Pure Mathematics
Vol.07 No.04(2017), Article ID:21475,7
pages
10.12677/PM.2017.74045
Oscillate Criteria of Third Order Semi-Linear Neutral Differential Equations with Delay Argument
Quandi Li, Ju Yang, Xiaoxian Li, Quanwen Lin*
Department of Mathematics, Science of School, Guangdong University of Petrochemical Technology, Maoming Guangdong
Received: Jul. 4th, 2017; accepted: Jul. 19th, 2017; published: Jul. 25th, 2017
ABSTRACT
We study the oscillatory of third order semi-linear neutral differential equations with delay argument. Using a generalized Riccati substitution and inequation technique, and consulting some results in recent literature, a new oscillation criterion is established and proved, also a number of examples are given to prove their efficiency.
Keywords:Oscillation Criterion, Third Order Semi-Linear Neutral Differential Equations with Delay Argument, Generalized Riccati Substitution
一类三阶中立型半线性时滞微分方程振动准则
李全娣,杨菊,黎小贤,林全文*
广东石油化工学院理学院数学系,广东 茂名
收稿日期:2017年7月4日;录用日期:2017年7月19日;发布日期:2017年7月25日
摘 要
本文研究一类三阶中立型半线性时滞微分方程振动性质,利用广义Riccati变换和经典不等式技巧,参考最近论文结果,建立了一个新的振动性准则,并给出证明和例子。
关键词 :振动准则,三阶中立型半线性时滞微分方程,广义Riccati变换
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
考虑一类三阶中立型半线性时滞微分方程
, (E)
其中,,为两个奇数商,,任意,有,,,,,。若(E)有无穷多个零点,则它为振动的;否则称它为非振动的。
最近,二阶、三阶函数微分方程的振动性受到很大关注,许多文献给出一系列振动准则如文 [1] - [11] 。但关于三阶中立函数微分方程的振动性准则较少。我们注意到文 [3] 和文 [4] 对方程(E0)
作了若干个振动性或若振动性准则。本文是研究方程(E)的振动性准则,参考了文 [5] 中二阶微分方程振动准则及文 [1] 和文 [2] 的引理及条件,给出了新的振动准则,并应用新的Riccati变换及经典不等式证明了准则。
为了方便证明引用并保留了以下引理:
引理1 [1] :设是方程(E)的最终正解,则只有以下两种可能:
(I),,;
(II),,;
引理2 [1] :设存在函数,且,则。
2. 主要结果
定理2.1:若,且,满足
(2.1)
且
(2.2)
其中
,
则方程(E)是振动的。
证明:设方程有一个非振动解,且
, , , ,
因为
则是非增函数,且满足引理1 [1] ,故分两种情况讨论:
(I) 假设,,,,
即有
即
方程(E)去绝对值,则变成
令,则有
由广义Riccati变换得
, (2.3)
(2.4)
由于,且,即得
(2.5)
对(2.3)两边对求导,由式(2.4)和式(2.5)得到下式
(2.6)
由经典不等式,令,
式(2.6)变为
对上式在上积分,即有
即
即
(2.7)
显然,式(2.7)与条件(2.1)矛盾
(II) 假设,,;
易知,,,
则有
由广义Riccati变换得
(2.8)
(2.9)
对(2.8)两边对求导,由式(2.5)和式(2.9)得到下式
由经典不等式,令,
(2.10)
对式(2.10)从上积分有
即
(2.11)
又因为,则
当时,有
即
(2.12)
对式(2.12)从上对积分有
即
即有
得到
令,得
那么
(2.13)
因为,且,得
(2.14)
由式(2.13)及(2.14)得
(2.15)
则由式(2.15),式(2.11)变成下式
(2.16)
显然,式(2.16)与条件(2.2)相矛盾,因此,我们说满足定理2.1,方程(E)是振动的。
3. 例子
考虑三阶微分方程
, (3.1)
其中,,
显然,
,
,
令,,
,
当时,,
则,式(3.1)满足定理2.1,故方程(3.1)是振动。
基金项目
广东省大学生2017年创新创业校级培养项目(No.2017pyA034)。
文章引用
李全娣,杨 菊,黎小贤,林全文. 一类三阶中立型半线性时滞微分方程振动准则
Oscillate Criteria of Third Order Semi-Linear Neutral Differential Equations with Delay Argument[J]. 理论数学, 2017, 07(04): 356-362. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.74045
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