ABSTRACT

By using the ODE method, we study the existence result of radial solutions for generalized quasilinear Schrödinger equations arising from mathematical physics.

Keywords:Schrödinger Equations, Radial Solutions, Contraction Mappings, Continuation Theorem

广义拟线性Schrödinger方程的径向解

李青，姚仰新*

华南理工大学数学学院，广东 广州

收稿日期：2017年4月27日；录用日期：2017年5月12日；发布日期：2017年5月16日

摘 要

利用ODE方法，本文讨论数学物理中一类广义拟线性Schrödinger方程径向解的存在性。

关键词 :Schrödinger方程，径向解，压缩映像原理，延拓定理

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1. 引言

本文研究下列一类广义拟线性Schrödinger方程：

(1.1)

其中div为散度算子，，，为光滑有正下界的偶函数。

方程(1.1)来源于对以下拟线性Schrödinger方程驻波解的研究：

(1.2)

其中，是实函数。对于不同形式的非线性项，方程(1.2)对应了不同的物理现象模型。例如：当时，方程(1.2)是凝波函数在超流体膜中时间演变的模型。当时，方程(1.2)是大功率超短激光在物质中传输的模型。令，其中，为实函数，

。把和代入方程(1.2)后消去含t的项，便得到方程(1.1)。

当时，文献 [1] [2] 通过约束极小化讨论了(1.1)解的存在性。当时，文献 [3] 证明了(1.1)非平凡解的存在性。对于一般的的研究，可参考文献 [4] 。

若进一步，当关于非减时，利用山路定理，文献 [4] 证明了(1.1)非平凡解的存在性。本文在没有非减这一条件下，拟利用ODE方法研究方程(1.1)径向解的存在性。本文的主要结论为：

定理1：在的条件下，方程(1.1)存在径向解，且解是有界的。

2. 定理的证明

令，根据的条件，反函数存在。

把代入方程(1.1)，则有：

(2.1)

因此，对方程(1.1)径向解的研究可以转化成对方程(2.1)的径向解的研究。

事实上，(1.1)等价于

(2.2)

由于，(2.2)两边除以，得：

(2.3)

由于，把代入方程(2.3)便可以得到(2.1)。反之，把代入(2.2)便得到(2.1)。

为了简化符号，记，则方程(2.1)写成如下形式：

(2.4)

引理2.1：在的条件下，关于是局部利普希茨连续的。

证明:由于光滑，故是局部有界的，即，对于任意的，存在使得。另一方面，由于，故也是局部有界的。则对上述，存

在使得。由的表达式可知，是局部有界的。即对上述，存在使得。令：

对于()，利用中值定理可知：

其中介于与之间。

对于，同样利用中值定理可知：

其中介于介于与之间。

由此可知：

故关于是局部利普希茨连续的。

由于本文研究方程(2.4)的径向解，故方程(2.4)可以写成如下的形式：

(2.5)

由于，因此。对函数限定一个初始条件，不妨令。因此对问题(2.4)径向解的研究转化成研究如下的柯西问题：

(2.6)

定理2.2：对于任意的，存在常数，使得问题(2.6)有唯一的解

证明：方程可以写成如下的形式：

(2.7)

对(2.7)两边两次积分可得

(2.8)

显然对(2.8)进行微分可以得到(2.7)。

根据引理2.1，存在，使得；是局部有界的，存在，使得。取，则对于任意，有：

(2.9)

由(2.9)知，对任意，有。利用压缩映像原理可知方程(2.8)有唯一的解。故问题(2.6)有唯一的解。

类似地，有

引理2.3：对于任意的，为实数，存在常数，使得

(2.10)

有唯一的解。

下面研究上的整体解。为了研究局部解和整体解的关系，首先给出延拓的定义。

定义2.1：设函数是问题(2.6)的解。若存在函数，其中，使得对于，有，那么称函数为的延拓。

下面引理的证明可参看文献 [5] [6] 。

引理2.4：设对变量是局部利普希茨连续的，是问题(2.6)的解。则局部解有唯一的延拓需满足下列条件之一：

(1)是整体解；

(2) 存在一点，使得：

定理的证明：由引理2.1，定理2.2知方程(1.1)具有局部解。下面证明此局部解可以延拓成为整体解。令

则存在常数使得成立不等式

(2.11)

此外，

(2.12)

假设是问题(2.6)的局部解。在两边同时乘以，并在上进行积分，可以得到：

(2.13)

定义函数：

(2.14)

由可知

因此是非增函数。故

(2.15)

由(2.11)，(2.14)和(2.15)可知：

因此是有界的。根据引理2.4可知，局部解可以延拓成为整体解。

根据公式(2.14)和(2.15)可知：

即。如果公式(2.12)成立，由的有下界性可以得出的有界性。

文章引用

李青,姚仰新. 广义拟线性Schrödinger方程的径向解
Radial Solutions for Generalized Quasilinear Schrödinger Equations[J]. 理论数学, 2017, 07(03): 149-154. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.73018

参考文献 (References)