Pure Mathematics
Vol.
09
No.
03
(
2019
), Article ID:
30129
,
8
pages
10.12677/PM.2019.93039
Existence of Three Solutions for a Choquard Equation
Yue Li, Anran Hou
School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming Yunnan
Received: Apr. 15th, 2019; accepted: Apr. 26th, 2019; published: May 9th, 2019
ABSTRACT
We study the following Choquard equation by the Theorem 1.1 in [1]
where, is an open, and bounded domain with a smooth boundary, , , , , . Under suitable assumption , we prove this problem at least three weak solutions.
Keywords:Choquard Equation, Three Critical Points
整数阶Choquard方程三解的存在性
李月,侯安然
云南师范大学数学学院,云南 昆明
收稿日期:2019年4月15日;录用日期:2019年4月26日;发布日期:2019年5月9日
摘 要
应用 [1] 中的Theorem 1.1来研究下面的方程
其中, 是具有光滑边界的有界开集, , , ,, 。非线性函数 在满足一定条件下得出该方程至少有三个弱解。
关键词 :Choquard方程,三临界点
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
近年来,越来越多的人开始关注整数阶Choquard方程
(1.1)
此外,也有很多人研究(1.1)式中 时的经典问题。当, , 且 时,(1.1)式就会是著名的Choquard-Pekar方程
(1.2)
当 , 且 时的情况,是1954年Pekar在 [2] 中用来描述极化子静止时的量子理论时提出的。(1.2)式是1976年Choquard在 [3] 中描述单组分等离子体的Hartree-Fock理论时提出的。Lions在 [4] 中由临界点定理得到方程在 中有无穷多镜像解的存在性。对于基态解的一些性质,L. Ma和L. Zhao在 [5] 中证明了对于 时,广义的Choquard方程(1.2)式的每个正解都是径向对称的,并且单调递减到某一点。后来Moroz和Schaftingen在 [6] [7] 中消除了这种限制,并得出最佳参数的、基态的正则性和径向对称性,并推导出这些解在无限远处渐近衰减。还有一些人专注于半经典问题,即(1.1)式中的 。非局部问题(1.1)的半经典解的存在性已经在 [8] 中给出。
在证明解的存在性时,临界点理论是解决问题的基本工具之一。1978年P. H. Rabinowitz在文献 [9] 介绍了鞍点理论,这迅速成为临界点理论的基础,也是极大极小原理之一。Jonas Volek在文献 [1] 中提出,如果泛函满足P. H. Rabinowitz的鞍形假设,再满足PS紧性条件以及下方有界,就可以得出方程至少有三个临界点。到目前为止,人们主要研究关于整数阶Choquard方程解的存在性、多重性以及集中性,据我们掌握的文献来看,还没有人研究Choquard方程的三临界点问题。因此受文献 [1] 中方法的启发,本文就对如下整数阶Choquard方程进行研究
(1.3)
其中, 是具有光滑边界的有界开集, , , , , 。非线性函数 , ,在 时有 ,且满足:
(f1) .
(f2) .
得出如下结论:
定理1.1 设 ,存在 , 使得 , 时,方程(1.3)式至少有三个弱解。
2. 泛函设置
设 是具有光滑边界的有界开集,Sobolev空间 的范数为
Lebesgue空间 的范数为
接下来介绍一些本文用到的结论。
引理2.1 (Hardy-Littlewood-Sobolev不等式) 令 且 使得 。若 且 。则存在一个与都无关的常数 ,使得
引理2.2 ( [1] , Theorem1.1) 设X是实Banach空间, 其中 维数有限。假设 有下界,并且满足
(R)
(PS) 对任意的序列 使得 有界,并且 有收敛子列。
则J至少有三个临界点。
经过计算可以推出方程(1.3)相应的能量泛函为
引理2.3 设 ,则泛函J满足:
a) 并且满足
其中 。
b) 是(1.3)的弱解,当且仅当 是J的临界点。
由上述引理可知,想要证明定理1.1只需证明J有至少三个临界点。
引理2.4 设 则泛函J在 上弱强制,即当 时,有且J有下界。
证明:根据(f1)以及(f2)可以得出,对任意的 存在 使得下式成立
(2.1)
根据(2.1)以及引理2.1,可以推出下面不等式成立
(2.2)
其中 。注意到 则有 , 。故结合(2.1)和(2.2)式可以推出
(2.3)
当 时,有以下两种情况:
i) 若 有界,则有 。
ii) 若 ,则由 以及 可知~ 。
故J是弱强制的。此外,由(2.3)式可推出
不等式右边是与 有关的函数,又因为 且 ,所以不等式右边是有下界的,故出J有下界。
因为J是 且下方有界,由文献 [10] 知J存在PS序列。又因为J是弱强制的,所以PS序列 有界,因此有下面引理成立。
引理2.5 如果序列 有界且 ,则 有收敛子列。
证明:由 有界可知,在子列意义下有
注意到
故
(2.4)
此外
故
(2.5)
因为 有界,由(f1)-(f2),引理2.1以及Hölder不等式可得出
其中 。结合(2.4),(2.5)和(2.6)式可知 。又因为 于 ,所以有 于 。
3. 定理1.1的证明
由引理2.4和引理2.5,我们有下面的引理成立。
引理3.1 设 ,则泛函J满足PS条件,即引理2.2的条件(PS)成立。
接下来证明J至少存在三个临界点,设 为 中对应的特征值 ( 算子的特征值)的特征函数且
是 的规范正交基(参见文献 [11] 的Thm. 2.2.16),并且 。将 分解为 ,其中
(3.1)
引理3.2 设 ,则存在 对任意的且 ,都有泛函J满足引理2.2中的条件(R),其中 满足(3.1)式。
证明:设 结合Parseval等式有下式成立
注意到 满足
(3.2)
因为 所以有
(3.3)
因此,对 由(3.3)以及嵌入定理可以得到
(3.4)
上式中 ,其中
我们断言,存在 ,当 时, 。又因为 且 ,因此存在 ,当, 时,有
则 的最小值只能在区间 上达到。因为 ,所以存在 ,当 时,对任意 有
(3.5)
所以 。当取 时,有下式成立
由 ,以及(3.2)式可以推出
(3.6)
因此,对任意的 由Sobolev嵌入定理以及(3.6)有下式成立
(3.7)
因此,结合(3.5)和(3.7)式可知,如果要证明引理2.3中条件(R)成立,当且仅当存在 使得对 , 时要有下式成立
记 整理得出下式
记
因为 与 无关,并且 。故存在某个 使得 为 的严格负的极小值。因此存在一个充分小的 使得
因此,对任意的 且 以及 且 有
因此满足引理2.2中的条件(R)。
综上所述,验证出引理2.2的所有条件都成立,所以泛函J至少存在三个临界点,即定理1.1成立。
文章引用
李 月,侯安然. 整数阶Choquard方程三解的存在性
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