ABSTRACT

The function associated with the second-order cones (SOCs) is wildly used in solving second-order cone programming and second-order cone complementarity problems. In this article, on the basis of Euclidean Jordan algebra, the simple formulas of trigonometric functions associated with SOC are derived and some correlation formulas of trigonometric function are also presented.

Keywords:Second-Order Cone, Trigonometric Functions, Correlation Formulas

二阶锥三角函数及其相关公式

张燕，郝自军，余国林

北方民族大学数学与信息科学学院，宁夏 银川

收稿日期：2016年4月30日；录用日期：2016年5月16日；发布日期：2016年5月19日

摘 要

二阶锥函数在求解二阶锥规划及二阶锥互补问题的算法中有广泛应用。本文在约当代数的理论基础上推导得出三角函数在二阶锥上的表达式，然后给出了二阶锥三角函数的若干相关公式。

关键词 :二阶锥，三角函数，相关公式

1. 引言

二阶锥规划(SOCP)的研究主要以欧几里得约当代数为基础，J. Faraut和A. Koranyi对一般欧几里得约当代数进行了详细论述 [1] 。F. Alizadeh及D. Goldfarb [2] 对二阶锥规划进行了综述。二阶锥向量值函数在求解二阶锥问题及二阶锥互补问题(SOCCP)上具有重要的作用。因此，对这些函数的进一步研究有助于分析出更多的求解方法。此外，还有对二阶锥函数的性质的研究，如微分性、利普希茨性等。Jein-shan Chen与Xin Chen [3] 分析了与二阶锥(SOC)相关的非光滑向量值函数，这些函数被广泛用于求解二阶锥规划问题。

本文首先推导出与二阶锥相关的三角函数的表达式，然后给出了二阶锥三角函数的相关公式。共分4节，第2节介绍与二阶锥相关的欧几里得约当代数。第3节推导二阶锥三角函数的表达式，有正弦函数，余弦函数及正切函数。第4节得出二阶锥三角函数的一些相关公式。最后得出结论。

2. 预备知识

本节简要介绍中与二阶锥相关的欧几里得约当代数 [1] [2] [4] 。二阶锥定义为

其中表示欧几里得范数，表示。对任意，，定义其约当积为

(1)

我们用表示, 用表示一般向量加法，用(或)表示。令，则如下性质成立：

性质2.1 [2] [5] 对任意，

1)

2)

3)

4)

注意到当时，约当积一般不满足结合律。但在幂和内积意义下结合律成立，即对任意，满足及。

下面介绍二阶锥意义下向量的特征值分解。对任意，可分解为 [5]

(2)

其中表示特征值，表示对应的特征向量。它们的表达式为

(3)

(4)

其中是满足的任意向量。下面我们介绍及的一些性质。

性质2.2 [5]

1)，

2)与在约当积下是正交的，即，

3)与在约当积下是幂等的，即，

4)与是非负(正)的当且仅当()，其中表示的内部。

对任意函数及满足特征值分解Eq.(2)的向量，定义与二阶锥相关的向量值函数为 [5] ：

(5)

当时，。文献 [1] 讨论了的情形。对任意及整数，表示的次幂。若，定义。若，定义。特征向量和的正交性及幂等性为计算由幂定义的函数提供了强有力的工具，如

反之，当，定义，有与，即。上述推导可以扩展到任意一个可以被幂级数展开的函数上 [5] 。

3. 二阶锥三角函数

本节以约当代数为基础推导出一些二阶锥三角函数，分别为正弦函数，余弦函数和正切函数。

命题3.1 [5] 假设可被幂级数展开为，为实系数。则对任意，与相应的向量值函数满足

其中和为的特征值和特征向量。

由命题3.1我们可以得到，如果一个函数可以被幂级数展开，那么与它对应的向量值函数可以写成。由此我们可以得到如下一些结果。

定义

其中为伯努利数 [6] 。由命题3.1可推导出，及的如下表达式。

命题3.2 对任意，

1)

2)

3) 当时，令，则

证明：只考虑的情况，时可类似证明。

1)。由式(5)可得

由式(4)可知，，。则当时，

2) 证明与1)相似。

3) 令，由式(5)及和可得

由式(4)得，当时，

4. 二阶锥三角函数相关公式

本节中，我们根据命题3.2推导二阶锥三角函数的一些相关公式，如二倍角公式、诱导公式等。对任意，根据约当积定义，可得以下命题。

命题4.1 对任意，，

1)；

2)。

证明：1) 由命题3.2，若(时证明类似)，

2) 若(时证明类似)，

命题4.2 对任意，

1)，

2)。

证明：考虑(时类似)。

1) 由命题3.2，对任意，

2) 证明与1)类似。

命题4.3 对任意，

1)；

2)；

3)。

证明：由于2)和3)的证明与1)相似，故在此只证明1)。由命题3.2，若(时类似)，

故。

命题4.4 对任意，令，，，则

1)，，；

2)，，；

3)

证明：我们只证明每一项的第一个公式，余弦和正切的证明类似。

1) 令，，，。当时(时类似)可得

2) 若(时证明类似)，

3) 若(可类似证明)，

5. 结论

本文讨论了三角函数在二阶锥上的表达式，并给出了二阶锥三角函数的一些相关公式，但余切函数在二阶锥上的表达式仍待进一步推导证明。

致谢

感谢各位编辑及老师的指导与建议！同时也感谢国家自然科学基金(No. 11361001)，北方民族大学博士科研启动基金及研究生创新项目的资助！

文章引用

张 燕,郝自军,余国林. 二阶锥三角函数及其相关公式
Correlation Formulas of Trigonometric Functions Associated with Second-Order Cone[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 199-205. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63031

参考文献 (References)