ABSTRACT

In this paper, four methods for estimating the unknown parameters in Panel model are discussed, which are least squares estimator, Within estimator, Between estimator and two-stage estimator. This paper shows the corresponding expressions of four estimation methods, and compares the advantage of four methods under certain conditions briefly.

Keywords:Least Squares Estimator, Within Estimator, Between Estimator, Two-Stage Estimator

浅谈Panel模型中未知参数的四种估计方法

康文倩

云南省医学信息研究所，云南 昆明

收稿日期：2017年3月10日；录用日期：2017年3月26日；发布日期：2017年3月29日

摘 要

本文整理了Panel模型中未知参数的四种估计方法，分别是最小二乘估计，Within估计，Between估计和两步估计。给出了四种估计方法对应的表达式，并且简单讨论了一定条件下四种估计的优良性。

关键词 :最小二乘估计，Within估计，Between估计，两步估计

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1. 引言

Panel模型是一种线性回归模型，也称为平面数据模型。这类模型可用来分析个体间的差异情况，也能用来描述个体的动态变化特征，在计量经济学、市场分析、区域经济研究、机械加工等领域有着广泛的应用。

考虑如下含一个随机效应的Panel模型

(1.1)

这里为代表个体的下标，为代表时间的下标。表示第个个体在时刻的观测值，表示第个个体上第个自变量在时刻的取值，为通常的回归系数，为第个个体的效应。假如这个个体是从足够大的总体中随机抽取的，那么个体效应是随机的，为随机误差。一般假设所有的和都互不相关，并且，。记

其中，于是模型(1.1)可以写成矩阵形式

(1.2)

其中，分别表示分量全为1的维，维列向量，符号“”表示Kronecker乘积。

其中，，，，。

矩阵，，和有如下重要性质。

引理1.1 [1] 1)，，和都是对称幂等阵，它们的秩分别是，，和1。

2)，和两两正交，即，，。

3)，，。

引理可利用王松桂 [1] 等中相关结论加以证明。

2. 四种估计方法

在Panel模型中，我们总假设和是可逆的，。实际中的一般问题，这些条件往往是满足的。下面讨论未知参数向量的几种估计。

如果和已知，则的最佳线性无偏估计(BLU)为

(1.3)

记，它的协方差阵为

然而在实际应用中，由于和都是未知的，因此并不能实际应用。于是，我们寻求一些其它的估计方法。

2.1. 最小二乘估计

在(1.3)中令，即时，可以得到的最小二乘(LS)估计

2.2. Between估计

对模型(1.2)分别左乘和，得到

(1.4)

(1.5)

这里，，，，，。和的均值都为零，它们的协方差阵分别为

应用最小二乘统一理论，可以得到线性模型(1.4)中的最佳线性无偏(BLU)估计，记作

此即的Between估计，其协方差阵为

2.3. Within估计

同样应用最小二乘统一理论，得到线性模型(1.5)中的最佳线性无偏(BLU)估计，记作，为

称为Within估计 [2] ，其协方差阵为

2.4. 两步估计

和已知时我们已经得到回归系数的最佳线性无偏估计。由于和都是未知的，我们可以先找到和的某种估计，然后再代入(1.3),这样所得的估计称为两步估计。下面先来构造和的无偏估计。

2.4.1. 第一步

从模型(1.4)的残差向量可以构造的一个无偏估计

(1.6)

由，知与广义逆的选择无关。而引理1.1，是对称幂等阵，因此它是自身的一个广义逆，(1.6)中的可简单地取为，得

(1.7)

这里.易得。

是正态分布，协方差阵为，由于

,

即和相互独立。而是对称幂等阵，所以

是的函数，因此和相互独立。

同样地，我们可以从模型(1.5)的残差向量构造的一个无偏估计

(1.8)

其中。。并且和相互独立。

，都是正态分布，同时，所以和相互独立。，和，分别是，的函数，因此这两组是随机独立的。又有，相互独立，，相互独立，所以，，，是相互独立的。这些结果可以写成下面的引理。

引理1.2，，，都相互独立。

2.4.2. 第二步

将模型(1.4)和(1.5)联立，得到新的模型

对的估计来说，这个模型和模型(1.2)等价。模型(1.2)中的最佳线性无偏估计为

(1.9)

注意到是的一个广义逆，用M替换(1.9)中的，即可得到(1.3)式。利用和的独立性可以把BLU估计表示为和的以矩阵为权的凸组合形式

这里权矩阵

,

,.

实际中，和都未知，我们用它们的估计和来代替。于是产生了的一种两步估计

这里。显然

可证得两步估计是的无偏估计 [3] ，因为

利用引理1.2可得

因此，是的无偏估计。

两步估计的协方差阵形式比较复杂，其证明过程也很繁琐，这里就不加讨论了。

3. 四种估计的比较

第一部分分别给出了Panel模型中回归系数的四种估计方法及其表达式，下面简要介绍一定条件下四种估计方法的优良性。

3.1. Pitman准则下估计的比较

Pitman于1937年提出的比较参数估计的准则被称为Pitman准则 [4] 。著名统计学家Rao [5] [6] 曾指出常用的均方误差准则的明显缺陷之一是过分强调以较小概率出现的那些大偏差，并且认为Pitman准则克服了这一明显缺陷，是评价估计优劣的更为本质的度量，之后Pitman受到了统计学家的广泛关注。下面首先给出其具体定义。

定义2.1 设为未知参数向量，为损失函数，，为的两个估计，称

(2.1)

为关于的Pitman度量。参数所有可能取值组成的集合称为参数空间，若对一切，总有

成立，且至少对一个不等号成立，则称在Pitman意义下，比更接近于，或称在Pitman意义下，优于。这里取二次损失函数。有如下结论：

1) 当，在Pitman准则下LS估计优于Within估计，这里损失函数中的取

2) 在Pitman准则下LS估计优于Between估计，这里损失函数中的取为。

3.2. 广义均方误差意义下两步估计的优良性

定义2.2 设参数向量的一个估计为，则的广义均方误差(GMSE)定义为

本节取

记，易见。有如下结论：

1) 当时，在广义均方误差意义下两步估计优于Between估计。

2) 若则两步估计优于的充分条件是

,

优于的充分条件是

，这里

我们可以认为，当较大时，两步估计要优于Within估计和Between估计。

文章引用

康文倩. 浅谈Panel模型中未知参数的四种估计方法
Four Methods for Estimating Unknown Parameters in Panel Model[J]. 统计学与应用, 2017, 06(01): 92-97. http://dx.doi.org/10.12677/SA.2017.61010

参考文献 (References)