Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 117-122 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23019 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) New Subclass of p-Valent Meromorphic Functions* Jingyu Yang1,2, Shuhai Li2 1Department of Mathematics, Chifeng University, Chifeng 2School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian Email: yjy923@163.com, lishms66@sina.com Received: Jan. 21st, 2012; revised: Feb. 14th, 2012; accepted: Feb. 25th, 2012 Abstract: In this paper, we introduce a subclass ,,,,,,; pj acAB m of the class , p j by use of Ha- damard operator and subordination principle. The main objective of this paper is to provide co effi- cient inequality, inclusion properties, extreme points, convexity and starlike radius of this class. In this paper, we extend relevant results of univalent meromorphic functions and p-valent meromorphic functions to the subclass , p Lac ,,,,,acAB ,; pj m . Keywords: Hadamard Convolution; Meromorphic Functions; Coefficient Inequality; Extreme Point; Convexity Radius; Starlike Radius p-叶亚纯函数的新子类* 杨静宇 1,2,李书海 2 1赤峰学院数学学院,赤峰 2大连理工大学数学科学学院,大连 Email: yjy923@163.com, lishms66@sina.com 收稿日期:2012 年1月21 日;修回日期:2012 年2月14 日;录用日期:2012 年2月25 日 摘 要:本文运用线性算子和从属关系定义了含绝对值形式的 p-叶亚纯函数 , p Lac , p j 的一个新子 类 ,,,,,,; pj acAB m ,,,,,,; pj acAB m 。讨论了该函数类的系数不等式,包含关系,极值定理以及凸半径和星象半 径。本文将已有的某些单叶亚纯函数及 p-叶亚纯函数的相关结果推广至 p-叶亚纯数子类 上。 关键词:Hadamard 卷积;亚纯函数;系数不等式;极值点;凸半径;星象半径 1. 引言 设, p j 表示在 *:,0UzzCz1内解析,形如 * 1 21:1,2, n n pnj fzazj Nii N z (1) 的p-叶亚纯函数全体所成的函数类。设 ,0 1R ,若 f z满足条件 Re zf z pf z * zU (2) *基金项目:内蒙古自然科学基金(No. 2009MS0113)。 Copyright © 2012 Hanspub 117 杨静宇, 李书海 p-叶亚纯函数的新子类 则称 f z是 -级亚纯星象函数;若 f z满足条件 1 Re zf z ppfz * zU (3) 则称 f z是 -级亚纯凸象函数。 设 , 1n npj pnj fz az z ,, 1n np pnj gz bz z j ,则 , f zgz的Hadamard 卷积定义为: * 1 n nn pnj f gzabzgfzzU z (4) 令 10 11 n n vn vvvv nnN v ,定义函数 ,; pacz 1* 00 1 1 ,; ;\;:0,1,2,; n n ppnn a aczzaRc zzzU c z (5) 根据函数的 Hadamard 卷积的定义和函数 ,; pacz ,引进线性算子 , p Lac [1,2] (,)()(,;)() (), Lacfzacz fzfz pp pj (6) 文[3]中Aouf,Silverman 和Srivastava,运用算子 , p Lac定义了 p-叶解析函数的子类 ,,,, ac PABp 并且考 察了子类 ,,,, ac PABp 的系数不等式等性质。文[4]Aouf 及El-Ashwah 研究了正系数单叶亚纯函数类的性质。 J. Patel,N. E. Cho,H. M. Srivastava在[5]中给出了 p-叶解析函数类的包含关系等一系列的性质Kim,Lee及Owa 在文 [6]中讨论了一类正系数单叶亚纯函数类。本文受文献[4]的启发,利用算子 , p Lac和从属关系定义了含绝 对值形式的 p-叶亚纯函数类,并用文[4]中的方法,研究该类函数的性质,得到该函数类的系数不等式,包含关 系,极值定理以及凸半和星象半径。所得结果推广了文[4]的相应结论。 定义 1 设,0,0pNa c,11,, A BR * 1! 0, ,,mj 1! pm mN p 若函数 ,pj fz 满 足条件 * 1! 1 1 ,, 1! 1!1 1! mp mp pp pm Az mm zLacfzzLacfzzU pm pBz p (7) 则称 f z属于函数类 ,,, , , ,; pj acAB m ,显然式(7)等价与 1! 1! ,, 1! 1!1 1! 1!1! ,, 1! 1!1! mm mp mp pp mm mp mp pp pm pm zLacfz zLacfzpp pm pmpm BzLacfzzLacfzBAB pp p (8) 注1 在本文的研究过程中,参数B的取值范围是 01B 。 2. 系数不等式 定理 1 设 , 1n np pnj fz az z j ,若 Copyright © 2012 Hanspub 118 杨静宇, 李书海 p-叶亚纯函数的新子类 ,,,,,; nn nj pBacmaBA (9) 那么 ,,, , , ,; pj fzacABm ,其中 1 1 11 ! ,,,,,; 1! !1! n n n Ban pBacmpm cnmp (10) 证明:设 , 1n n pnj fz az z pj ,则 11 11 1! 1! ,, 1! 1! 1! ,, 1! 1! 1! 1! 1! !! !! mm mp mp pp mm mp mp p np np nn nn nj n p j nn pm pm zLacfzzLacfzpp pm BzLacfzz Lacfz na na azaz nm cn p pm pm BAB p m p c 11 11 1 1 1 1 !! 1! !! !1! 11 !1! !1! 11 1 !1! np np nn nn nj nj nn np n n nj n n n nj n nana pm BazBazAB nm cnm cp na pm Baz BA nm cp na pm Ba BAz nm cp 1! 根据最大模原理,对任意 都有 * zU 1 1 1! 1! ,, 1! 1! 1! ,, 1! 1! 1! 1! 1 !1! 11 !1! ! mm mp mp pp mm mp mp pp n n nj n pm pm zLacfz zLacfzpp pm BzLacfzzLa na pm Ba BA nm cp cfz p pm pm BAB pp 从而由从属原理得 ,,, ,, ,; pj fzacAB m 。 3. 包含关系 定理 2 设,则0a ,, 1,,,,,; ,,,,,; pj pj acABm acABm 。 证明:因为 Copyright © 2012 Hanspub 119 杨静宇, 李书海 p-叶亚纯函数的新子类 11 11 11!11 1! 1! 1! !! 1! 1! nn nn Ban Ban pm pm cnmBA cnmBA pp 所以根据定理 1可以推出 ,, 1,,,,,; ,,,,,; pj pj acABm acABm 。 定理 3 设v是复数且 ,Re 0v ,,,,,,; pj fzacABm ,若 1 0d zpv pv v F ztf z tt 则 ,,,,,,; pj FzacAB m 。 证明:设 , 1n n pnj fz az z p j ,那么 1n n pnj v F za npv z z 因为 ,,, , , ,; pj fzacABm 且 , ,,, ,;,,,, ,; nnn v pBac mapBac ma npv n 所以由定理 1可知 ,,,,,,; pj FzacAB m 。 4. 极值点 定理 4 设 11 ,,,,,,; n pnp pp n BA f zfzpBac m zz z ,则 ,,,,,,; pj fzacABm ,当且仅当 np pp np nj f zfz f z 其中 0, 1 p np n nj p 。 证明:充分性。设 pp npnp nj f zfz f z,则 1 ,,,,,; n pn pnj n BA f zz pBacm z 进一步的 ,,,,,; 1 ,,,,,; nnpnp nj nj n BA pBacmB AB AB A pBacm p 由定理 1得 ,,, , , ,; pj fzacABm 。 必要性。假设 ,,, ,, ,; pj fzacAB m ,则有 ,,,,,; nn BA apBacm 令 ,,,,,; n np n pBacma BA ,1 p np nj ,则有 pp npnp nj f zfz f z Copyright © 2012 Hanspub 120 杨静宇, 李书海 p-叶亚纯函数的新子类 5. 星象半径与凸半径 定理 5 设 , 1, n npj pnj fz az z ,,, ,, ,; pj fzacAB m ,那么 f z在 ,,,,,,;zrABacp m 内是 -级星象函数 01 ,其中 1 1,,,,,; inf 2 np n nj ppBacm rBAn pp (11) 证明:根据星象函数的定义及(2)式,只需证对任意 ,,,,,,;zrABacpm 内都有 1 zf z pf z1 (12) 由于 1 np np nn nj nj np np nn nj nj npaz npaz zf z pf zppaz ppaz (13) 所以只要证当 ,,,,,,;zrABacp m 时 1 np n nj np n nj npaz ppaz (14) 则(12)式即得证。而(14)式等价于 21 1 np n nj npp az p (15) 由于 ,,, , , ,; pj fzacABm ,根据定理 1有 ,,,,,; 1 nn nj pBac ma BA 欲证(15)式,只需 ,,,,,; 2 1 np npBacm npp z pBA 即 1 1,,,,,; 2 np n ppBacm zBAnpp 至此定理结论得证。 定理 6 设 , 1n npj pnj fz az z , ,,, ,, ,; pj fzacAB m ,那么 f z在 ,,,,,,;zrABacp m 内是 -级星象函数 01 ,其中 1 1,,,,,; inf 2 np n nj ppBacm rnBA npp Copyright © 2012 Hanspub 121 杨静宇, 李书海 p-叶亚纯函数的新子类 Copyright © 2012 Hanspub 122 证明:根据凸函数的定义及(3)式,只需证对任意 ,,,,,,;zrABacp m 都有 1 1 zf z ppfz 1 (16) 由于 1 1 np np nn nj nj np np nn nj nj nn paznnpaz zf z ppfz pnpazpnpaz 所以只证当 ,,,,,,;zrABacp m 时,有 1 np n nj np n nj nnp az pnpaz (17) 而(17)式等价于 21 1 np n nj nnp paz p (18) 由于 ,,, ,, ,; pj fzacAB m ,根据定理 1有 ,,,,,; 1 nn nj pBac ma BA 所以(18)式成立,只要 2,,, 1 np n nnp ppBacm z pB ,,; A 即 1 1,,,,,; 2 np n ppBacm znBA npp 证毕。 6. 致谢 感谢本文得到内蒙古自然科学基金资助项目(No. 2009MS0113)的支持。 参考文献 (References) [1] J.-L. Liu. Properties of some families of meromorphic p-valent function. Japanese Journal of Mathematics, 2000, 52: 425-434. [2] J.-L. Liu, H. M. Srivastava. A linear operator and associated families of meromorphically multivalent functions. Journal of Mathematical Ana- lysis and Application, 2001, 259(2): 566-581. [3] M. K. Aouf, H. Silverman and H. M. Srivatava. So me families of linear operators associated with certain subclasses of multivalent functions. Computers and Mathematics with Applications, 2008, 55(3): 535-549. [4] M. K. Aouf, R. M. El-Ashwah. Properties of c ertain subclass of mero morphic function with positive coefficients. Mathematical and Computer Modeling, 2009, 49(1-2): 868-879. [5] J. Patel, N. E. Cho and H. M. Srivastava. Certain subclassed of multivalent functions associated with a family of linear operator. Mathematical and Computer Modeling, 2006, 43(3-4): 320-338. [6] Y. G. Kim, S. H. Lee and S. Owa. On certain meromorphic functions with positive coefficients. 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