Pure Mathematics
Vol. 09  No. 03 ( 2019 ), Article ID: 30129 , 8 pages
10.12677/PM.2019.93039

Existence of Three Solutions for a Choquard Equation

Yue Li, Anran Hou

School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming Yunnan

Received: Apr. 15th, 2019; accepted: Apr. 26th, 2019; published: May 9th, 2019

ABSTRACT

We study the following Choquard equation by the Theorem 1.1 in [1]

{ Δ u = β ( 1 | x | μ F ( u ) ) f ( u ) + λ u | u | p 2 u + h ( x ) , x Ω u = 0 , x Ω

where, Ω R 3 is an open, and bounded domain with a smooth boundary, h L 2 ( Ω ) , 0 < μ < 3 , 4 < p < 6 , β > 0 , λ > 0 . Under suitable assumption f C ( , ) , we prove this problem at least three weak solutions.

Keywords:Choquard Equation, Three Critical Points

整数阶Choquard方程三解的存在性

李月,侯安然

云南师范大学数学学院,云南 昆明

收稿日期:2019年4月15日;录用日期:2019年4月26日;发布日期:2019年5月9日

摘 要

应用 [1] 中的Theorem 1.1来研究下面的方程

{ Δ u = β ( 1 | x | μ F ( u ) ) f ( u ) + λ u | u | p 2 u + h ( x ) , x Ω u = 0 , x Ω

其中, Ω R 3 是具有光滑边界的有界开集, h L 2 ( Ω ) 0 < μ < 3 4 < p < 6 λ > 0 。非线性函数 f C ( , ) 在满足一定条件下得出该方程至少有三个弱解。

关键词 :Choquard方程,三临界点

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

近年来,越来越多的人开始关注整数阶Choquard方程

ε 2 Δ u + V ( x ) u = ε μ N ( 1 | x | μ F ( u ) ) f ( u ) + h ( u ) , x N (1.1)

此外,也有很多人研究(1.1)式中 ε = 1 时的经典问题。当 V = 1 h = 0 时,(1.1)式就会是著名的Choquard-Pekar方程

(1.2)

N = 3 q = 2 μ = 1 时的情况,是1954年Pekar在 [2] 中用来描述极化子静止时的量子理论时提出的。(1.2)式是1976年Choquard在 [3] 中描述单组分等离子体的Hartree-Fock理论时提出的。Lions在 [4] 中由临界点定理得到方程在 H 1 ( N ) 中有无穷多镜像解的存在性。对于基态解的一些性质,L. Ma和L. Zhao在 [5] 中证明了对于 q 2 时,广义的Choquard方程(1.2)式的每个正解都是径向对称的,并且单调递减到某一点。后来Moroz和Schaftingen在 [6] [7] 中消除了这种限制,并得出最佳参数的、基态的正则性和径向对称性,并推导出这些解在无限远处渐近衰减。还有一些人专注于半经典问题,即(1.1)式中的 ε 0 。非局部问题(1.1)的半经典解的存在性已经在 [8] 中给出。

在证明解的存在性时,临界点理论是解决问题的基本工具之一。1978年P. H. Rabinowitz在文献 [9] 介绍了鞍点理论,这迅速成为临界点理论的基础,也是极大极小原理之一。Jonas Volek在文献 [1] 中提出,如果泛函满足P. H. Rabinowitz的鞍形假设,再满足PS紧性条件以及下方有界,就可以得出方程至少有三个临界点。到目前为止,人们主要研究关于整数阶Choquard方程解的存在性、多重性以及集中性,据我们掌握的文献来看,还没有人研究Choquard方程的三临界点问题。因此受文献 [1] 中方法的启发,本文就对如下整数阶Choquard方程进行研究

{ Δ u = β ( 1 | x | μ F ( u ) ) f ( u ) + λ u | u | p 2 u + h ( x ) , x Ω u = 0 , x Ω (1.3)

其中, Ω R 3 是具有光滑边界的有界开集, h L 2 ( Ω ) 0 < μ < 3 4 < p < 6 β > 0 λ > 0 。非线性函数 f C ( , ) f 0 ,在 t 0 时有 f ( t ) = 0 ,且满足:

(f1) lim t 0 f ( t ) t = 0 .

(f2) q ( 6 μ 3 , min { 6 μ , p 2 } ) s . t . lim t f ( t ) t q 1 = 0 .

得出如下结论:

定理1.1 设 λ k < λ < λ k + 1 ,存在 α 0 > 0 β 0 > 0 使得 h 2 < α 0 β ( 0 , β 0 ) 时,方程(1.3)式至少有三个弱解。

2. 泛函设置

Ω 3 是具有光滑边界的有界开集,Sobolev空间 W 0 1 , 2 ( Ω ) 的范数为

u 1 , 2 = ( Ω | u | 2 d x ) 1 2

Lebesgue空间 L p ( Ω ) ( p 1 ) 的范数为

接下来介绍一些本文用到的结论。

引理2.1 (Hardy-Littlewood-Sobolev不等式) 令 t , r > 1 0 < μ < N 使得 1 r + μ N + 1 t = 2 。若 f L r ( N ) h L t ( N ) 。则存在一个与都无关的常数 C ( r , N , μ , t ) > 0 ,使得

2 N f ( x ) h ( y ) | x y | μ d x d y C ( r , N , μ , t ) f r h t

引理2.2 ( [1] , Theorem1.1) 设X是实Banach空间, X = Y Z 其中 Y 0 维数有限。假设 J C 1 ( X , ) 有下界,并且满足

(R) R > 0 s . t . max u B Y ( R ) J ( u ) < inf u Z J (u)

(PS) 对任意的序列 { u n } X 使得 { J ( u n ) } 有界,并且 J ( u n ) X 0 有收敛子列。

则J至少有三个临界点。

经过计算可以推出方程(1.3)相应的能量泛函为

J ( u ) = 1 2 Ω | u | 2 d x β 2 Ω ( 1 | x | μ F ( u ) ) F ( u ) d x λ 2 Ω | u | 2 d x + 1 p Ω | u | p d x 1 2 Ω | h ( x ) | 2 d x

引理2.3 设 h L 2 ( Ω ) ,则泛函J满足:

a) J C 1 ( W 0 1 , 2 ( Ω ) , ) 并且满足

J ( u ) , φ = Ω u φ d x β Ω ( 1 | x | μ F ( u ) ) f ( u ) φ d x λ Ω u φ d x + Ω | u | p 2 u φ d x Ω h ( x ) φ d x

其中 u , φ W 0 1 , 2 ( Ω )

b) u W 0 1 , 2 ( Ω ) 是(1.3)的弱解,当且仅当 u W 0 1 , 2 ( Ω ) 是J的临界点。

由上述引理可知,想要证明定理1.1只需证明J有至少三个临界点。

引理2.4 设 h L 2 ( Ω ) 则泛函J在 W 0 1 , 2 ( Ω ) 上弱强制,即当 u 1 , 2 时,有且J有下界。

证明:根据(f1)以及(f2)可以得出,对任意的 ξ > 0 存在 C ξ > 0 使得下式成立

f ( t ) ξ | t | + C ξ | t | q 1 , F ( t ) ξ | t | 2 + C ξ | t | q (2.1)

根据(2.1)以及引理2.1,可以推出下面不等式成立

| Ω ( 1 | x | μ F ( u ) ) F ( u ) d x | C F ( u ) t F ( u ) t C ( Ω ( | u | 2 + | u | q ) t d x ) 2 t C ( u 2 t 4 + u q t 2 q ) (2.2)

其中 t = 6 6 μ 。注意到 t < 2 则有 2 t < p t q < 2 q < p 。故结合(2.1)和(2.2)式可以推出

J ( u ) = 1 2 Ω | u | 2 d x β 2 Ω ( 1 | x | μ F ( u ) ) F ( u ) d x λ 2 Ω | u | 2 d x + 1 p Ω | u | p d x 1 2 Ω | h ( x ) | 2 d x 1 2 u 1 , 2 2 C ( u 2 t 4 + u q t 2 q ) λ 2 u 2 2 + 1 p u p p 1 2 h 2 2 1 2 u 1 , 2 2 C ( u p 4 + u p 2 q + λ 2 u p 2 ) + 1 p u p p 1 2 h 2 2 (2.3)

u 1 , 2 时,有以下两种情况:

i) 若 u p 有界,则有 J ( u )

ii) 若 u p ,则由 p > 2 q 以及 p > 4 可知~ J ( u )

故J是弱强制的。此外,由(2.3)式可推出

J ( u ) C ( u p 4 + u p 2 q + λ 2 u p 2 ) + 1 p u p p 1 2 h 2 2

不等式右边是与 u p 有关的函数,又因为 p > 2 q p > 4 ,所以不等式右边是有下界的,故出J有下界。

因为J是 C 1 且下方有界,由文献 [10] 知J存在PS序列。又因为J是弱强制的,所以PS序列 { u n } 有界,因此有下面引理成立。

引理2.5 如果序列 { u n } W 0 1 , 2 ( Ω ) 有界且 J ( u n ) 0 ,则 { u n } 有收敛子列。

证明:由 { u n } W 0 1 , 2 ( Ω ) 有界可知,在子列意义下有

u n u W 0 1 , 2 u n u L t ( Ω ) t [ 1 , 2 )

注意到

o n ( 1 ) = J ( u n ) , u n = u n 1 , 2 2 β Ω ( 1 | x | μ F ( u n ) ) f ( u n ) u n d x λ Ω u n 2 d x + Ω | u n | p d x Ω h ( x ) u n d x

u n 1 , 2 2 = β Ω ( 1 | x | μ F ( u n ) ) f ( u n ) u n d x + λ u n 2 2 u n p p + Ω h ( x ) u n d x + o n ( 1 ) (2.4)

此外

u 1 , 2 2 = β Ω ( 1 | x | μ F ( u n ) ) f ( u n ) u d x + λ u 2 2 u p p + Ω h ( x ) u d x + o n ( 1 ) (2.5)

因为 { u n } 有界,由(f1)-(f2),引理2.1以及Hölder不等式可得出

| Ω ( 1 | x | μ F ( u n ) ) f ( u n ) u n d x Ω ( 1 | x | μ F ( u n ) ) f ( u n ) u d x | Ω ( 1 | x | μ | F ( u n ) | ) | f ( u n ) | | u n u | d x C ( Ω | F ( u n ) | t d x ) 1 t ( Ω | f ( u n ) | t | u n u | t d x ) 1 t C ( Ω ( ξ | u n | + C ξ | u n | q 1 ) t | u n u | t d x ) 1 t

C ( Ω | u n | t | u n u | t d x + Ω | u n | ( q 1 ) t | u n u | t d x ) 1 t C ( ( Ω | u n u | 2 t d x ) 1 2 + ( Ω | u n u | q t d x ) 1 q ) 1 t = o n (1)

其中 t = 6 6 μ 。结合(2.4),(2.5)和(2.6)式可知 u n 1 , 2 u 1 , 2 。又因为 u n u W 0 1 , 2 ( Ω ) ,所以有 u n u W 0 1 , 2 ( Ω )

3. 定理1.1的证明

由引理2.4和引理2.5,我们有下面的引理成立。

引理3.1 设 h L 2 ( Ω ) ,则泛函J满足PS条件,即引理2.2的条件(PS)成立。

接下来证明J至少存在三个临界点,设 φ i ( i ) W 0 1 , 2 ( Ω ) 中对应的特征值 λ i ( Δ 算子的特征值)的特征函数且

Β = { φ i : i }

W 0 1 , 2 ( Ω ) 的规范正交基(参见文献 [11] 的Thm. 2.2.16),并且 λ k < λ k + 1 。将 W 0 1 , 2 ( Ω ) 分解为 Y Z ,其中

Y = { i = 1 k a i φ i : a i , φ i Β } , Z = { i = k + 1 a i φ i : a i , φ i Β } = Y (3.1)

引理3.2 设 λ k < λ < λ k + 1 ,则存在 α > 0 对任意的 h 2 < α ,都有泛函J满足引理2.2中的条件(R),其中 Y , Z 满足(3.1)式。

证明:设 u Z 结合Parseval等式有下式成立

u = i = k + 1 a i φ i , u 1 , 2 2 = i = k + 1 a i 2

注意到 φ i 满足

λ i Ω | φ i ( x ) | 2 d x = Ω | φ i ( x ) | 2 d x = 1 i (3.2)

因为 λ < λ k + 1 所以有

Ω | u ( x ) | 2 d x λ Ω | u ( x ) | 2 d x = i = k + 1 a i 2 ( 1 λ λ i ) ( 1 λ λ k + 1 ) u 1 , 2 2 (3.3)

因此,对 u Z 由(3.3)以及嵌入定理可以得到

J ( u ) 1 2 ( 1 λ λ k + 1 ) u 1 , 2 2 β 2 Ω ( 1 | x | μ F ( u ) ) F ( u ) d x + 1 p Ω | u | 2 d x 1 2 Ω | h ( x ) | 2 d x C 1 ( 1 λ λ k + 1 ) u p 2 β C 2 ( u p 2 + u p 2 q ) + 1 p u p p 1 2 h 2 2 1 2 h 2 2 + α β (3.4)

上式中 α β = inf t 0 g β ( t ) ,其中

g β ( t ) = C 1 ( 1 λ λ k + 1 ) t 2 + 1 p t p β C 2 ( t 4 + t 2 q ) , t 0

我们断言,存在 β 0 > 0 ,当 时, α β 0 。又因为 2 q < p p > 4 ,因此存在 t 0 > 0 ,当 β < 1 时,有

g β ( t ) C 1 ( 1 λ λ k + 1 ) t 2 + 1 p t p C 2 ( t 2 + t 2 q ) > 1

g β ( t ) 的最小值只能在区间 [ 0 , t 0 ] 上达到。因为 λ < λ k + 1 ,所以存在 β 0 > 0 ,当 β ( 0 , β 0 ) 时,对任意 t ( 0 , t 0 )

g β ( t ) = t 2 ( C 1 ( 1 λ λ k + 1 ) + 1 p t p 2 β C 2 ( t 2 + t 2 q 2 ) ) t 2 ( C 1 ( 1 λ λ k + 1 ) β C 2 ( t 0 2 + t 0 2 q 2 ) ) 0 (3.5)

所以 α β 0 。当取 u Y 时,有下式成立

u = i = 1 k a i φ i , u 1 , 2 2 = i = 1 k a i 2

λ k < λ ,以及(3.2)式可以推出

Ω | u ( x ) | 2 d x λ Ω | u ( x ) | 2 d x = i = 1 k a i 2 ( 1 λ λ i ) ( 1 λ λ k ) u 1 , 2 2 (3.6)

因此,对任意的 u Y 由Sobolev嵌入定理以及(3.6)有下式成立

J ( u ) 1 2 ( 1 λ λ k ) u 1 , 2 2 β 2 Ω ( 1 | x | μ F ( u ) ) F ( u ) d x + 1 p u p p 1 2 Ω | h ( x ) | 2 d x 1 2 ( 1 λ λ k ) u 1 , 2 2 + C u 1 , 2 p (3.7)

因此,结合(3.5)和(3.7)式可知,如果要证明引理2.3中条件(R)成立,当且仅当存在 R > 0 使得对 u Y u 1 , 2 = R 时要有下式成立

1 2 ( 1 λ λ k + 1 ) u 1 , 2 2 + C u 1 , 2 p < 1 2 h 2 2

u 1 , 2 = r 整理得出下式

Λ ( r ) = 1 2 ( 1 λ λ k ) r 2 + C r p

因为 Λ ( r ) u 2 无关,并且 λ k < λ 。故存在某个 R > 0 使得 Λ ( R ) Λ ( r ) 的严格负的极小值。因此存在一个充分小的 α 0 > 0 使得

Λ ( R ) < 1 2 h 2 2 h 2 < α 0

因此,对任意的 h L 2 ( Ω ) h 2 < α 0 以及 u Y u 1 , 2 = R

J ( u ) < 1 2 h 2 2 inf u Z J (u)

因此满足引理2.2中的条件(R)。

综上所述,验证出引理2.2的所有条件都成立,所以泛函J至少存在三个临界点,即定理1.1成立。

文章引用

李 月,侯安然. 整数阶Choquard方程三解的存在性
Existence of Three Solutions for a Choquard Equation[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 291-298. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93039

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