与薛定谔算子相关的Marcinkiewicz积分在混合Morrey空间上的加权估计 Weighted Estimates of Marcinkiewicz Integrals Associated with Schr?dinger Operator on Mixed Morrey Space

doi:10.12677/PM.2022.127129

Pure Mathematics
Vol. 12 No. 07 ( 2022 ), Article ID: 53669 , 16 pages
10.12677/PM.2022.127129

与薛定谔算子相关的Marcinkiewicz积分在混合Morrey空间上的加权估计

王静

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西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州

收稿日期：2022年6月6日；录用日期：2022年7月8日；发布日期：2022年7月15日

摘要

利用A_p的估计以及函数分解方法，借助L^p空间上的加权估计，证明了与薛定谔算子相关的Marcinkiewicz积分在混合Morrey空间上的加权有界性，并给出与薛定谔算子相关的Marcinkiewicz积分的BMO交换子的加权有界性。

关键词

薛定谔算子，Marcinkiewicz积分，交换子，混合Morrey空间，加权有界性

Weighted Estimates of Marcinkiewicz Integrals Associated with Schrödinger Operator on Mixed Morrey Space

Jing Wang

College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu

Received: Jun. 6^th, 2022; accepted: Jul. 8^th, 2022; published: Jul. 15^th, 2022

ABSTRACT

By using the weight estimation of A_p and the function decomposition method, and owing to the weighted estimation on the L^p spaces, we proved the weighted boundedness of Marcinkiewicz integrals associated with Schrödinger operator on mixed Morrey spaces, and the weighted boundedness of BMO commutators of Marcinkiewicz integrals associated with Schrödinger operator.

Keywords:Schrödinger Operator, Marcinkiewicz Integral, Commutator, Mixed Morrey Space, Weighted Boundedness

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1. 引言及主要结果

我们考虑薛定谔算子

$L = - Δ + V (x), ℝ^{d}, d \geq 3$

其中 $V (x)$ 是非负位势，属于反向Hölder类 $R H_{s}, s \geq \frac{d}{2}$ ，因此，存在一个常数C，使得对任意球 $B \subset ℝ^{n}$

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} V {(y)}^{s} d y)}^{\frac{1}{s}} \leq \frac{C}{| B |} \int_{B} V (y) d y .$ (1)

对任意 $V \in R H_{s}, s \geq \frac{d}{2}$ ，临界半径函数 $ρ (x) = ρ (x, V)$ ，给定

$ρ (x) : = \sup {r > 0 : \frac{1}{r^{d - 2}} \int_{B (x, r)} V (y) d y \leq 1} .$ (2)

其中 $B (x, r)$ 是以x为中心，以r为半径的球。对任意 $x \in ℝ^{d}$ 这个辅助函数满足 $0 < ρ (x) < \infty$ 。

与薛定谔算子L相关的Marcinkiewicz积分 $μ_{j, Ω}^{L}$ 定义为

$μ_{j, Ω}^{L} (f) (x, t) = {(\int_{0}^{\infty} {| \int_{| x - y | \leq h} | Ω (x - y) | K_{j}^{L} (x, y) f (y, t) d y |}^{2} \frac{d h}{h^{3}})}^{\frac{1}{2}}$ (3)

其中 $K_{j}^{L} (x, y) = \tilde{K_{j}^{L}} (x, y) | x - y |$ 并且 $\tilde{K_{j}^{L}} (x, y)$ 是 $R_{j} = \frac{\partial}{\partial x_{j}} L^{- \frac{1}{2}}, j = 1, \dots, n$ 的核。当 $V = 0$ 时， $K_{j}^{Δ} (x, y) = \tilde{K_{j}^{Δ}} (x, y) | x - y | = \frac{\frac{x_{j} - y_{j}}{| x - y |}}{{| x - y |}^{n - 1}}$ 并且 $\tilde{K_{j}^{Δ}} (x, y)$ 是 $R_{j} = \frac{\partial}{\partial x_{j}} Δ^{- \frac{1}{2}}, j = 1, \dots, n$ 的核。

下面我们定义交换子 $[b, μ_{j, Ω}^{L}]$

$[b, μ_{j, Ω}^{L}] (f) (x, t) = {(\int_{0}^{\infty} {| \int_{| x - y | \leq h} | Ω (x - y) | K_{j}^{L} (x, y) [b (x) - b (y)] f (x, t) d y |}^{2} \frac{d h}{h^{3}})}^{\frac{1}{2}}$ (4)

当 $f (y, t) \equiv f (y)$ 时，上面定义的与薛定谔算子L相关的Marcinkiewicz积分 $μ_{j, Ω}^{L}$ 是一般的与薛定谔算子L相关的Marcinkiewicz积分 $μ_{j, Ω}^{L}$ 。2020年，Ferit GÜRBÜZ在文献 [1] 中得到了 $μ_{j, Ω}^{L}$ 与 $μ_{j, Ω, b}^{L}$ 在加权Lebesgue空间上的有界性，进一步关于与薛定谔算子L相关的Marcinkiewicz积分 $μ_{j, Ω}^{L}$ 的结果可参见文献 [2] [3] [4] [5]。

Morrey空间作为Lebesgue空间的一个重要推广，在调和分析及其偏微分方程等领域有非常重要的应用 [6] [7] [8] [9]。2020年，Wang在文献 [10] 中定义了一类加权Morrey空间 $L_{ρ, θ}^{p, k} (μ, ν)$ 。2017年，Ragusa-Scapellato在文献 [11] 中定义了一类时空混合范Morry空间 $L^{q, μ} (0, T, L^{p, λ} (ℝ^{n}))$ ，它的优点之一是允许我们将时间和空间分开对待，这一特点在研究进化算子(例如Kolmogorov算子)和抛物型偏微分方程有重要应用。文献 [11] [12] [13] 得到了Riesz位势，Marcinkiewicz积分和带Gaussian核算子在时空混合范Morry空间 $L^{q, μ} (0, T, L^{p, λ} (ℝ^{n}))$ 上的有界性。本文将主要研究与薛定谔算子L相关的Marcinkiewicz积分 $μ_{j, Ω}^{L}$ 在时空混合范Morrey空间上的加权有界性，并给出Marcinkiewicz积分交换子的加权有界性。为此，我们首先引入下面定义。

定义1 [10] 设 $1 \leq p < \infty$ ， $0 < λ < 1$ 并且对于 $ℝ^{d}$ 中两个权函数u和v，给定 $0 < θ < \infty$ ，加权Morrey空间 $L_{ρ, θ}^{p, k} (μ, ν)$ 定义为 $ℝ^{d}$ 上所有p-局部可积函数f的集合，使

${(\frac{1}{υ {(B)}^{λ}} \int_{B} {| f (x) |}^{p} μ (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \leq C \cdot {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{θ}$ (5)

对 $ℝ^{d}$ 上任意的球 $B = B (x_{0}, r)$ ，则

${‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (μ, ν)} : = \sup_{B} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ} \cdot {(\frac{1}{ν {(B)}^{λ}} \int_{B} {| f (x) |}^{p} μ (x) d x)}^{\frac{1}{p}} < \infty$ (6)

定义2 设 $T > 0$ ， $1 \leq p, q < \infty$ ， $0 < λ, μ < 1$ 。u，v为 $ℝ^{d}$ 上的非负可测函数，时空混合Morrey空间定义为

$L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, θ}^{p, λ} (u, v)) : = {f (x, t) : {‖ f ‖}_{L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, θ}^{p, λ} (u, v))} < \infty},$

其中，

${‖ f ‖}_{L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, θ}^{p, λ} (u, v))} : = {(\sup_{t_{0} \in [0, T], ρ > 0} \frac{1}{ρ^{μ}} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{B} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ q} {(\frac{1}{v {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B} {| f (x, t) |}^{p} u (x) d x)}^{\frac{q}{p}} d t)}^{\frac{1}{q}} .$ (7)

这里， $B_{ρ} (x) = {y \in ℝ^{d} : | y - x | < ρ}$ 。当 $μ = ν$ 时，简记为 $L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, θ}^{p, λ} (u))$ 。

容易看出，时空混合范加权Morrey空间 $L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, θ}^{p, λ} (u, v))$ 是文献中所定义的加权Morrey空间 $L_{ρ, θ}^{p, λ} (u, v)$ 的一种自然推广。叙述本文主要结果之前，先回顾 $A_{p}^{ρ, \infty}$ 和 $A_{p, q}^{ρ, \infty}$ 权的定义 [14]。

设 $1 < p < \infty$ ， $0 < θ < \infty$ ，称非负可测函数 $w \in A_{p}^{ρ, \infty}$ ，如果对任意的球 $B \subseteq ℝ^{d}$ ，存在与B无关的常数 $C > 0$ ，使得

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} {(\frac{1}{| B |} \int_{B} w {(x)}^{- \frac{p^{'}}{p}} d x)}^{\frac{1}{p^{'}}} \leq C \cdot {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{θ} .$ (8)

设 $1 < p < q < \infty$ ， $0 < θ < \infty$ ，称非负可测函数 $w \in A_{p, q}^{ρ, \infty}$ ，如果对任意的球 $B \subseteq ℝ^{d}$ ，存在与B无关的常数 $C > 0$ ，使得

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} w {(x)}^{q} d x)}^{\frac{1}{q}} {(\frac{1}{| B |} \int_{B} w {(x)}^{- p^{'}} d x)}^{\frac{1}{p^{'}}} \leq C \cdot {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{θ},$ (9)

其中， $p^{'} = \frac{p}{p - 1}$ 为p的对偶指标。

设 $1 < r < \infty$ ， $0 < θ < \infty$ ，如果对任意的球 $B \subseteq ℝ^{d}$ ，存在与B无关的常数 $C > 0$ ，使得下面的反向Hölder不等式成立

${(\frac{1}{| B |} \int_{B} w {(x)}^{r} d x)}^{\frac{1}{r}} \leq C (\frac{1}{| B |} \int_{B} w (x) d x) {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{θ},$ (10)

记 $w \in R H_{r}^{ρ, θ}$ 。

在文献 [15] 中引入了一类新的 ${BMO}_{ρ, \infty} (ℝ^{n})$ 空间的定义，即 ${BMO}_{ρ, \infty} (ℝ^{n}) : = \cup_{θ > 0} {BMO}_{ρ, \infty} (ℝ^{n})$ 其中 $0 < θ < \infty$ ，被 ${BMO}_{ρ, \infty} (ℝ^{n})$ 空间定义的局部可积函数b满足

$\frac{1}{| B (x_{0}, r) |} \int_{B (x_{0}, r)} | b (x) - b_{B} (x_{0}, r) | \leq C \cdot {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{θ}$ (11)

对所有的球 $B (x_{0}, r)$ ，其中 $x_{0} \in ℝ^{d}$ ， $r > 0$ ，并且 $b_{B} (x_{0}, r)$ 被定义为b在 $B (x_{0}, r)$ ，即 $b_{B (x_{0}, r)} : = \frac{1}{| B (x_{0}, r) |} \int_{B (x_{0}, r)} b (y) d y$ 。 $b \in {BMO}_{ρ, \infty} (ℝ^{n})$ 的范数用 ${‖ b ‖}_{{BMO}_{ρ, θ}}$ ，即

${‖ b ‖}_{{BMO}_{ρ, θ}} : = \sup_{B (x_{0}, r)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ} \cdot (\frac{1}{| B (x_{0}, r) |} \int_{B (x_{0}, r)} | b (x) - b_{B (x_{0}, r)} | d x),$ (12)

其中上确界取所有的球 $B (x_{0}, r)$ 。

本文的主要结果如下。

定理1 设 $Ω \in L^{s} (S^{d - 1})$ ， $1 < s \leq \infty$ 。则对任意 $1 < p, q < \infty$ ， $0 < λ < 1$ ， $0 < μ < 1$ ，且 $w \in A_{p}^{ρ, \infty}$ ，存在与f无关的常数 $C > 0$ ，使得

${‖ μ_{j, Ω}^{L} (f) ‖}_{L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, \infty}^{p, λ} (w))} \leq C {‖ f ‖}_{L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, \infty}^{p, λ} (w))} .$

定理2 设 $Ω \in L^{s} (S^{d - 1})$ ， $1 < s \leq \infty$ ，且 $b \in BMO (ℝ^{d} \times [0, T])$ 。则对任意 $1 < p, q < \infty$ ， $0 < λ < 1$ ， $0 < μ < 1$ ，且 $w \in A_{p}^{ρ, \infty}$ ，存在与f无关的常数 $C > 0$ ，使得

${‖ [b, μ_{j, Ω}^{L}] (f) ‖}_{L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, \infty}^{p, λ} (w))} \leq C {‖ f ‖}_{L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, \infty}^{p, λ} (w))} .$

定理3 设 $Ω \in L^{s} (S^{d - 1})$ ， $1 < s \leq \infty$ ，且 $b \in BMO (ℝ^{d} \times [0, T])$ 。则对任意 $1 < p, q < \infty$ ， $0 < λ < 1$ ， $0 < μ < 1$ ，且 $w \in A_{p}^{ρ, \infty}$ ，存在与f无关的常数 $C > 0$ ，使得

${(\sup_{t_{0} \in (0, T), ρ > 0} \frac{1}{ρ^{μ}} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} {‖ μ_{j, Ω}^{L} (f) ‖}_{B M O_{ρ, \infty}}^{q} d t)}^{\frac{1}{q}} \leq C {‖ f ‖}_{L^{q, μ} (0, T, L_{ρ, \infty}^{p, λ} (w))} .$

2. 定理的证明

本节介绍定理证明中需要用到的结论和引理。

引理1 [1] 设零阶齐次函数 $Ω \in L^{s} (S^{d - 1}) (1 < s \leq \infty)$ ，对任意 $μ > 0$ ， $Ω (μ x) = Ω (x)$ ， $x \in R^{n} \ 0$ 并且 $V \in R H_{n}$ 。则对任意 $q^{'} < p < \infty$ 且 $w \in A_{\frac{p}{q^{'}}}$ ，下列不等式成立

${‖ μ_{j, Ω}^{L} (f) ‖}_{L^{p} (w)} \leq C {‖ f ‖}_{L^{p} (w)} .$

引理2 [1] 设零阶齐次函数 $Ω \in L^{s} (S^{d - 1}) (1 < s \leq \infty)$ ，对任意 $μ > 0$ ， $Ω (μ x) = Ω (x)$ ， $x \in R^{n} \ 0$ ， $V \in R H_{n}$ 并且 $b \in BMO (R^{n})$ 。则对任意的 $q^{'} < p < \infty$ 且 $w \in A_{\frac{p}{q^{'}}}$ ，下列不等式成立

${‖ [b, μ_{j, Ω}^{L}] (f) ‖}_{L^{p} (w)} \leq C {‖ f ‖}_{L^{p} (w)} .$

引理3 [16] 设 $V \in R H_{d}$ ，则，

(a) 对任意N，存在一个常数C，使得

$| K_{j}^{L} (x, z) | \leq C {(1 + \frac{| x - z |}{ρ (x)})}^{- N} \cdot \frac{1}{{| x - z |}^{d - 1}};$

(b) 对任意N和 $0 < δ < \min 1, 1 - \frac{d}{q_{0}}$ ，存在一个常数C，使得

$| K_{j}^{L} (x, z) - K_{j}^{L} (y, z) | \leq C {(1 + \frac{| x - z |}{ρ (x)})}^{- N} \frac{{| x - y |}^{δ}}{{| x - z |}^{d - 1 + δ}},$

其中 $| x - y | < \frac{2}{3} | x - z |$ 。

引理4 [16] 设 $V \in R H_{s}$ 且 $s \geq \frac{d}{2}$ ，则存在两个正常数 $C_{0} \geq 1$ 和 $N_{0} > 0$ ，使得对任意的 $x, y \in ℝ^{d}$ ，都有

$\frac{1}{C_{0}} {(1 + \frac{| x - y |}{ρ (x)})}^{- N_{0}} \leq \frac{ρ (y)}{ρ (x)} \leq C_{0} {(1 + \frac{| x - y |}{ρ (x)})}^{\frac{N_{0}}{N_{0} + 1}} .$

作为上式的一个直接结果，我们可以得到，对任意的整数 $k \geq 1$ ，有下面的估计

$1 + \frac{2^{k} r}{ρ (y)} \geq \frac{1}{C_{0}} {(1 + \frac{r}{ρ (x)})}^{- \frac{N_{0}}{N_{0} + 1}} (1 + \frac{2^{k} r}{ρ (x)}),$

对任意 $y \in B (x, r)$ ，其中 $x \in ℝ^{n}$ 且 $r > 0$ ， $C_{0}$ 是(3)式中所定义的。

引理5 [10] 设 $w \in A_{p}^{ρ, θ}$ ，其中 $0 < θ < \infty$ ， $1 \leq p < \infty$ 。则存在两个数 $δ, η > 0$ 和常数 $C > 0$ ，对球B的任意可测集E，使得

$\frac{ω (E)}{ω (B)} \leq C {(\frac{| E |}{| B |})}^{δ} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{η} .$

引理6 [10] 设 $b \in {BMO}_{ρ, \infty} (ℝ^{d})$ 且 $w \in A_{p}^{ρ, \infty}$ ，其中 $1 \leq p < \infty$ ，则存在常数 $C > 0$ 和 $μ > 0$ ，使得对 $ℝ^{d}$ 上任意球 $B = B (x_{0}, r)$ ，我们有

${(\int_{B} {| b (x) - b_{B} |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \leq C \cdot w {(B)}^{\frac{1}{p}} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{μ} .$

引理7 [10] 设 $b \in {BMO}_{ρ, θ} (ℝ^{d})$ ，其中 $0 < θ < \infty$ ，则对任意整数 $k > 0$ ，存在一个常数 $C > 0$ ，使得对 $ℝ^{d}$ 上任意球 $B = B (x_{0}, r)$ ，我们有

$| b_{2^{k + 1} B} - b_{B} | \leq C \cdot (k + 1) {(1 + \frac{2^{k + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ} .$

定理1的证明设 $B = B (x_{0}, r)$ 是 $ℝ^{d}$ 中的一个以 $x_{0}$ 为中心，以r为半径的球，记 $f = f_{1} + f_{2}$ ，其中 $f_{1} = f χ_{2 B}$ ， $χ_{B}$ 表示B的特征函数。则有

$\begin{array}{l} \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} {| μ_{j, Ω}^{L} f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} {| μ_{j, Ω}^{L} f_{1} (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{P}} + \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} {| μ_{j, Ω}^{L} f_{2} (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ : = I_{1} (t) + I_{2} (t) . \end{array}$

由引理1，可得

$\begin{matrix} I_{1} (t) = C \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} {| μ_{j, Ω}^{L} f_{1} (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C \frac{w {(2 B)}^{\frac{λ}{p}}}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\frac{1}{w {(2 B)}^{λ}} \int_{2 B} {| f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} \cdot \frac{w {(2 B)}^{\frac{λ}{p}}}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} \cdot {(1 + \frac{2 r}{ρ (x_{0})})}^{θ} . \end{matrix}$

对任意权 $v \in A_{p}^{ρ, θ^{'}}$ 及 $ℝ^{n}$ 中任意球B，则存在与v和B无关的常数 $C > 0$ ，使得

$v (2 B (x_{0}, r)) \leq C \cdot {(1 + \frac{2 r}{ρ (x_{0})})}^{p θ^{'}} v (B (x_{0}, r)),$

事实上，对 $1 < p < \infty$ ，应用Hölder不等式，可得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2 B} \int_{2 B} | ℏ (x) | d x = \frac{1}{2 B} \int_{2 B} | ℏ (x) | v {(x)}^{\frac{1}{p}} v {(x)}^{- \frac{1}{p}} d x \\ \leq \frac{1}{2 B} {(\int_{2 B} {| ℏ (x) |}^{p} v (x) d x)}^{\frac{1}{p}} {(\int_{2 B} v {(x)}^{- \frac{p^{'}}{p}} d x)}^{\frac{1}{p^{'}}} \\ \leq \frac{C}{v {(2 B)}^{\frac{1}{p}}} {(\int_{2 B} {| ℏ (x) |}^{p} v (x) d x)}^{\frac{1}{p}} {(1 + \frac{2 r}{ρ (x_{0})})}^{θ^{'}} . \end{array}$

如果我们令 $ℏ (x) = χ_{B} (x)$ ，则以上的表达式就为

$\frac{| B |}{| 2 B |} \leq C \cdot \frac{v {(B)}^{\frac{1}{t}}}{v {(2 B)}^{\frac{1}{t}}} {(1 + \frac{2 r}{ρ (x_{0})})}^{p θ^{'}} .$

即我们就得到

$\begin{matrix} I_{1} (t) \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} \cdot {(1 + \frac{2 r}{ρ (x_{0})})}^{p θ^{'}} \cdot {(1 + \frac{2 r}{ρ (x_{0})})}^{θ} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} \cdot {(1 + \frac{2 r}{ρ (x_{0})})}^{ϑ^{'}} . \end{matrix}$

其中 $ϑ^{'} : = p θ^{'} + θ$ 下面我们估计 $I_{2} (t)$ ，我们注意到，如果 $x \in B$ ， $y \in 2^{j + 1} B \ 2^{j} B$ ， $j \geq 1$ 则应用引理3(a)，可得

$\begin{matrix} μ_{j, Ω}^{L} (f_{2}) (x, t) \leq {(\int_{0}^{\infty} {| \int_{{(2 B)}^{c}} | Ω (x - y) | K_{j}^{L} (x, y) f (y, t) d y |}^{2} \frac{d t}{t^{3}})}^{\frac{1}{2}} \\ \leq \sum_{j = 1}^{\infty} (\int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | K_{j}^{L} (x, y) | | f (y, t) | d y) \cdot {(\int_{2^{j - 1} r}^{\infty} \frac{d h}{h^{3}})}^{\frac{1}{2}} \\ \leq \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{{| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{n}}} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | \frac{1}{{(1 + \frac{| x - y |}{ρ (x)})}^{N}} \cdot \frac{1}{{| x - y |}^{n - 1}} | f (y, t) | d y . \end{matrix}$

我们注意到，如果 $x \in B$ ， $y \in {(2 B)}^{c}$ ，则 $| y - x | ~ | y - x_{0} |$ ，应用Hölder不等式和引理4。可得

$\begin{array}{l} \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{{| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{n}}} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | \frac{1}{{(1 + \frac{| x - y |}{ρ (x)})}^{N}} \cdot \frac{1}{{| x - y |}^{n - 1}} | f (y, t) | d y \\ \leq C \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | {(1 + \frac{2^{j} r}{ρ (x)})}^{- N} | f (y, t) | d y \\ \leq C \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N \cdot \frac{N_{0}}{N_{0} + 1}} \cdot {(1 + \frac{2^{j} r}{ρ (x_{0})})}^{- N} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | f (y, t) | d y \\ \leq C \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N \cdot \frac{N_{0}}{N_{0} + 1}} {(1 + \frac{2^{j} r}{ρ (x_{0})})}^{- N} {(\int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} {| Ω (x - y) |}^{s} d y)}^{\frac{1}{s}} \cdot {(\int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} {| f (y, t) |}^{s^{'}} d y)}^{\frac{1}{s^{'}}} . \end{array}$

下面利用球坐标变换，我们估计

$\begin{matrix} {(\int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} {| Ω (x - y) |}^{s} d y)}^{\frac{1}{s}} = {(\int_{2^{j - 1} r \leq | z | < 2^{j + 2} r} {| Ω (z) |}^{s} d y)}^{\frac{1}{s}} \\ = {(\int_{2^{j - 1} r}^{2^{j + 2} r} \int_{S^{n - 1}} {| Ω (z) |}^{s} ρ^{n - 1} d σ (z) d ρ)}^{\frac{1}{s}} \\ \leq C {(\int_{S^{n - 1}} {| Ω (z) |}^{s} d σ (z))}^{\frac{1}{s}} \cdot {(\int_{2^{j - 1} r}^{2^{j + 2} r} ρ^{n - 1} d ρ)}^{\frac{1}{s}} \\ \leq C {‖ Ω ‖}_{L^{s} (S^{n - 1})} {| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{s}} . \end{matrix}$

下面应用Hölder不等式，且 $w \in A_{p}^{ρ, θ^{'}}$ ，则

$\begin{matrix} {(\int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} {| f (y, t) |}^{s^{'}} d y)}^{\frac{1}{s^{'}}} \leq {(\int_{2^{j + 1} B} {| f (y, t) |}^{s^{'}} w {(y)}^{\frac{1}{p_{1}} - \frac{1}{p_{1}}} d y)}^{\frac{1}{s^{'}}} \\ \leq {(\int_{2^{j + 1} B} {| f (y, t) |}^{p_{1} s^{'}} w (y) d y)}^{\frac{1}{p_{1} s^{'}}} \cdot {(\int_{2^{j + 1} B} w {(y)}^{- \frac{{p^{'}}_{1}}{p_{1}}} d y)}^{\frac{1}{{p^{'}}_{1} s^{'}}} \\ \leq C {(\int_{2^{j + 1} B} {| f (y, t) |}^{p} w (y) d y)}^{\frac{1}{p}} \cdot {(\int_{2^{j + 1} B} w {(y)}^{- \frac{1}{p_{1} - 1}} d y)}^{\frac{p_{1} - 1}{p}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ - 1}{p}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ + θ^{'}} {| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{p_{1} s^{'}} + \frac{1}{{p^{'}}_{1} s^{'}}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ - 1}{p}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ + θ^{'}} {| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{s^{'}}} . \end{matrix}$

因此，由上面的估计我们可以得到

$| μ_{j, Ω}^{L} f_{2} (x, t) | \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} \sum_{j = 1}^{\infty} w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ - 1}{p}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{- N + θ + θ^{'}} \cdot {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} .$

因此，可以得到

$\begin{matrix} I_{2} (t) \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} \cdot \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{w {(B)}^{\frac{1 - λ}{p}}}{w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{1 - λ}{p}}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{- N + θ + θ^{'}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} \cdot \sum_{j = 1}^{\infty} {(\frac{B}{2^{j + 1} B})}^{δ (\frac{1 - λ}{p})} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{- N + θ + θ^{'} + η (\frac{1 - λ}{p})} . \end{matrix}$

因此，取N足够大，使得 $N > θ + θ^{'} + η (\frac{1 - λ}{p})$ 我们可得到

$\begin{matrix} I_{2} (t) \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} \cdot \sum_{j = 1}^{\infty} {(\frac{B}{2^{j + 1} B})}^{δ (\frac{1 - λ}{p})} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} . \end{matrix}$

结合 $I_{1} (t)$ 和 $I_{2} (t)$ 的估计，我们令 $ϑ = \max {ϑ^{'}, N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})}$ ，可以得到下面式子

$\begin{array}{l} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- ϑ} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| μ_{j, Ω}^{L} f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} . \end{array}$

在上式两边q次方，再在 $(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)$ 上积分，得到

$\begin{array}{l} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- ϑ q} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| μ_{j, Ω}^{L} f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{q}{p}} d t \\ \leq C \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ q} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{q}{p}} d t . \end{array}$

不等号两边乘 $\frac{1}{ρ^{μ}}$ ，再取上确界，两边再 $\frac{1}{q}$ 次方，就可得到

$\begin{array}{l} {(\sup_{t_{0} \in (0, T), ρ > 0} \frac{1}{ρ^{μ}} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- ϑ q} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| μ_{j, Ω}^{L} f (x, t) |}^{p} w (x) d y)}^{\frac{q}{p}} d t)}^{\frac{1}{q}} \\ \leq {(\sup_{t_{0} \in (0, T), ρ > 0} \frac{1}{ρ^{μ}} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ q} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{q}{p}} d t)}^{\frac{1}{q}} . \end{array}$

定理2的证明设 $B = B (x_{0}, r)$ 是 $ℝ^{d}$ 中的一个以 $x_{0}$ 为中心，以r为半径的球，记 $f = f_{1} + f_{2}$ ，其中 $f_{1} = f χ_{2 B}$ ， $χ_{B}$ 表示B的特征函数。则有

$\begin{array}{l} \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} {| [b, μ_{j, Ω}^{L}] f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} {| [b, μ_{j, Ω}^{L}] f_{1} (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} + \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} {| [b, μ_{j, Ω}^{L}] f_{2} (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ : = J_{1} (t) + J_{2} (t) . \end{array}$

由引理2可得

$\begin{matrix} J_{1} (t) = \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} {| [b, μ_{j, Ω}^{L}] f_{1} (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{2 B} {| f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C \frac{w {(2 B)}^{\frac{λ}{p}}}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\frac{1}{w {(2 B)}^{λ}} \int_{2 B} {| f (x, t) |}^{p} w {(x)}^{p} d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} \cdot \frac{w {(2 B)}^{\frac{λ}{p}}}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} \cdot {(1 + \frac{2 r}{ρ (x_{0})})}^{θ} . \end{matrix}$

下面我们估计 $J_{2} (t)$ ，对任意的 $x \in B$ ，我们就要

$\begin{matrix} | [b, μ_{j, Ω}^{L}] f_{2} (x, t) | \leq | b (x) - b_{B} | {(\int_{0}^{\infty} {| \int_{{(2 B)}^{c} \cap {y : | x - y | \leq h}} | Ω (x - y) | K_{j}^{L} (x, y) f (y, t) d y |}^{2} \frac{d h}{h^{3}})}^{\frac{1}{2}} \\ + {(\int_{0}^{\infty} {| \int_{{(2 B)}^{c} \cap {y : | x - y | \leq h}} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{B} | K_{j}^{L} (x, y) f (y, t) d y |}^{2} \frac{d h}{h^{3}})}^{\frac{1}{2}} \\ : = J_{21} + J_{22} . \end{matrix}$

由定理1的证明可知

则

$J_{21} \leq C | b (x) - b_{B} | {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} \sum_{j = 1}^{\infty} w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ - 1}{p}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{- N + θ + θ^{'}} \cdot {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})}$

因此，应用Hölder不等式和引理5，可得

$\begin{array}{l} \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} J_{21}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{w {(B)}^{\frac{1 - λ}{p}}}{w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{1 - λ}{p}}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{- N + θ + θ^{'}} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} {(\frac{1}{w (B)} \int_{B} {| b (x) - b_{B} |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1}) + μ} \cdot \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{w {(B)}^{\frac{1 - λ}{p}}}{w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{1 - λ}{p}}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{- N + θ + θ^{'}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1}) + μ} \cdot \sum_{j = 1}^{\infty} {(\frac{| B |}{| 2^{j + 1} B |})}^{δ (\frac{1 - λ}{p})} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{- N + θ + θ^{'} + η (\frac{1 - λ}{p})} . \end{array}$

下面我们估计 $J_{22}$ ，我们注意到，如果 $x \in B$ ， $y \in {(2 B)}^{c}$ ，则 $| y - x | ~ | y - x_{0} |$ 。因此应用引理3，可得

$\begin{matrix} J_{22} \leq C \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{{| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{n}}} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{B} | | K_{j}^{L} (x, y) f (y, t) | d y \\ \leq C \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{{| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{n}}} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{B} | {(1 + \frac{| x - y |}{ρ (x)})}^{- N} \frac{1}{{| x - y |}^{n - 1}} | f (y, t) | d y \\ \leq C \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{B} | {(1 + \frac{| x_{0} - y |}{ρ (x)})}^{- N} | f (y, t) | d y \\ \leq C \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{B} | {(1 + \frac{| 2^{j} r |}{ρ (x)})}^{- N} | f (y, t) | d y \\ \leq C \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{B} | {(1 + \frac{| r |}{ρ (x)})}^{- N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} {(1 + \frac{| 2^{j + 1} r |}{ρ (x)})}^{- N} | f (y, t) | d y \\ \leq C \sum_{j = 1}^{\infty} {(1 + \frac{| r |}{ρ (x)})}^{- N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} {(1 + \frac{| 2^{j + 1} r |}{ρ (x)})}^{- N} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{B} | | f (y, t) | d y . \end{matrix}$

下面对任意的整数 $j \geq 1$ ，我们有

$\begin{array}{l} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{B} | | f (y, t) | d y \\ \leq \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{2^{j + 1} B} | | f (y, t) | d y \\ + \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} | b_{2^{j + 1} B} - b_{B} | \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | f (y, t) | d y \\ = : I_{21} + I_{22} . \end{array}$

下面应用Hölder不等式和引理6可得

$\begin{matrix} I_{21} \leq \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} {(\int_{2^{j + 1} B} {| b (y) - b_{2^{j + 1} B} |}^{s^{'}} {| f (y, t) |}^{s^{'}} d y)}^{\frac{1}{s^{'}}} {(\int_{2^{j + 1} B} {| Ω (x - y) |}^{s})}^{\frac{1}{s}} \\ \leq C \frac{1}{{| 2^{j + 1} B |}^{1 - \frac{1}{s}}} {(\int_{2^{j + 1} B} {| f (y, t) |}^{p_{1} s^{'}} w (y) d y)}^{\frac{1}{p_{1} s^{'}}} {(\int_{2^{j + 1} B} {| b (y) - b_{2^{j + 1} B} |}^{{p^{'}}_{1} s^{'}} w {(y)}^{- \frac{{p^{'}}_{1}}{p_{1}}} d y)}^{\frac{1}{{p^{'}}_{1} s^{'}}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} \frac{w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ}{p}}}{| 2^{j + 1} B |} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ} w^{- \frac{p^{'}}{p}} {(2^{j + 1} B)}^{\frac{1}{p^{'}}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{μ} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} \frac{w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ}{p}}}{| 2^{j + 1} B |} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ + μ} {| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{p^{'}}} \frac{{| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{p}}}{w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{1}{p}}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ^{'}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ - 1}{p}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ + μ + θ^{'}} . \end{matrix}$

由定理1的证明可得

$\begin{array}{l} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | f (y, t) | d y \\ \leq C {‖ Ω ‖}_{L^{s} (S^{n - 1})} {| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{s}} {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ}} (w) w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ - 1}{p}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ + θ^{'}} {| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{s^{'}}} . \end{array}$

因此，应用引理7，可得

$\begin{matrix} I_{22} = \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} | b_{2^{j + 1} B} - b_{B} | \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | f (y, t) | d y \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} (j + 1) w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ - 1}{p}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{{θ^{'}}^{'} + θ + θ^{'}} . \end{matrix}$

因此，结合 $I_{21}$ 和 $I_{22}$ 的估计可得

$\begin{array}{l} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - y) | | b (y) - b_{B} | | f (y, t) | d y \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} (j + 1) w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ - 1}{p}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ^{″} + θ + θ^{'} + μ} \end{array}$

因此，应用引理5可得

$\begin{array}{l} \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} J_{22}^{p} d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} \sum_{j = 1}^{\infty} (j + 1) \frac{w {(B)}^{\frac{1 - λ}{p}}}{w {(2^{j + 1} B)}^{\frac{1 - λ}{p}}} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ^{″} + θ + θ^{'} + μ - N} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} \sum_{j = 1}^{\infty} (j + 1) {(\frac{| B |}{| 2^{j + 1} B |})}^{δ (\frac{1 - λ}{p})} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ^{″} + θ + θ^{'} + μ - N + η (\frac{1 - λ}{p})} . \end{array}$

结合以上的估计，我们可得

$\begin{matrix} J_{2} (t) = \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} J_{21}^{p} d x)}^{\frac{1}{p}} + \frac{1}{w {(B)}^{\frac{λ}{p}}} {(\int_{B} J_{22}^{p} d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{μ + N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} \sum_{j = 1}^{\infty} (j + 1) {(\frac{| B |}{| 2^{j + 1} B |})}^{δ (\frac{1 - λ}{p})} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ^{″} + θ + θ^{'} + μ - N + η (\frac{1 - λ}{p})} . \end{matrix}$

取N足够大，使得 $N > θ^{″} + θ + θ^{'} + μ + η (\frac{1 - λ}{p})$ ，则

$\begin{matrix} J_{2} (t) \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{μ + N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} \sum_{j = 1}^{\infty} (j + 1) {(\frac{| B |}{| 2^{j + 1} B |})}^{δ (\frac{1 - λ}{p})} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w)} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{μ + N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} . \end{matrix}$

结合 $J_{1} (t)$ 和 $J_{2} (t)$ 的估计，我们令 $ϑ = \max {ϑ^{'}, μ + N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})}$ ，则可以得到

$\begin{array}{l} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- ϑ} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| [b, μ_{j, Ω}^{L}] f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} \\ \leq C \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{1}{p}} . \end{array}$

在上式两边q次方，再在 $(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)$ 上积分，得到

$\begin{array}{l} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- ϑ q} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| [b, μ_{j, Ω}^{L}] f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{q}{p}} d t \\ \leq C \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ q} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{q}{p}} d t . \end{array}$

不等号两边乘 $\frac{1}{ρ^{μ}}$ ，再取上确界，两边再 $\frac{1}{q}$ 次方，就可得到

$\begin{array}{l} {(\sup_{t_{0} \in (0, T), ρ > 0} \frac{1}{ρ^{μ}} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- ϑ q} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| [b, μ_{j, Ω}^{L}] f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{q}{p}} d t)}^{\frac{1}{q}} \\ \leq {(\sup_{t_{0} \in (0, T), ρ > 0} \frac{1}{ρ^{μ}} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ q} {(\frac{1}{w {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| f (x, t) |}^{p} w (x) d x)}^{\frac{q}{p}} d t)}^{\frac{1}{q}} . \end{array}$

定理3的证明设 $B = B (x_{0}, r)$ 是 $ℝ^{d}$ 中的一个以 $x_{0}$ 为中心，以r为半径的球，记 $f = f_{1} + f_{2}$ ，其中 $f_{1} = f χ_{4 B}$ ， $χ_{B}$ 表示B的特征函数。则有

$\begin{array}{l} \frac{1}{| B |} \int_{B} | μ_{j, Ω}^{L} f (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f)}_{B} | d x \\ \leq \frac{1}{| B |} \int_{B} | μ_{j, Ω}^{L} f_{1} (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f_{1})}_{B} | d x + \frac{1}{| B |} \int_{B} | μ_{j, Ω}^{L} f_{2} (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f_{2})}_{B} | d x \\ = : K_{1} (t) + K_{2} (t) . \end{array}$

下面我们估计 $K_{1} (t)$ ，令 $λ = \frac{p}{q}$ 由Hölder不等式和引理1可得

$\begin{matrix} K_{1} (t) \leq \frac{2}{| B |} \int_{B} | μ_{j, Ω}^{L} f_{1} (x, t) | d x \\ \leq \frac{2}{| B |} {(\int_{B} {| μ_{j, Ω}^{L} f_{1} (x, t) |}^{q} w {(x)}^{q} d x)}^{\frac{1}{q}} {(\int_{B} w {(x)}^{- q^{'}} d x)}^{\frac{1}{q^{'}}} \\ \leq \frac{C}{| B |} {(\int_{4 B} {| f (x, t) |}^{p} w {(x)}^{p} d x)}^{\frac{1}{p}} {(\int_{B} w {(x)}^{- q^{'}} d x)}^{\frac{1}{q^{'}}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} \cdot \frac{w^{q} {(4 B)}^{\frac{λ}{p}}}{| B |} {(\int_{B} w {(x)}^{- q^{'}} d x)}^{\frac{1}{q^{'}}} {(1 + \frac{4 r}{ρ (x_{0})})}^{θ} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} \cdot \frac{w^{q} {(4 B)}^{\frac{1}{q}}}{w^{q} {(B)}^{\frac{1}{q}}} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{θ^{'}} {(1 + \frac{4 r}{ρ (x_{0})})}^{θ} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} {(1 + \frac{4 r}{ρ (x_{0})})}^{2 θ^{'}} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{θ^{'}} {(1 + \frac{4 r}{ρ (x_{0})})}^{θ} . \end{matrix}$

因此，我们令 $ϑ^{'} : = 3 θ^{'} + θ$ ，则

$K_{1} (t) \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{ϑ^{'}}$

下面我们估计 $K_{2} (t)$ ，对任意 $x \in B (x_{0}, r)$ ，应用引理3(b)，则

$\begin{array}{l} | μ_{j, Ω}^{L} f_{2} (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f_{2})}_{B} | \\ = | \frac{1}{| B |} \int_{B} [μ_{j, Ω}^{L} f_{2} (x, t) - μ_{j, Ω}^{L} f_{2} (y, t)] d y | \\ = | \frac{1}{| B |} \int_{B} {(\int_{0}^{\infty} | \int_{{(4 B)}^{c}} | Ω (x - z) | K_{j}^{L} (x, z) f (z, t) d z | \frac{d h}{h^{3}})}^{\frac{1}{2}} d y | \\ - | \frac{1}{| B |} \int_{B} {(\int_{0}^{\infty} | \int_{{(4 B)}^{c}} | Ω (y - z) | K_{j}^{L} (y, z) f (z, t) d z | \frac{d h}{h^{3}})}^{\frac{1}{2}} d y | \\ \leq C \frac{1}{| B |} \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{{| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{n}}} \int_{B} (\int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - z) - Ω (y - z) | | K_{j}^{L} (x, z) - K_{j}^{L} (y, z) | \cdot | f (z, t) | d z) d y \\ \leq C \frac{1}{| B |} \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{{| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{n}}} \int_{B} (\int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - z) - Ω (y - z) | {(1 + \frac{| x - z |}{ρ (x)})}^{- N} \frac{{| x - y |}^{δ}}{{| x - z |}^{n - 1 + δ}} \cdot | f (z, t) | d z) d y . \end{array}$

我们注意到 $| x - y | \leq \frac{| x - z |}{2}$ ，若 $x, y \in B$ ， $z \in {(4 B)}^{c}$ ，则 $| x - z | ~ | x_{0} - z |$ ，因此，可得

$\begin{array}{l} | μ_{j, Ω}^{L} f_{2} (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f_{2})}_{B} | \\ \leq C \frac{1}{| B |} \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{{| 2^{j + 1} B |}^{\frac{1}{n}}} \int_{B} (\int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - z) - Ω (y - z) | {(1 + \frac{| x_{0} - z |}{ρ (x)})}^{- N} \frac{r^{δ}}{{| x_{0} - z |}^{n - 1 + δ}} \cdot | f (z, t) | d z) d y \\ \leq C \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{2^{j δ}} \cdot \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - z) - Ω (y - z) | {(1 + \frac{2^{j} r}{ρ (x)})}^{- N} | f (z, t) | d z \\ \leq C \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{2^{j δ}} \cdot {(1 + \frac{r}{ρ (x)})}^{- N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x)})}^{- N} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | Ω (x - z) - Ω (y - z) | | f (z, t) | d z \\ \leq C \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{2^{j δ}} \cdot {(1 + \frac{r}{ρ (x)})}^{- N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x)})}^{- N} ω_{\infty} (2 \frac{| x - y |}{| x - z |}) \cdot \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | f (z, t) | d z . \end{array}$

下面令 $k = \frac{p}{q}$ 且应用Hölder不等式和引理5可得

$\begin{array}{l} \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} \int_{2^{j + 1} B \ 2^{j} B} | f (z, t) | d z \\ \leq \frac{1}{| 2^{j + 1} B |} {(\int_{2^{j + 1} B} {| f (z, t) |}^{p} w {(z)}^{p} d z)}^{\frac{1}{p}} {(\int_{2^{j + 1} B} w {(z)}^{- p^{'}} d z)}^{\frac{1}{p^{'}}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ} \cdot \frac{w^{q} {(2^{j + 1} B)}^{\frac{λ}{p}}}{w^{q} {(2^{j + 1} B)}^{\frac{1}{q}}} \cdot {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ^{'}} \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x_{0})})}^{θ + θ^{'}} . \end{array}$

因此，取N足够大，使得 $N > θ + θ^{'}$

$\begin{array}{l} | μ_{j, Ω}^{L} f_{2} (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f_{2})}_{B} | \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{2^{j δ}} \cdot {(1 + \frac{r}{ρ (x)})}^{- N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} {(1 + \frac{2^{j + 1} r}{ρ (x)})}^{- N + θ + θ^{'}} \cdot ω_{\infty} (2 \frac{| x - y |}{| x - z |}) \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} {(1 + \frac{r}{ρ (x)})}^{- N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{2^{j δ}} \cdot ω_{\infty} (2 \frac{| x - y |}{| x - z |}) \\ \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} {(1 + \frac{r}{ρ (x)})}^{- N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} \cdot \sum_{j = 2}^{\infty} ω_{\infty} (\frac{1}{2^{k - 1}}) . \end{array}$

由于

$\sum_{j = 2}^{\infty} ω_{\infty} (\frac{1}{2^{k - 1}}) = \frac{1}{\log 2} \sum_{j = 2}^{\infty} ω_{\infty} (\frac{1}{2^{k - 1}}) \int_{\frac{1}{2^{k - 1}}}^{\frac{1}{2^{k - 2}}} \frac{d δ}{δ} \leq \frac{1}{\log 2} \sum_{j = 2}^{\infty} \int_{\frac{1}{2^{k - 1}}}^{\frac{1}{2^{k - 2}}} ω_{\infty} (δ) \frac{d δ}{δ} \leq \frac{1}{\log 2} \int_{0}^{1} ω_{\infty} (δ) \frac{d δ}{δ} < \infty .$

因此

$| μ_{j, Ω}^{L} f_{2} (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f_{2})}_{B} | \leq C {‖ f ‖}_{L_{ρ, θ}^{p, λ} (w^{p}, w^{q})} {(1 + \frac{r}{ρ (x)})}^{- N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})} .$

我们令 $ϑ = \max {ϑ^{'}, N (\frac{N_{0}}{N_{0} + 1})}$ ，则可以得到下面不等式

$\begin{array}{l} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- ϑ} \cdot \frac{1}{| B |} \int_{B_{ρ} (x)} | μ_{j, Ω}^{L} f (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f)}_{B} | d x \\ \leq C \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ} {(\frac{1}{w^{q} {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| f (x, t) |}^{p} w {(x)}^{p} d x)}^{\frac{1}{p}} . \end{array}$

在上式两边q次方，再在 $(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)$ 上积分，得到

$\begin{array}{l} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- ϑ q} \cdot {(\frac{1}{| B |} \int_{B_{ρ} (x)} | μ_{j, Ω}^{L} f (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f)}_{B} | d x)}^{q} d t \\ \leq C \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ q} {(\frac{1}{w^{q} {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| f (x, t) |}^{p} w {(x)}^{p} d x)}^{\frac{q}{p}} d t . \end{array}$

不等号两边乘 $\frac{1}{ρ^{μ}}$ ，再取上确界，两边再 $\frac{1}{q}$ 次方，就可得到

$\begin{array}{l} {(\sup_{t_{0} \in (0, T), ρ >0} \frac{1}{ρ^{μ}} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- ϑ q} \cdot {(\frac{1}{| B |} \int_{B_{ρ} (x)} | μ_{j, Ω}^{L} f (x, t) - {(μ_{j, Ω}^{L} f)}_{B} | d x)}^{q} d t)}^{\frac{1}{q}} \\ \leq {(\sup_{t_{0} \in (0, T), ρ >0} \frac{1}{ρ^{μ}} \int_{(0, T) \cap (t_{0} - ρ, t_{0} + ρ)} \sup_{x \in R^{n}, ρ > 0} {(1 + \frac{r}{ρ (x_{0})})}^{- θ q} {(\frac{1}{w^{q} {(B_{ρ} (x))}^{λ}} \int_{B_{ρ} (x)} {| f (x, t) |}^{p} w {(x)}^{p} d x)}^{\frac{q}{p}} d t)}^{\frac{1}{q}} . \end{array}$

文章引用

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