Advances in Applied Mathematics
Vol.05 No.04(2016), Article ID:19127,5
pages
10.12677/AAM.2016.54094
Global Attractor for the Viscous Cahn-Hilliard Equation
Yonghua Ren
College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan Shanxi
Received: Nov. 12th, 2016; accepted: Nov. 26th, 2016; published: Nov. 30th, 2016
Copyright © 2016 by author and Hans Publishers Inc.
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ABSTRACT
We consider the global attractor of the viscous Cahn-Hilliard equation with a nonlinear term. Firstly, it proved the existence of bounded absorbing set, then obtained the existence of global attractor by a new method of obtaining the compactness.
Keywords:Viscous Cahn-Hilliard Equation, Global Attractor, Absorbing Set
粘性Cahn-Hilliard方程的整体吸引子
任永华
太原理工大学数学学院,山西 太原
收稿日期:2016年11月12日;录用日期:2016年11月26日;发布日期:2016年11月30日
摘 要
本文研究了带有非线性项的粘性Cahn-Hilliard方程的整体吸引子。首先验证了该方程有界吸收集的存在性,进而利用紧性方法得到整体吸引子的存在性。
关键词 :粘性Cahn-Hilliard方程,整体吸引子,吸收集
1. 引言
考虑下面的带非线性的粘性Cahn-Hilliard方程
(1)
(2)
(3)
的长时间行为,其中非线性,对于几乎处处,是局部有界可测函数。
1958年,Novick Cohen等人为了描述带粘性物质的相互扩散运动,首次提出了粘性Cahn-Hilliard方程。这类方程在非牛顿流体力学理论中有着广泛的应用。董超雨等在 [1] 中采用了一种新的验证紧性的方法讨论了粘性Cahn-Hilliard方程全局吸引子的存在性。带有可加白噪音的Cahn-Hilliard方程的吸引子在 [2] 中给出了严密的论证。近几年来,许多学者对于Cahn-Hilliard方程产生了浓厚的兴趣,详见 [1] [2] [3] [4] [5] 。但是,对于较高正则性的研究还没有任何结果。本文在较高的正则性空间中,采用 [6] [7] [8] 中提到的新的紧性方法,研究了具有非线性项的问题(1)~(3)整体吸引子的存在性。
我们假设非线性项满足下面的条件。
(H1)
(H2),
(H3),
其中满足:,当;,当。
此外,对于非线性项,我们假设下列条件成立。
(G1),
(G2),
(G3),
(G4)
其中为正常数,,且。
本文的主要结果是。
定理1.1 假设满足(H1)~(H3),满足(G1)~(G4),则问题(1)~(3)对应的解半群在中存在吸引子。
全文结构如下:第二部分是文章的预备知识;在第三部分中,我们证明了相应于解半群的吸引子的存在性。
2. 预备知识
下面介绍本文将要用到的一些概念和结论。
让和分别表示和中的范数。对于空间,我们定义。
引理2.1 假设满足(H1)~(H3),满足(G1)~(G4)。则对于任意的和问题(1)~(3)存在唯一解
该引理利用Faedo-Galerkin方法可证,参见 [5] ,进而由定理1.1定义了一个连续的算子半群,即:。
引理2.2 集合,
其中是中以0为中心以为半径的球,是在中的有界吸收集。即对于任意的均成立,且对于任意的有界集,存在,使得对于每一个,有。
证明:将与(1)式做内积,可得:
(4)
用(H1)~(H3)及Poincare不等式,可得:
再由(G1)~(G4),
(5)
整理得:
(6)
根据Gronwall不等式,可得:
(7)
故而,存在,使得对于一切的,有。
本文运用参考文献 [9] 中新的验证紧性的方法,证明了半群的整体吸引子是一个紧的不变集。
定义2.1 [9] Banach空间中的连续半群满足条件C,是指对于任意及中任何的有界集,存在和一个有限维的子空间,使得是有界的,并且,,是一个规范投影。
定理2.1 [9] 设是Hilbert空间中的连续半群,如果下面条件成立,
1)在中存在有界吸收集;
2)满足条件C。
那么在中存在整体吸引子,且吸引中的一切有界集。
3. 整体吸引子的存在性
3.1.中有界吸收集的存在性
将和(1)式做内积,得:
(8)
由于
可得:
(9)
其中:
用(H1)~(H3),可得:
再由(G1)~(G4),
整理得:
(10)
取适当的,使得,根据Gronwall不等式,可得:
(11)
所以,对于任意的存在,使得对于一切的,有。
定理3.1 假设满足(H1)~(H3),满足(G1)~(G4)。以为半径的球是问题(1)~(3)生成的解半群在中的有界吸收集,即对于任意的有界集,存在,使得当时,。
3.2. H2中整体吸引子的存在性
本节,记为的特征值,为对应于的特征向量,当时,,且构成了的正交基,令,,记为标准投影。
将和(1)式做内积,得:
(12)
易知是紧嵌入和中的,所以对于任意的,存在,使得:
因此,有
同理可得:
综上,
(13)
取适当的,使得,根据Gronwall不等式,可得:
(14)
所以存在,使得对于一切的,有
定理3.2 假设满足(H1)~(H3),满足(G1)~(G4)。对于,问题(1)~(3)在中存在整体吸引子。这里在的范数下吸引了中的一切有界集。
基金项目
山西省自然科学基金资助项目(2014011005-4;2015011006),太原理工大学教育教学改革研究项目。
文章引用
任永华. 粘性Cahn-Hilliard方程的整体吸引子
Global Attractor for the Viscous Cahn-Hilliard Equation[J]. 应用数学进展, 2016, 05(04): 818-822. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.54094
参考文献 (References)
- 1. 董超雨, 姜金平, 张晓明. 粘性Cahn-Hilliard方程全局吸引子的存在性[J]. 湖北大学学报, 2014, 36(4): 385-388.
- 2. 黄青霞, 李扬荣, 曾雪萍. 带有可加白噪音的Cahn-Hilliard方程的吸引子[J]. 西南大学学报, 2007, 29(11): 1-6.
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