Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 42-47 http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.21006 Published Online February 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html) New Exact Solutions of a Generalized KdV Equation with Variable Coefficients* Jiamei Zhang, Chao Ma, Cai’er Ye# College of Science, Zhejiang Agriculture and Forestry University, Lin’an Email: #Yecaier@zafu.edu.cn Received: Jan. 5th, 2013; revised: Jan. 12th, 2013; accepted: Jan. 25th, 2013 Abstract: In this paper, we use the exp-function method to solve a generalized KdV equation with variable coefficients. As a result, several types of solutions are obtained which contain solitary wave solutions, blow-up solutions and periodic solutions. Keywords: Generalized KdV Equation with Variable Coefficients; Exp-Function Method; Exact Solutions 一个广义变系数 KdV 方程新的精确解* 张佳梅,马 超,叶彩儿# 浙江农林大学理学院,临安 Email: #Yecaier@zafu.edu.cn 收稿日期:2013 年1月5日;修回日期:2013 年1月12 日;录用日期:2013 年1月25 日 摘 要:本文我们利用指数函数方法求解一个广义变系数 KdV 方程,结果我们求出了许多类型的解, 这些解包括孤立波解,爆破解和周期波解。 关键词:广义变系数KdV 方程;指数函数方法;精确解 1. 引言 众所周知,在研究物理、力学、生物和化学过程中会产生许多非线性偏微分方程,这些方程的精确解能使 人们深深地了解方程所描述的过程。但由于非线性偏微分方程的复杂性和计算方法的局限性,人们想求出这些 方程的精确解是困难的。随着孤立子理论的发展,人们提出了许多方法用来求解偏微分方程的精确解,比如逆 散射方法[1-3],达布变换方法[4],Hirota 双线性方法[5],齐次平衡方法[6],tanh 方法[7],sine-cosine 方法[8],Jacobi 椭圆函数展开方法[9],辅助方程方法[10],指数函数方法[11,12]等等。在这些方 法之中 ,指数 函数方 法是非 常有用 的一种方法,它能求出非线性偏微分方程的一般形式的孤立波解和周期波解,在数学软件Mathematica 或Matlab 帮助下,这个方法的解题步骤又非常简单,而且已经成功地应用到许多方程[13-15]。 本文将这一方法进一步应用到如下的一个广义变系数KdV 方程[16] 2 66 12 txxxx ugtuuuftgtuxft gtft (1) 其中 f t和 g t是两个任意的函数。方程(1)包含下列重要的方程: 1) 当 时,方程(1)成为文献[17]中介绍的广义 KdV 方程 1gt *资助信息:浙江农林大学大学生创新训练计划(201212006)和浙江农林大学教学改革研究项目(WT1104)资助的课题。 #通讯作者。 Copyright © 2013 Hanspub 42 张佳梅 等 一个广义变系数 KdV方程新的精确解 2 66 12 tx xxx uuuuftuxftft , (2) 2) 当 1 1, 12 gt ftt 时,方程(1)成为柱状 KdV 方程[18] 1 6 2 tx xxx uuuu u t0 , (3) 3) 当 时,方程(1)成为变系数KdV 方程 0ft 6 txxxx ugtuuu 0 , (4) 特别地,当 时,方程(4)成为著名的 KdV 方程。 1gt 已有许多关于常系数 KdV 方程的研究,文献[19]利用 Ricatti 方程讨论了常系数 KdV 方程,获得了孤立波 解;文献[20]利用混合指数方法讨论了常系数 KdV 方程。但我们知道常系数只不过是人们在考虑现实物理现象 的某些方面而作的一种理想假设,因此一些作者[18,21]已经开始研究各种不同形式的变系数 KdV 方程,王等[16] 应用齐次平衡方法研究方程(1),导出方程(1)的Backlund变换。在本文中,我们将使用指数函数方法来研究方程 (1)的精确解,我们求出了更一般形式的孤立波解,钟形的孤立波解,周期波解都可作为它的特殊情形。 2. 广义变系数 KdV 方程的精确解 为了能应用指数函数方法求解方程(1),我们首先假设 ,,exp12 d t uxt vxtfgxft . 0 xxx (5) 把(5)式代入(1),得 66exp12d t tx x vxftgtvgtfgvvgtv . (6) 再引入变换 ,,vxt Vktxt (7) 这里 和是两个未知函数,那么(6)式变为 kt t 3 6 6exp 12d0. t ktxtVxftgtktVgtk tV gtktfgV V (8) 按照指数函数方法[11,12],我们假设方程(8)有如下形式的解: exp exp exp exp cd pq ac ad Vbpbq , (9) 其中和都是未知的常数,和 都是正整数,并由齐次平衡原则确定。 n am b,,cdpq 为了确定正整数和 q,我们平衡方程(8)中的最高阶导数项与最高阶非线性项,通过简单的计算,我 们有 ,,cdp 726cpcp pc , 726dqdqqd . 因此我们能自由选择和d的值。为简单起见,我们设c1,1pc qd ,这样(9)式变为 101 101 exp exp exp exp aaa Vbbb , (10) Copyright © 2013 Hanspub 43 张佳梅 等 一个广义变系数 KdV方程新的精确解 把(10)式代入(8)式,消去分母,并把以 exp n 和 exp x n 形式的各项前面的系数令为零,得到一组以 和 101 101 ,,, ,,,aaabbbkt t 为变量的超定方程组,利用数学软件 Mathematica 求解这组方程组,我们得到下 列两组解: 解1 2 0 11 1 1 0, 4 b aab b , 0 0 exp 6d t a ktf g b , 3d t tgk (11) 解2 22 10 0 11 21 1 ,4 4 ab b ab b b , 01 10 01 exp 6d t ab ab ktf g bb , 3 01 10 10 01 5d t ab ab tg ab abk , (12) 其中和都是任意的常数。 010 ,,aab1 b 下面我们根据解1和解 2两种情形来求出方程(1)的精确解。为了表述方便,我们记 exp 6d t Atfg , 3d t Btg A . (13) 1) 解1情形 根据(5),(7),(10)和(11)式,我们可求得方程(1)的一般形式的孤立波解 2 0 12 000 01 10 0 exp exp 4 aA t ux ba a bb bb b ft , (14) 其中 0 0 a A tx Bt b 。由于 是任意的常数,因此当 时,如果取 001 ,,abb 00 0ab0 12 b b,则解(14)就成为钟状 的孤立波解 22 00 2 00 1 sec . 22 aa uAth xf bb t (15) 如果取 0 12 b b ,则解(14)就成为爆破解 22 00 300 1 csc . 22 aa uAth xf bb t 0ab (16) 同样地,当 时,这时解(14)能转化成周期解。在(14)式中,我们写 00 0 00 i aa bb 0 的形式,并利用欧 拉公式 expi cosisin,expi cosisin (17) 那么(14)式可写成如下形式 2 0 422 00 00 101 10 10 cosisin 44 aAt ux ba ba bbb bb bb ft (18) 如果我们想寻找周期波解或紧解,那么方程(18)的虚部必需为零,即 Copyright © 2013 Hanspub 44 张佳梅 等 一个广义变系数 KdV方程新的精确解 2 0 1 1 0 4 b bb (19) 得 0 12 b b (20) 把(20)代入(18)式,我们就可得到方程(1)的两个周期解 22 00 500 1 sec 22 aa uAt xf bb t , (21) 和 22 00 600 1 csc 22 aa uAt xf bb t . (22) 2) 解2情形 根据(5),(7),(10)和(12)式,我们可得到方程(1)的另一个一般形式的孤立波解 01 10 211 72 10 01100110 01 10101 exp exp 4 ab ab ab uAt xft bb abababab bb bbb bb (23) 其中 01 10 01 5abab A tx Bt bb 。由于 和都是任意的常数,因此当 010 ,,aab 1 b 01 01100bb abab时,如果我们 在(23)式中取 ,那么我们得到方程(1)的另一种形式的单孤子解 0 2bb1 22 11 812 1 1 sec 22 ad uAth dAtxdBtxft b , (24) 其中 01 11 2 2 aa db , 0 21 10 . 2 aa db 1 1 b (25) 如果取 ,我们得到方程(1)的爆破解 0 2b 22 3 1 934 1 1 csc 22 d a uAthdAtxdBtxft b (26) 其中 01 31 2 2 aa db , 0 41 10 . 2 aa db 1 0ab ab (27) 同样地,当 bb 时,则精确解(23)能转化成周期解。我们在(23)式中写 01 011001101001 01 01 i ab ababab bb bb 的形式,并利用欧拉公式,那么(23)式可写成 01 10 211 10 22 100 101 11 cos isin 44 ab ab ab uAt xft bbb bbb bb , (28) Copyright © 2013 Hanspub 45 张佳梅 等 一个广义变系数 KdV方程新的精确解 其中 10 010110 01 01 5ab ababab A tx Bt bb bb 。如果我们想寻找周期波解或紧解,那么(28)式中的虚部必需为 零,即 2 0 1 1 0 4 b bb , (29) 得 0 2.b1 b (30) 把(30)代入(28)式,我们就得到方程(1)的两个周期解 22 11 111 2 1 1 sec 22 ad uAtdAtxdBtxft b , (31) 和 22 3 1 123 4 1 1 csc 22 d a uAtdAtxdBt xft b , (32) 其中和 分别由(25)和(27)决定。 123 ,,ddd4 d 3. 结论 我们对广义变系数KdV 方程应用指数函数方法求出了两类更一般形式的孤立波解,如果对任意常数作适当 选择,这一般形式的孤立波解能转化为钟形的孤立波解,爆破解和周期波解。孤立波解在物理实验和自然界中 总是代表特殊的物理现象,而爆破解在某一点产生奇性,即对任一固定的一点 0 tt ,存在 0 x 使解在该点爆破。 在文献[22,23]中已有关于解的所谓热点或爆破的许多有趣的信息,这些奇异解也能很好地描述特定的物理现象, 因此这些解也是非常有用的。 参考文献 (References) [1] M. 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