陕西科技大学数学与数据科学学院，陕西 西安

收稿日期：2023年9月3日；录用日期：2023年10月3日；发布日期：2023年10月11日

摘要

首次提出分形集上调和(p, s)-凸函数的定义，建立了该函数的广义Jensen不等式和广义Jensen-Mercer不等式。引入局部分数阶积分，利用构建的Jensen不等式和Jensen-Mercer不等式，得到了广义调和(p, s)-凸函数的Hermite-Hadamard不等式。最后，讨论了部分结果在概率中的一些应用。

关键词

广义调和(p, s)-凸函数，Jensen-Mercer不等式，Hermite-Hadamard不等式

Jensen and Jensen-Mercer Inequalities for Harmonic (p, s)-Convex Functions on Fractal Sets and Their Applications

Ran Li, Tieyan Lian, Xiaonan Dang

School of Mathematics and Data Science, Shaanxi University of Science and Technology, Xi’an Shaanxi

Received: Sep. 3^rd, 2023; accepted: Oct. 3^rd, 2023; published: Oct. 11^th, 2023

ABSTRACT

For the first time, the definition of harmonic (p, s)-convex functions on fractal sets is proposed. The generalized Jensen inequality and the generalized Jensen-Mercer inequality for the functions are established. By introducing local fractional order integrals and the constructed Jensen and Jensen-Mercer inequalities, the Hermite-Hadamard inequality for generalized harmonic (p, s)-convex functions is derived. Finally, applications of some results in probability are discussed.

Keywords:Generalized Harmonic (p, s)-Convex Function, Jensen-Mercer Inequality, Hermite-Hadamard Inequality

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

众所周知，在纯数学和应用数学的不同领域中，函数的凸性得到了广泛的应用。但实际中，很多问题并不满足凸性条件，故对凸函数概念的推广，具有重要的实际和理论意义。İşcan [1] 研究了一类新的广义凸函数，称为调和凸函数。之后，İşcan进一步推广了调和凸函数的概念，提出了调和s-凸函数 [2] 。在 [3] 中，Baloch和İşcan又引入了调和p-凸函数和调和(p, s)-凸函数的概念。

定义1 [3] 令 $I\subset ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $f:I\to ℝ$ 。如果对于任意 $x,y\in I$ ， $t\in \left[0,1\right]$ ，满足

$f\left(\frac{xy}{{\left[\left(1-t\right)x^p+t{y}^p\right]}^{\frac{1}{p}}}\right)\le t^{s}f\left(x\right)+{\left(1-t\right)}^{s}f\left(y\right)$ (1)

则称f为区间I上的调和(p, s)-凸函数，其中 $p\in ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $s\in \left(0,1\right]$ 。

自函数凸性被推广以来，引入由凸函数延伸出来的函数类并对其相关的各种不等式研究越来越受到关注，得到了许多有意义的结果，可参考文献 [4] [5] [6] [7] 。Jensen不等式就是最著名的结果之一，它在不等式理论中起着至关重要的作用，在数学、统计学和信息论中得到了广泛的应用。

定理1 [8] Jensen不等式 若f在区间I上是凸函数，则对于任意 $x_i\in I$ ，满足

$f\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i{x}_i}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_{i}f\left(x_i\right)}$ (2)

其中 $w_i\in \left[0,1\right]\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ 。

2003年，Mercer [9] 给出Jensen不等式的推广形式。

定理2 [9] Jensen-Mercer不等式 若f在区间 $\left[a,b\right]\subset I$ 上是凸函数，则对于任意 $x_i\in \left[a,b\right]$ ，满足

$f\left(a+b-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i{x}_i}\right)\le f\left(a\right)+f\left(b\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_{i}f\left(x_i\right)}$ (3)

其中 $w_i\in \left[0,1\right]\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ 。

为了处理处处连续但不可微的函数，Yang系统地阐述了分形集理论(详见 [10] [11] )，并引入了局部分数微积分的定义。随着分形理论的不断完善和发展，许多学者又将函数凸性推广到了分形空间。2014年，Mo等人 [12] 在分形空间上定义了广义凸函数。Butt等人 [13] 在分形空间中，建立了广义凸函数的Jensen-Mercer不等式。2017年，Sun [14] 给出了广义调和凸函数的定义并且研究了该函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。另外，有关广义调和凸函数的Jensen不等式和Jensen-Mercer不等式被Butt等人 [15] 证得。

本文的主要目的是在分形空间中给出广义调和(p, s)-凸函数的定义，在更弱的函数条件下建立相关Jensen不等式和Jensen-Mercer不等式。此外，通过对Jensen-Mercer型不等式的改进，利用分数阶积分在分形空间上建立广义调和(p, s)-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。

2. 预备知识

设 ${ℝ}^{\alpha }\left(0<\alpha \le 1\right)$ 是维数为 $\alpha$ 的分形集，参考文献 [10] [11] ，则下面运算律成立：

若 $a^{\alpha },b^{\alpha },c^{\alpha }\in {ℝ}^{\alpha }$ ，则

1) $a^{\alpha }+b^{\alpha }\in {ℝ}^{\alpha }$ ， $a^{\alpha }{b}^{\alpha }\in {ℝ}^{\alpha }$ ；

2) $a^{\alpha }+b^{\alpha }=b^{\alpha }+a^{\alpha }={\left(a+b\right)}^{\alpha }={\left(b+a\right)}^{\alpha }$ ， $a^{\alpha }{b}^{\alpha }=b^{\alpha }{a}^{\alpha }={\left(ab\right)}^{\alpha }={\left(ba\right)}^{\alpha }$ ；

3) $a^{\alpha }+\left(b^{\alpha }+c^{\alpha }\right)=\left(a^{\alpha }+b^{\alpha }\right)+c^{\alpha }$ ， $a^{\alpha }\left(b^{\alpha }{c}^{\alpha }\right)=\left(a^{\alpha }{b}^{\alpha }\right)c^{\alpha }$ ；

4) $a^{\alpha }\left(b^{\alpha }+c^{\alpha }\right)=a^{\alpha }{b}^{\alpha }+a^{\alpha }{c}^{\alpha }$ ；

5) $a^{\alpha }+0^{\alpha }=0^{\alpha }+a^{\alpha }=a^{\alpha }$ ， $a^{\alpha }{1}^{\alpha }=1^{\alpha }{\alpha }^{\alpha }=a^{\alpha }$ 。

利用Yang的方法可定义局部分数阶导数和局部分数阶积分，参见文献 [9] [10] 。

记 $f\left(x\right)\in C_{\alpha }\left(a,b\right)$ 表示 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[a,b\right]$ 上局部分数阶连续； $f\left(x\right)\in D_{\alpha }\left[a,b\right]$ 表示 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[a,b\right]$ 上 $\alpha$ 阶局部分数阶可导； ${}_{a}I{}_b^{\left(\alpha \right)}f\left(x\right)$ 表示 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[a,b\right]$ 上 $\alpha$ 阶局部分数阶积分。

这里，需要注意 ${}_{a}I{}_a^{\left(\alpha \right)}f\left(x\right)=0$ ，并且当 $a<b$ 时， ${}_{a}I{}_b^{\left(\alpha \right)}f\left(x\right)=-{}_{b}I{}_a^{\left(\alpha \right)}f\left(x\right)$ 。若对任意 $x\in \left[a,b\right]$ ， ${}_{a}I{}_x^{\left(\alpha \right)}f\left(x\right)$ 存在，则记为 $f\left(x\right)\in I_x^{\left(\alpha \right)}\left[a,b\right]$ 。

引理1 [10] 1) 设 $f\left(x\right)=g^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)\in C_{\alpha }\left[a,b\right]$ ，则

${}_{a}I{}_b^{\left(\alpha \right)}f\left(x\right)=g\left(b\right)-g\left(a\right)$ 。

2) 设 $f\left(x\right)$ ， $g\left(x\right)\in D_{\alpha }\left[a,b\right]$ ，且 $f^{\left(\alpha \right)}\left(x\right),g^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)\in C_{\alpha }\left[a,b\right]$ ，则

${}_{a}I{}_b^{\left(\alpha \right)}f\left(x\right)g^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)={f\left(x\right)g\left(x\right)|}_a^b-{}_{a}I{}_b^{\left(\alpha \right)}{f}^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)g\left(x\right)$ 。

引理2 [10] $\frac{{\text{d}}^{\alpha }{x}^{k\alpha }}{\text{d}{x}^{\alpha }}=\frac{\Gamma \left(1+k\alpha \right)}{\Gamma \left(1+\left(k-1\right)\alpha \right)}{x}^{\left(k-1\right)\alpha }$ ；

$\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^b{x}^{k\alpha }{\left(\text{d}x\right)}^{\alpha }}=\frac{\Gamma \left(1+k\alpha \right)}{\Gamma \left(1+\left(k+1\right)\alpha \right)}\left(b^{\left(k+1\right)\alpha }-a^{\left(k+1\right)\alpha }\right)$ ， $k\in R$ 。

引理3 [10] 广义Hӧlder不等式 设 $f,g\in C_{\alpha }\left[a,b\right]$ ， $p,q>1$ 且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，则

$\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^b\left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|}{\left(\text{d}x\right)}^{\alpha }\le {\left(\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^b{\left|f\left(x\right)\right|}^p{\left(\text{d}x\right)}^{\alpha }}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^b{\left|g\left(x\right)\right|}^q{\left(\text{d}x\right)}^{\alpha }}\right)}^{\frac{1}{q}}$ 。

定义2 [14] 令 $I\subset ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $f:I\to {ℝ}^{\alpha }$ 。如果对任意 $x,y\in I$ ， $t\in \left[0,1\right]$ ，函数f满足

$f\left(\frac{xy}{tx+\left(1-t\right)y}\right)\le t^{\alpha }f\left(y\right)+{\left(1-t\right)}^{\alpha }f\left(x\right)$ ，

则称f为I上的广义调和凸函数。

定理3 [15] 广义调和凸函数的Jensen不等式 若f为 $\left[a,b\right]$ 上的广义调和凸函数，则对任意 $x_i\in \left[a,b\right]$ ，满足

$f\left({\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{w_i}{x_i}}\right]}^{-1}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }f\left(x_i\right)}$ (4)

其中 $w_i\in \left[0,1\right]\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ 。

定理4 [15] 广义调和凸函数的Jensen-Mercer不等式 若f为 $\left[a,b\right]$ 上的广义调和凸函数，则对任意 $x_i\in \left[a,b\right]$ ，满足

$f\left({\left[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{w_i}{x_i}}\right]}^{-1}\right)\le f\left(a\right)+f\left(b\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }f\left(x_i\right)}$ (5)

其中 $w_i\in \left[0,1\right]\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ 。

3. 主要结论

利用分形集理论，首先给出广义调和(p, s)-凸函数的定义。

定义3 令 $I\subset ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $f:I\to {ℝ}^{\alpha }$ 。如果对任意 $x,y\in I$ ， $t\in \left[0,1\right]$ ，函数f满足

$f\left({\left[\frac{t}{x^p}+\frac{1-t}{y^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le t^{s\alpha }f\left(x\right)+{\left(1-t\right)}^{s\alpha }f\left(y\right)$ (6)

则称f为I上的广义调和(p, s)-凸函数，其中 $p\in ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $s\in \left(0,1\right]$ 。

注1 在式(6)中，当 $-p=s=1$ 时，f则为广义凸函数；当 $-p=s=\alpha =1$ 时，f则为凸函数；当 $p=s=1$ 时，f则为广义调和凸函数；当 $p=s=\alpha =1$ 时，f则为调和凸函数；当 $s=\alpha =1$ 时，f则为调和p-凸函数；当 $\alpha =1$ 时，f则为调和(p, s)-凸函数。特别地，当 $s=1$ 时，则可定义f为广义调和p-凸函数。

定理5 广义调和(p, s)-凸函数的Jensen不等式 令 $I\subset ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $f:I\to {ℝ}^{\alpha }$ 。如果f为I上的广义调和(p, s)-凸函数，则对任意 $x_i\in I$ ，满足

$f\left({\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{w_i}{x_i^p}}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }f\left(x_i\right)}$ (7)

其中 $w_i\in \left[0,1\right]\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ 。

证明 采用数学归纳法进行证明。当 $n=2$ 时，由定义3，不等式显然成立。假设当 $n=k$ 时不等式也是成立的，即当 $x_1,x_2,\cdots ,x_k\in I$ ， $w_i>0$ ， $i=1,2,\cdots ,k$ ， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{w}_i=1}$ ，有

$f\left({\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\frac{w_i}{x_i^p}}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }f\left(x_i\right)}$ 。

设 $x_1,x_2,\cdots ,x_k,x_{k+1}\in I$ ， $r_i>0$ ， $i=1,2,\cdots ,k,k+1$ ， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k+1}{\sum }}{r}_i=1}$ ，取 $w_i=\frac{r_i}{1-r_{k+1}}$ ，则对所有的 $i=1,2,\cdots ,k$ ， $w_i$ 满足 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{w}_i=1}$ 。

因此

$\begin{array}{c}f\left({\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k+1}{\sum }}\frac{r_i}{x_i^p}}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)=f\left({\left[\left(1-r_{k+1}\right)\frac{\frac{r_1}{x_1^p}+\frac{r_2}{x_2^p}+\cdots +\frac{r_k}{x_k^p}}{1-r_{k+1}}+\frac{r_{k+1}}{x_{k\text{+1}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\\ \le {\left(1-r_{k+1}\right)}^{s\alpha }f\left({\left[\frac{\frac{r_1}{x_1^p}+\frac{r_2}{x_2^p}+\cdots +\frac{r_k}{x_k^p}}{1-r_{k+1}}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)+r_{k+1}^{s\alpha }f\left(x_{k+1}\right)\\ ={\left(1-r_{k+1}\right)}^{s\alpha }f\left({\left[\frac{w_1}{x_1^p}+\frac{w_2}{x_2^p}+\cdots +\frac{w_k}{x_k^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)+r_{k+1}^{s\alpha }f\left(x_{k+1}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\le {\left(1-r_{k+1}\right)}^{s\alpha }\left[w_1^{s\alpha }f\left(x_1\right)+w_2^{s\alpha }f\left(x_2\right)+\cdots +w_k^{s\alpha }f\left(x_k\right)\right]+r_{k+1}^{s\alpha }f\left(x_{k+1}\right)\underset{{}_{}}{\overset{{}^{}}{}}\\ ={\left(1-r_{k+1}\right)}^{s\alpha }\left[{\left(\frac{r_1}{1-r_{k+1}}\right)}^{s\alpha }f\left(x_1\right)+{\left(\frac{r_2}{1-r_{k+1}}\right)}^{s\alpha }f\left(x_2\right)+\cdots +{\left(\frac{r_k}{1-r_{k+1}}\right)}^{s\alpha }f\left(x_k\right)\right]+r_{k+1}^{s\alpha }f\left(x_{k+1}\right)\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k\text{+1}}{\sum }}{r}_i^{s\alpha }f(\; x\; i\; )}\end{array}$

证毕。

注2 利用定理5和注1，若取 $-p=s=1$ ，可得到文献 [12] 中的定理4.1；若取 $p=s=1$ ，可得到文献 [15] 中的定理5；若取 $-p=s=\alpha =1$ ，可得到定理1。

推论1 广义调和p-凸函数的Jensen不等式 假设定理5中的条件成立，取 $s=1$ ，f为I上的广义调和p-凸函数，则对任意 $x_i\in I$ ，满足

$f\left({\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{w_i}{x_i^p}}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }f\left(x_i\right)}$ (8)

其中 $w_i\in \left[0,1\right]\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ 。

定理6 令 $I\subset ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $f:\left[a,b\right]\subseteq I\to {ℝ}^{\alpha }$ 。如果f为I上的广义调和(p, s)-凸函数，则对任意 $x\in \left[a,b\right]$ ，满足

$f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{x^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le \left[t^{s\alpha }+{\left(1-t\right)}^{s\alpha }\right]\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)\right]-f\left(x\right)$ ，

其中 $t\in \left[0,1\right]$ 。

证明 取 $\frac{1}{x}={\left[\frac{1-t}{a^p}+\frac{t}{b^p}\right]}^{\frac{1}{p}}$ ， $t\in \left[0,1\right]$ ，则

$\begin{array}{c}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{x^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)=f\left({\left[\frac{t}{a^p}+\frac{1-t}{b^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le t^{s\alpha }f\left(a\right)+{\left(1-t\right)}^{s\alpha }f\left(b\right)\\ =\left[t^{s\alpha }+{\left(1-t\right)}^{s\alpha }\right]\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)\right]-t^{s\alpha }f\left(b\right)-{\left(1-t\right)}^{s\alpha }f\left(a\right)\\ \le \left[t^{s\alpha }+{\left(1-t\right)}^{s\alpha }\right]\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)\right]-f(\; x\; )\end{array}$

注3 利用定理6和注1，若取 $-p=s=1$ ，可得到文献 [16] 中的引理3.1；若取 $p=s=1$ ，可得到文献 [15] 中的引理3。

推论2 假设定理6中的条件成立，取 $s=1$ ，f为I上的广义调和p-凸函数，则对任意 $x\in \left[a,b\right]$ ，有

$f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{x^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le f\left(a\right)+f\left(b\right)-f\left(x\right)$ (9)

定理7 广义调和(p, s)-凸函数Jensen-Mercer不等式 令 $I\subset ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $f:\left[a,b\right]\subseteq I\to {ℝ}^{\alpha }$ 。如果f为I上的广义调和(p, s)-凸函数，则对任意 $x_i\in \left[a,b\right]$ ，满足

$f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{w_i}{x_i^p}}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}\left(t^{s\alpha }+{\left(1-t\right)}^{s\alpha }\right)\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)\right]-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }f\left(x_i\right)}$ ，

其中 $w_i\in \left[0,1\right]\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ 。

证明 由定理5、定理6以及f在 $\left[a,b\right]$ 上的广义调和(p, s)-凸性，有

$\begin{array}{c}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{w_i}{x_i^p}}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{x_i{}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)}\\ \le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}\left[\left(t^{s\alpha }+{\left(1-t\right)}^{s\alpha }\right)\left(f\left(a\right)+f\left(b\right)\right)-f\left(x_i\right)\right]\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}\left(t^{s\alpha }+{\left(1-t\right)}^{s\alpha }\right)\left(f\left(a\right)+f\left(b\right)\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }f(\; x\; i\; )}\end{array}$

注4 利用定理7和注1，若取 $-p=s=1$ ，可得到文献 [16] 中的定理3.1；若取 $p=s=1$ ，可得到定理3；若取 $-p=s=\alpha =1$ ，可得到定理2。

推论3 广义调和p-凸函数Jensen-Mercer不等式 假设定理7中的条件成立，取 $s=1$ ，f为I上的广义调和p-凸函数，则对任意 $x_i\in \left[a,b\right]$ ，满足

$f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{w_i}{x_i^p}}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le f\left(a\right)+f\left(b\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }f\left(x_i\right)}$ (10)

为建立涉及局部分数阶微积分的Hermite-Hadamard型不等式，需对广义Jensen-Mercer不等式进行变形与细化。

定理8 令 $I\subset ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $f:\left[a,b\right]\subseteq I\to {ℝ}^{\alpha }$ 。如果f为I上的广义调和(p, s)-凸函数，则对任意 $a_i\in \left[a,b\right]$ ，满足

$\begin{array}{l}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\left(\frac{1-t}{{\bar{a}}^p}+\frac{t}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\\ \le \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\left(1-t\right)}^{s\alpha }+t^{s\alpha }\right)[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}\left({\left(1-t\right)}^{s\alpha }+t^{s\alpha }\right)\left(f\left(a\right)+f\left(b\right)\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}f\left(a_i\right)]\end{array}$ (11)

其中 $w_i\in \left[0,1\right]$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ ， $\frac{1}{{\bar{a}}^p}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i\frac{1}{a_i^p}}$ 。

证明 利用定理5并结合 $\frac{1}{{\bar{a}}^p}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i\frac{1}{a_i^p}}$ ，有

$\begin{array}{c}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)=f\left({\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i}\left(\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\left(\frac{1-t}{{\bar{a}}^p}+\frac{t}{a_i^p}\right)\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\\ \le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\left(\frac{1-t}{{\bar{a}}^p}+\frac{t}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\end{array}$ (12)

另一方面，由广义调和(p, s)-凸函数的定义、定理6以及定理7，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\left(\frac{1-t}{{\bar{a}}^p}+\frac{t}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}f\left({\left[\left(1-t\right)\left(\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right)+t\left(\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\\ \le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}\left[{\left(1-t\right)}^{s\alpha }f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)+t^{s\alpha }f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{a_i^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\right]\\ \le \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\left(1-t\right)}^{s\alpha }+t^{s\alpha }\right)[\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\left(1-t\right)}^{s\alpha }+t^{s\alpha }\right)\left(f\left(a\right)+f\left(b\right)\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}f\left(a_i\right)]\end{array}$ (13)

由式(12)和(13)，可得到式(11)成立。

注5 在定理8中，若取 $p=s=\alpha =1$ ，可得到文献 [17] 中的定理2.3；若取 $-p=s=\alpha =1$ ，可得到文献 [18] 中的定理2.1；若取 $p=s=1$ ，可得到文献 [15] 中的定理7。

推论4 假设定理8中的条件成立，取 $s=1$ ，f为I上的广义调和p-凸函数，则对任意 $a_i\in \left[a,b\right]$ ，满足

$f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\left(\frac{1-t}{{\bar{a}}^p}+\frac{t}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le f\left(a\right)+f\left(b\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }}f\left(a_i\right)$ ，

其中 $w_i\in \left[0,1\right]$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ ， $\frac{1}{{\bar{a}}^p}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i\frac{1}{a_i^p}}$ 。

定理9 假设定理8中的条件成立且 $f\left(x\right)\in I_x^{\left(\alpha \right)}\left[a,b\right]$ ，则有关于广义调和(p, s)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式

$\begin{array}{c}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{w_i^{s\alpha }\Gamma \left(1+\alpha \right)p^{\alpha }}{{\left(\frac{1}{a_i^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right)}^{\alpha }}{}_{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}I{}_{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{a_i^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}^{\left(\alpha \right)}\frac{f\left(x\right)}{x^{\left(p+1\right)\alpha }}}\\ \le \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}+1^{\alpha }\right)[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }\left(\frac{\Gamma \left(1+2s\alpha \right)\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\Gamma \left(1+\left(2s+1\right)\alpha \right)}+\Gamma \left(1+\alpha \right){\text{B}}^{\alpha }\left(s+1,s+1\right)\right)}\\ \times \left(f\left(a\right)+f\left(b\right)\right)-\frac{\Gamma \left(1+s\alpha \right)\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\Gamma \left(1+\left(s+1\right)\alpha \right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}f\left(a_i\right)]\end{array}$ (14)

其中 ${\text{B}}^{\alpha }\left(x,y\right)$ 为分型空间中的Beta函数 [19] ，即

${\text{B}}^{\alpha }\left(x,y\right)=\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{t}^{\left(x-1\right)\alpha }{\left(1-t\right)}^{\left(y-1\right)\alpha }}{\left(\text{d}t\right)}^{\alpha }$ ， $x>0$ ， $y>0$ 。

证明 式(11)的每一项对t在 $\left[0,1\right]$ 上进行局部分数阶积分，可得式(14)。事实上，利用引理2，有

$\begin{array}{l}\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}\left({\left(1-t\right)}^{s\alpha }+t^{s\alpha }\right)\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\left(1-t\right)}^{s\alpha }+t^{s\alpha }\right){\left(\text{d}t\right)}^{\alpha }}\\ =\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\left(1-t\right)}^{2s\alpha }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{t}^{2s\alpha }\right]{\left(\text{d}t\right)}^{\alpha }}\\ +\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\left(1-t\right)}^{s\alpha }{t}^{s\alpha }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\left(1-t\right)}^{s\alpha }{t}^{s\alpha }\right]{\left(\text{d}t\right)}^{\alpha }}\\ =\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{s\alpha }}\right)\left(\frac{\Gamma \left(1+2s\alpha \right)}{\Gamma \left(1+\left(2s+1\right)\alpha \right)}+{\text{B}}^{\alpha }\left(s+1,s+1\right)\right)\end{array}$

和

$\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-t\right)}^{s\alpha }{\left(\text{d}t\right)}^{\alpha }}=\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1{t}^{s\alpha }{\left(\text{d}t\right)}^{\alpha }}=\frac{\Gamma \left(1+s\alpha \right)}{\Gamma \left(1+\left(s+1\right)\alpha \right)}$ 。

利用变量代换 $u={\left[\left(1-t\right)\left(\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right)+t\left(\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}$ ，有

$\begin{array}{l}\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\left(\frac{1-t}{{\bar{a}}^p}+\frac{t}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right){\left(\text{d}t\right)}^{\alpha }}\\ =\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left({\left[\left(1-t\right)\left(\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right)+t\left(\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right){\left(\text{d}t\right)}^{\alpha }}\\ =\frac{p^{\alpha }}{{\left(\frac{1}{a_i^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right)}^{\alpha }}\frac{1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}^{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{a_i^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}\frac{f\left(u\right)}{u^{\left(p+1\right)\alpha }}}{\left(\text{d}u\right)}^{\alpha }\\ =\frac{p^{\alpha }}{{\left(\frac{1}{a_i^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right)}^{\alpha }}{}_{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}I{}_{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{a_i^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}^{\left(\alpha \right)}\frac{f\left(x\right)}{x^{\left(p+1\right)\alpha }}\end{array}$

推论5 在定理9中，取 $s=1$ ，则有关于广义调和p-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式

$\begin{array}{c}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{w_i^{\alpha }\Gamma \left(1+\alpha \right)p^{\alpha }}{{\left(\frac{1}{a_i^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right)}^{\alpha }}{}_{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}I{}_{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{a_i^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}^{\left(\alpha \right)}\frac{f\left(x\right)}{x^{\left(p+1\right)\alpha }}}\\ \le \frac{2^{\alpha }{\Gamma }^2\left(1+\alpha \right)}{\Gamma \left(1+2\alpha \right)}\left(f\left(a\right)+f\left(b\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }}f\left(a_i\right)\right)\end{array}$ (15)

注6 在推论9中，若取 $p=\alpha =1$ ，可得到文献 [17] 中的推论2.4；若取 $-p=\alpha =1$ ，可得到文献 [18] 中的推论2.1。

推论6 [20] 在定理9中，取 $-p=s=1$ ， $w_1=w_2=\frac{1}{2}$ ， $a_1=a$ ， $b_1=b$ ，则有关于广义凸函数的Hermite-Hadamard不等式

$\begin{array}{c}f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{{\left(b-a\right)}^{\alpha }}{}_{a}I{}_b^{\left(\alpha \right)}f\left(x\right)\\ \le \frac{{\Gamma }^2\left(1+\alpha \right)}{\Gamma \left(1+2\alpha \right)}\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)\right]\end{array}$

考虑推论5，给出有关广义调和p-凸函数更精确的结果，即推论7。

推论7 令 $I\subset ℝ\backslash \left\{0\right\}$ ， $f:\left[a,b\right]\subseteq I\to {ℝ}^{\alpha }$ 。如果f为I上的广义调和p-凸函数，则对任意 $a_i\in \left[a,b\right]$ ，满足

$\begin{array}{c}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\bar{a}}^p}+\frac{1}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\\ \le \frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }}{p}^{\alpha }\Gamma \left(1+\alpha \right)}{{\left(\frac{1}{a_i^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right)}^{\alpha }}{}_{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}I{}_{{\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{a_i^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}}^{\left(\alpha \right)}\frac{f\left(x\right)}{x^{\left(p+1\right)\alpha }}\\ \le \frac{2^{\alpha }{\Gamma }^2\left(1+\alpha \right)}{\Gamma \left(1+2\alpha \right)}\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }}f\left(a_i\right)\right]\end{array}$

其中 $w_i\in \left[0,1\right]$ 且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$ ， $\frac{1}{{\bar{a}}^p}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i\frac{1}{a_i^p}}$ 。

证明 利用广义调和p-凸函数的Jensen不等式，有

$\begin{array}{c}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{{\bar{a}}^p}\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)=f\left({\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i}\left(\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\bar{a}}^p}+\frac{1}{a_i^p}\right)\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\\ \le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^{\alpha }}f\left({\left[\frac{1}{a^p}+\frac{1}{b^p}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\bar{a}}^p}+\frac{1}{a_i^p}\right)\right]}^{-\frac{1}{p}}\right)\end{array}$ (16)