Pure Mathematics
Vol.4 No.02(2014), Article
ID:13237,4
pages
DOI:10.12677/PM.2014.42011
亚纯函数微分多项式分担两个值的唯一性
Xinhua ShiCollege of Science, Civil Aviation University of China, Tianjin
Email: xhshi2000@163.com
Copyright © 2014 by author and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Received: Feb. 13th, 2014; revised: Mar. 2nd, 2014; accepted: Mar. 12th, 2014
ABSTRACT
We will use Nevanlinna distribution theory to discuss a power of meromorphic functions of differential polynomials sharing two values. The results generalize many results on value sharing of meromorphic functions.
Keywords:Meromorphic Function; Shared Value; Uniqueness
亚纯函数微分多项式分担两个值的唯一性
石新华
中国民航大学理学院,天津
Email: xhshi2000@163.com
收稿日期:2014年2月13日;修回日期:2014年3月2日;录用日期:2014年3月12日
摘 要
本文运用Nevanlinna理论讨论了一类亚纯函数微分多项式分担两个值的唯一性问题,得到的结果改进或推广了亚纯函数分担值的许多唯一性结果。
关键词
亚纯函数;分担值;唯一性
1. 引言
设是复平面上的亚纯函数,假设读者熟知Nevanlinna值分布理论中通用的记号[1] -[3] 例如。如果,则称是的小函数。现在假设和是两个非常数亚纯函数,。如果与有相同的零点并且零点
重数也相同(不计重数),我们称与分担CM (IM)。用表示的重数不超过的零点的计数函数(记重数),用表示的重数不超过的零点的精简计数函数(不记重数),并且令。
为了方便,定义
(*)
其中且。
2010年,徐俊峰等人[4] 证明了下面两个定理:
定理A:设和是两个非常数数亚纯函数,是两个正整数且。如果与分担1 CM,和分担IM,则或者,其中和是三个常数且满足,或者,其中是个常数且有。
定理B:设和是两个非常数数亚纯函数且,是两个正整数且。 如果与分担1 CM,和分担IM,则。
更多相关结果参考文献[5] -[8] ,本文中,我们推广并改进了定理A和定理B。主要结果如下:
定理1:设和是两个非常数亚纯函数,,是三个整数且,由(*)定义。如果和分担1 CM,和分担IM,则
(1) 当,;
(2) 当,下面两种情形必有一种成立:
(3),其中是个常数且有,
(4),其中和是三个常数且满足。
推论1:设和是两个非常数数亚纯函数,是两个正整数且。如果与分担1 CM,和分担IM,则或者,其中和是三个常数且满足,或者,其中是个常数且有。
推论2:设和是两个非常数数亚纯函数且,是两个正整数且。如果与分担1 CM,和分担IM,则。
2. 主要引理
定义:
(1)
其中是非常数亚纯函数。
(2)
(3)
引理2.1[9] :设是非常数亚纯函数,是的小函数,那么
引理2.2[7] :设是非常数亚纯函数,是两个正整数,则
引理2.3[3] :设是个非常数亚纯函数,是个正整数,若,则
类似于文献[5] 中引理3的证明,我们可以得到下面的引理。
引理2.4:假设由(1),(2)定义。如果分担1 CM以及IM,则有
对有同样的不等式成立。
引理2.5[10] :设和由(1)中所定义,如果和分担IM,且,则。
引理2.6:假设,是两个非常数亚纯函数,假设由(1),(3)定义。由(*)定义,,,是三个整数。如果,和分担1 CM,和分担IM,则
(4)
证明:由于,和分担IM,假设是的重极点,是的重极点,则是的重极点,从而是的重极点,同理也是的重极点,故而至少是的重零点。因此
(5)
由对数导数引理,,注意到和分担1 CM,故得到
(6)
由(5),(6)即得(4),这就证明了引理2.6。
引理2.7[4] :假设,是两个非常数亚纯函数,是两个正整数。如果,则其中是个常数且有。
仿照文献[4] 中引理5的证明可得
引理2.8:假设,是两个非常数亚纯函数,由(*)定义,是三个整数且。如果,则。
引理2.9[11] :假设,是两个非常数亚纯函数,由(*)定义,是两个正整数且,是的小函数且有有限个零点和极点,如果,和分担IM,则退化为一个单项式。
利用文献[11] 中定理3的证明可得
引理2.10:假设,是两个非常数亚纯函数,由(*)定义,是两个正整数。如果,和分担IM,则,其中和是三个常数且满足。
3. 定理1的证明
假设和由(1)~(3)定义,再设,,则和分担1 CM以及IM。
假设,则,且。
情形1:。由引理2.4得
(7)
由引理2.2,并令可得
(8)
以及
(9)
由(7)~(9)得到
由引理2.1和上面的不等式得到
(10)
类似可得
(11)
由(10)和(11)得到
(12)
注意到,我们得到(4)。利用引理2.2并令,得到
(13)
以及
(14)
注意到,由(4),(13)和(14)得到
(15)
由(12)~(15)得到
(16)
这与矛盾。因此。仿照文献[5] (Lemma 3)的证明,可得
(i),或者
(ii)。
注意到为多项式,由引理2.9,情形(i)不可能发生。根据引理2.8,从(ii)即得。
情形2:。仿照情形1的证明得到,
(17)
这与矛盾。因此且有
(iii),或者
(iv)。
对于(iii),根据引理2.10,得到,其中和是三个常数且满足。
对于(iv),由引理2.7得到,其中是个常数且。
这就完成了定理1的证明。
基金项目
天津市自然科学基金(13JCQNJC04400)。
参考文献 (References)
- Hayman, W.K. (1964) Meromorphic Functions. Clarendon Press, Oxford.
- Yang, L. (1993) Value Distribution Theory. Springer-Verlag, Berlin.
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- Yi, H.X. (1997) Meromorphic Functions That Share Three Sets. Kodai Mathematical Journal, 20, 22-32.
- Zhang, X.B. and Xu, J.F. (2011) Uniqueness of Meromorphic Functions Sharing a Small Function and Its Applications. Computers & Mathematics with Applications, 61, 722-730.