Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2012, 1, 28-33 http://dx.doi.org/10.12677/aam.2012.11004 Published Online August 2012 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html) Three Order Impulsive Boundary Value Problem with P-Laplacian on Time Scales* Shuzhen Qi1, Jun Yang1,2, Liyang Qi3, Meng Cheng4 1College of Science, Y a ns h a n U n i ve r s i ty, Qinhuangdao 2Mathematic Research Center in Hebei Province, Shijiazhuang 3Elementary School of Xinzhai, Gaocun, Shahe 4College of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao Email: qishuzhen230@163.com Received: Jun. 29th, 2012; revised: Jul. 16th, 2012; accepted: Jul. 18th, 2012 Abstract: This paper uses Avery-Peterson fixed point theorem on cone to study existence of positive solu- tions for a class of mixed impulsive boundary value problem with P-Laplacian. Some new results for the ex- istence of at least three positive solution s of the bound ary value problem are obtained, thus our results make a theoretical foundation for the further study of the impulsive boundary value problem with P-Laplacian. Fi- nally, an example is worked out to demonstrate o ur results. Keywords: Boundary Value Problem; Impulsive; Fixed Point Theorem; Time Scale 时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题* 齐淑珍 1,杨 军1,2,齐黎阳 3,程 猛4 1燕山大学理学院,秦皇岛 2河北省数学研究中心,石家庄 3沙河市高村学区辛寨小学,沙河 4燕山大学电气工程学院,秦皇岛 Email: qishuzhen230@163.com 收稿日期:2012 年6月29 日;修回日期:2012 年7月16 日;录用日期:2012 年7月18 日 摘 要:本文利用 Avery-peterson 不动点定理得到了时标上一类带脉冲的 P-Laplacian 多点边值问题的 正解存在性,并且建立了至少存在三个正解的充分条件,为现有的相关结果作了进一步推广,同时为 含有带脉冲的 P-Laplacian 多点边值问题的研究奠定了理论基础,最后给出数字例子对主要结果进行了 证明。 关键词:边值问题;脉冲;不动点定理;时标 1. 引言 近年来,时标上P-Laplacian 动力方程的发展颇为迅速。随后,时标上 P-Laplacian 脉冲动力方程边值问题也 成为了广大学者关注的焦点之一,2005 年,何智敏[1]讨论了二阶 P-Laplacian 边值问题,利用 Banach 空间中锥 的twin 不动点定理,得到了存在两个正解的条件;2007 年,宋常修和肖存涛[2]研究了时标上 P-Laplacian 泛函动 力方程边值问题,应用 Anderson 不动点定理进而也得到了正解存在性的相关条件。 本文受文[3]的启示,研究如下一类受脉冲影响的 P-Laplacian 泛函动力方程多点边值问题正解的存在性: *基金项目:国家自然科学基金(60604004);河北省自然科学基金资助项目(07M005);秦皇岛市科技支撑计划项目(201001A037、201101A168)。 Copyright © 2012 Hanspub 28 齐淑珍 等 时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题 01 0 ,0,0,1,,1,2, |,1,2,, |,1,2,, 00, 11,00, ,,0. k k p k tt kk ttk k m ii i pt ytatfytyttJttkn yIytk n yIytk n yayy yy yttt r , (1) 其中 为时标, ,0,1 i r 12 0 kn tt t t且1, 12 01 m ,且 ,1,2, ik ti m, 1,2,,kn00,a 1 0 m i i 1,0r。 p s 是一个 P-Laplacian 算子,且 2, p p s ss 1, 1 p, p q 111 pq ,且 |, k yt k tt yy k t |k tt kk yytyt ,其中 , k yt k yt 分别代表 y t在 时的右极限和左极限。且满足: k tt (H1) ,, , kk I CR RICR R ; (H2) 2 : f R R 连续的, , ld at CR 且 at在 0, 1 的任意闭子集上不恒为零并保持 左连 续,其 中 ; R 0, (H3) 0,1 ,0,pt C 为单调增加函数; (H4) ,0 ,sCr R , 0,1 ,,1tC r 且 ,0,1ttt 。 ,, kk f II递增且连续,且定义Banach 空间 ,锥 ,算 E P在给出主要结果之前,先介绍一些预备知识。假设 A 。令 : 0,1|,,0,1,, ,=,0,1,, kK kk kk yRyCJRkn Eytytyt ytkn 存在 且定义其上的范数为 0,1 sup t y yt 。 子 1 ,,0,1, kkk J tt kn ,定义 01 1 0, ,1 n JtJ n 。定义锥 为 PE | 0, 1, k k yEyJ Pyytk 在每一个 上均为非增非负凹泛函, 0 =0,且Imp0, 因而对于任意的 , y P 0,1 sup= 1 t y yt y 。 引理 1 如果 y P,那么 0, 1yttyt1- ,其中 0,1 sup t y yt 。 引理 2[4] 是实 Banach 空间 中的锥,假设存在实数和 ,锥上的非负连续凸泛函 P E4 e5 eP 和 ,锥 上 的非负连续凹泛函 P 以及锥 非负连续泛函P 满足 , y y 01 且 , y y 54 ,, yeyyP e。 44 , A :,Pe Pe 是全连续的且存在正常数 e和,其中 ,满足 1 ,2ee3 12 ee (A1) 234 2 ,,, , ,:yPeeey e 且 234 ,,, , , y Pee e有 2 A ye ; (A2) 24 ,, , y Pee 且 3 A ye 有 2 A ye ; (A3) 14 0,,,Qee , 14 ,,, y Qee 且 1 y e 有 1 A y e 。则 A 至少存在三个不动点 123 4 ,, ,yyy Pe 使得 和 4,1,2,3, i yei 21 ey , 12 ,ey 22 y e , 31 y e 。 2. 主要结果 易得边值问题(1)有解的充分必要条件为 y yt Copyright © 2012 Hanspub 29 齐淑珍 等 时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题 1 00 0 00 1 0 00 1 11 1, 11 , 1, ,, 0,1 ,, i s q ms iq i ts q n kk k 0 s ar fyryrrs aps ar fyryrrs aps yttsarfyryrrs ps Wtytt tt r . 其中 ,1 ,,0 kk kkkk kk kk k IytIytttt Wtyt I yt ttt . 定义算子 : A PE为 1 00 0 00 1 0 00 1 11 1, 11 , 1,,, i s q ms iq i n ts qk k Ay tsa rfy ryrrs aps ar fyryrrs aps tsarfyryrr sWtytT ps 0,1. k 假设固定 且满足 1 01 。在 锥中定义非负连续凹泛函P ,非负连续的凸泛函 和 及非负连续泛 为 0, min t yyty , 11 ,1 max t yy yty , ,1 max t yyty ,对于 函 ,, y Pyyyyy ,由引理 1得 111 ,1 max 1 t yyty y , 即 1 1 1 yy 。记 123 0,1: 0,0,1: 0,0,MttMtt MM 1 , 1 10 0 11 1, 0q larr ap 3 210 1 =1 1 m iq M i la ap rr 。 贯穿全文假定 3 M 且 。 30 Mar r 定理 1 假设条件(H1)~(H4)成立, 122 1 01 1eeee 1412 24 le le, 且 f 满足以下条件 (H5) 4 1 ,, pe fy sl 若 4 1 1 0, 1 yte sr ,0; 4 12 1 ,, pe fyy l 若 4 1 1 0, 1 i ytei 1,2; (H6) 2 2 ,, pe fy sl 若 22 2 1 1,, 1 eytes r 0; (H7) 1 1 ,, pe fy sl 若 1 1 1 0, 1 yte sr ,0; Copyright © 2012 Hanspub 30 齐淑珍 等 时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题 1 12 1 ,, pe fyyl 若 1 1 1 0, 1 i ytei 1,2; 则边值问题(1)至少存在三个解 ,,0 ,0,1,1, i ttr yt yt ti 2,3 (2) 其中 12 , y tyt和 3 y t满足 14 ,1 max, 1,2,3; i tyt ei 21 0, min ; t ey t 12 ,1 max ; t ey t 22 0, min ; tyt e . 31 ,1 max tyt e 证明 由假设(H1)~(H4)和引理1可知 : A PP是全连续映射。选 4 ,yP e ,则 11 ,1 max t yyty 4 e,其中 4 11 1 11 e yy 有 4 1 0, 1 e yt 0,1t. 由(H5),当 0, 1t可得 1 Ay Ay 1 1 00 0 00 1 0 1 00 1 11 1, 11 , 1,, i s q ms iq i n s qk k sarfyryrrs aps ar fyryrrs aps k s ar fyryrrsWtyt ps 1 00 0 11 1, s q s ar fyryrrs aps 1 44 0 01 1 10q earre alp . 从而 44 : A PeP e ,, 。 先验证引理 2中的(A1)成立,选取 2 1 , 1 e y 2 31 1 e e 则 22 1 , 1 e yy e 2 11 , 1 e yy 2 14 1 1 e yy e . 则 234 2 ,,, , ,:,yPeeeye 对 234 ,,, , , y Pee e 满足 2 0, min , t yyty e 113 ,1 max t yyty e . 由引理 1可得 13 11 11 yy e 1-1- ,因此 22 2 1 1,0,eyt et 1- ,由(H6),当 0,t 可得 Ay Ay 3 2 120 1 11 m iq M i e lap 2 arre ,即引理2中的(A1)成立。接着验证引理 2中的(A2) 成立。选取 24 ,, , y Pee 并且使 2 11 =1 e Ay Ay ,可得 0, =min 1 t AyAy tAyAy 1 1Ay 22 1 1 1 ee . 最后验证引理 2中的(A3)成立。由于 1 00e ,因此 14 0,,,Qee 。选取 14 ,,, y Qee 并且 Copyright © 2012 Hanspub 31 齐淑珍 等 时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题 1 y e ,从而有引理 1可得 1 1 0,0,1 11 ye yt yt t ,即 1 1 0, 1 e yt t 0,1。由(H7),当 0, 1t可得 Ay Ay 12 0 11 1,, 0qMM arf yrrrarf yrrr ap 1 11 0 01 1 1( 0q earr e alp . 引理 2中的(A3)成立。 因此,由引理 2可知 A 至少存在三个不动点 12 3,yt ytytPe ,, 4 使 14 ,1 max, 1,2,3; i tyt ei 21 0, min ; t ey t 12 ,1 max ; t ey t 22 0, min ;yt e t t 31 ,1 max yt e . 所以式(2)是边值问题(1)的三个正解。证毕。 3. 应用例子 例1 0 113 =0 :,,1 35 5 3nnN 3 考虑如下边值问题 5 55 44 5000 0, 0,1 111 236 1 |=,1,2|= ,1,2 50 ti ti yt yt t yt yt ytiyti ;; (3) 1212 00,11, 00, 35 23 yyyyyy 01 0, ,0 3 yt tt , (4) 其中 1, 2,1,ptp at 01 2 11 1, ,, 32 a 12 22 ,, 53 1, 9 1 :0,1 ,1 3 , 并且 1 3 tt , 1 3 r, 5 5 500 ,1 y fy sy , 5 1 12 55 12 500 ,1 y fyy yy 。通过具体计算可得, 11 0, 3 M ,21,1 , 3 M 31 0, , 9 M 12,l 24, 81 l选11, 30 e22,e 41050,e 那么利用定理 1, 4 4 412 4 111 1050110501 ,500525,0,500525,0,1,2 212 1 i ee fysytefyyyt ei ll 1 . 进一步 2 2 , 5006.4, p e fy sl 22 2 1 1, 1 eyt e 然后 11 11 , 0.017, pee fy sll 1 1 1 0, 1 yt e 11 12 11 , 0.017, pee fyyll 1 1 1 0, 1 i ytei 1,2 , 则边值问题(3)~(4)至少存在三个解 Copyright © 2012 Hanspub 32 齐淑珍 等 时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题 Copyright © 2012 Hanspub 33 1,0 3 0,1 ,1,2 i tt yt yt ti . ,, y 其中 tytyt 123 满足 2,1 5 max1050, 1,2, i t yt i 1 1 0,9 2max, t yt 2 1,1 9 1max; 30 t yt 2 1 0,9 min 2; t yt 31 30 yt 1,1 9 max t 。 4. 说明 很多学者研究了时标上二阶边值问题的正解存在性,比如文献[3]研究的是时标上二阶带脉冲的动力方程两 点边值问题解的存在性,论文是通过利用 Schaefer’s不动点定理和 Leray-Schauder非线性迭代来证明解的存在性。 [5]研究了在时标上二阶带脉冲的两点边值问题的解存在性,论文主要是利用的是Krasnoselskill 和Zabreiko和 Leggett-Williams 不动点定理进行证明的,得到存在一个和三个解的存在性。本文研究的是在时标上三阶带脉冲 的P-Laplacian 混合型动力方程多点边值问题,利用Avery-peterson 不动点定理证明了存在三个正解的充分条件, 为高阶的动力方程边值问题提供了理论基础,拓宽了研究方向。 5. 结论 本论文的研究结果是新的,并且丰富了时标上动力方程边 值问 题的理论内容,为以后高阶的动力方 程边值 问题奠定了一定的理论基础。 参考文献 (References) [1] Z. 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