q ¯ 3

lim t + p ( t + ζ ) > ( μ ¯ + ζ 2 2 + ζ + τ 2 ) p ¯ 2

成立,其中 p ( ) , q ( ) 为非负有界函数并且右稠密连续, p ¯ = sup t [ 0 , + ) T p ( t ) q ¯ = sup t [ 0 , + ) T q ( t ) ζ τ 为非负常数,并且 t ± ζ T μ ¯ = sup t T μ ( t ) K ( u ) : [ 0 , τ ] T [ 0 , + ) 右稠密连续且满足 0 τ K ( u ) Δ u = 1

则方程(2)的解是全局吸引的。

证明:(2)式变形可得:

( x ( t ) t ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s 0 τ K ( u ) t u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u ) Δ = p ( t + ζ ) x ( t ) x ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u , t [ t 0 , + ) T (7)

y ( t ) = x ( t ) t ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s 0 τ K ( u ) t u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u (8)

则有

y Δ ( t ) = p ( t + ζ ) x ( t ) x ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u , t [ t 0 , + ) T (9)

构造Lyapunov函数 V ( t ) 如下:

V ( t ) = y 2 ( t ) + R ( t ) + W ( t )

其中

R ( t ) = ( ζ + 1 ) t ζ t s t p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u Δ s

W ( t ) = 0 τ ( q ¯ + 1 ) K ( u ) [ t u t ( s t q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ s ] Δ u

显然 V ( t ) 0 ,由(7)和(8)式得

( y 2 ( t ) ) Δ = μ ( t ) [ y Δ ( t ) ] 2 + 2 y Δ ( t ) y ( t ) = μ ( t ) x 2 ( t ) ( p ( t + ζ ) + 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 2 x 2 ( t ) p ( t + ζ ) 2 x 2 ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 x ( t ) p ( t + ζ ) t ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s + 2 x ( t ) p ( t + ζ ) 0 τ K ( u ) t u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u + 2 x ( t ) t ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 x ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u 0 τ K ( u ) t u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u

由不等式 2 a b a 2 + b 2 和(3)式,上式可以推得

( y 2 ( t ) ) Δ 2 μ ( t ) x 2 ( t ) ( 0 τ K ( t ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + 2 μ ( t ) x 2 ( t ) p 2 ( t + ζ ) 2 x 2 ( t ) p ( t + ζ ) 2 x 2 ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + t ζ t ( p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) + p 2 ( s + ζ ) x 2 ( s ) ) Δ s + 0 τ K ( u ) ( t u t ( p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) + q 2 ( s + u ) x 2 ( s ) ) Δ s ) Δ u + x 2 ( t ) ( 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + ( t ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s ) 2 + q ¯ 0 τ K ( u ) t u t q ( s + u ) ( x 2 ( t ) + x 2 ( s ) ) Δ s Δ u

由引理1得

R Δ ( t ) = ( ζ + 1 ) [ t ζ t p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) Δ s + t σ ( t ) p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u t ζ σ ( t ) p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u ] = ( ζ + 1 ) [ ζ p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) t ζ t p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u ]

W Δ ( t ) = ( q ¯ + 1 ) [ 0 τ K ( u ) ( t u t q 2 ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + 0 τ K ( u ) ( t σ ( t ) q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u 0 τ K ( u ) ( t u σ ( t ) q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u ] = ( q ¯ + 1 ) [ 0 τ K ( u ) q 2 ( t + u ) x 2 ( t ) u Δ u 0 τ K ( u ) ( t u t q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u ]

同时利用不等式 ( A 1 + A 2 + + A n ) 2 n ( A 1 2 + A 2 2 + + A n 2 )

V Δ ( t ) 2 μ ( t ) x 2 ( t ) ( 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + 2 μ ( t ) x 2 ( t ) p 2 ( t + ζ ) 2 x 2 ( t ) p ( t + ζ ) 2 x 2 ( t ) 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + ( ζ 2 + 2 ζ ) p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) + 0 τ K ( u ) ( t u t p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + x 2 ( t ) ( 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + q ¯ 0 τ K ( u ) ( t u t q 2 ( s + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + ( q ¯ + 1 ) 0 τ K ( u ) q 2 ( t + u ) x 2 ( t ) u Δ u x 2 ( t ) [ 2 μ ¯ q ¯ 2 + 2 μ ¯ p ¯ 2 2 p ( t + ζ ) 2 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + ( ζ 2 + 2 ζ ) p ¯ 2 + p ¯ 2 0 τ K ( u ) u Δ u + q ¯ 2 + q ¯ 3 0 τ K ( u ) u Δ u + ( q ¯ 2 + q ¯ 3 ) 0 τ K ( u ) u Δ u ] x 2 ( t ) [ ( 2 μ ¯ + ζ 2 + 2 ζ ) p ¯ 2 + p ¯ 2 0 τ K ( u ) u Δ u 2 p ( t + ζ ) ] + x 2 ( t ) [ 2 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 μ ¯ q ¯ 2 + q ¯ 2 + ( 2 q ¯ 3 + q ¯ 2 ) 0 τ K ( u ) u Δ u ]

如果 lim t + 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = M > ( μ ¯ + τ + 1 2 ) q ¯ 2 + τ q ¯ 3 ,而且 lim t + p ( t + ζ ) = N > ( μ ¯ + ζ 2 2 + ζ + τ 2 ) p ¯ 2 V Δ ( t ) < 0 t + 。根据单调有界准则(参看 [11] ),当 t + V ( t ) 的极限存在,可以记为 lim t + V ( t ) = ρ 0

,则 α > 0 ,对充分大的 t ,有 V Δ ( t ) α x 2 ( t ) 。设 T * 充分大,使得

T * + V Δ ( t ) Δ t T * + α x 2 ( t ) Δ t

于是

T * + α x 2 ( t ) Δ t < V ( T * ) ρ < +

所以有 lim t x ( t ) = 0 ,定理得证。

4. 一些例子

在这一部分,文章给出两个例子以验证结论的有效性,并展示了在时标上讨论动力方程的优势。

例1 对方程(1),设 τ = 1 q ( t ) = 1 3 1 t K ( u ) = 1

1) 考虑 T = R ,则原方程为

x ( t ) + ( 1 3 1 t ) 0 1 x ( t u ) d u = 0 (10)

显然有 lim t + 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = lim t + 0 1 ( 1 3 1 t + u ) d u = 1 3 > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 ,根据定理1,(10)的解是全局吸引的。

2) 考虑 T = Z ,在原方程为

x Δ ( t ) + ( 1 3 1 t ) 0 1 x ( t u ) d u = 0 (11)

显然有 lim t + 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = lim t + ( 1 3 1 t + u ) = 1 3 > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 ,根据定理1,(11)的解是全局吸引的。

例2 对于方程(2),考虑 T = [ 2 k , 2 k + 1 ] k = 0 , 1 , 2 , ,设 τ = 1 ζ = 2 K ( u ) = 1 p ( t ) = 1 6 1 t 2 q ( t ) = 1 5 1 t ,则原方程为

x Δ ( t ) + ( 1 6 1 t 2 ) x ( t ζ ) + ( 1 5 1 t ) 0 1 x ( t u ) d u = 0 (12)

于是有

lim t + 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = { lim t + q ( t ) = 1 5 t [ 2 k + 1 , 2 k + 2 ) lim t + t t + 1 q ( s ) d s = 1 5 t [ 2 k , 2 k + 1 )

可见 1 5 > ( μ ¯ + τ + 1 2 ) q ¯ + τ q ¯ 3 ,且 lim t + p ( t + ζ ) = 1 6 > ( μ ¯ + ζ 2 2 + ζ + τ 2 ) p ¯ 2 ,由定理2,可知(12)是全局吸引的。

基金项目

本文由福建省中青年教师教育科研项目基金资助(JA15649)。

文章引用

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Global Attractivity for a Linear Dynamic Equation with a Distributed Delay on Time Scales[J]. 理论数学, 2017, 07(05): 408-416. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.75053

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