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PureMathematics
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,2020,10(11),1014-1023
PublishedOnlineNovemb er2020inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/pm.2020.1011120
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YuhuiHan,YutingQiu
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,XiaohuaLu
CollegeofSciences,ShanghaiUniversity,Shanghai
Email:
∗
qqyytt@shu.edu.cn
Received:Oct.14
th
,2020;accepted:Nov.4
th
,2020;published:Nov.11
th
,2020
Abstract
ThecodesachievingtheSingletonboundarecalledmaximumdistanceseparable(for
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,2020,10(11):
1014-1023.
DOI:10.12677/pm.2020.1011120
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shortMDS)codes,whichhavethestrongesterrorcorrectionabilityandarewidely
appliedinerror-correctingcode.Inthispaper,westudytheHermitianhullsofMDS
codes.WeusethegeneralizedReed-SolomoncodetoconstructMDScodeswith
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Hermitianhull.
Keywords
MDSCodes,GeneralizedReed-SolomonCodes,HermitianHull
Copyright
c
2020byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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1
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Hermitian
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k
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L
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C⊆
F
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Q
Hermitian
é
ó
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•
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P
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C
⊥
H
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(
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b
1
,b
2
,
···
,b
n
)
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F
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Q
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n
X
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=1
b
i
c
q
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= 0
,
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(
c
1
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2
,
···
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n
)
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)
.
t
´
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v
1
≤
t
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Q
−
q
ê
,
n
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q
+
t
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q
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k
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v
1
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k
≤
n
,
F
q
=
{
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1
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2
,
···
,α
q
}
Ú
F
Q
=
{
α
1
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2
,
···
,α
q
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1
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2
,
···
,β
Q
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,
Ù
¥
β
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∈
F
Q
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F
q
(
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2
,
···
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−
q
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-
a
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1
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2
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···
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q
,β
1
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2
,
···
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t
)
Ú
v
= (
v
1
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2
,
···
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)
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(
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)
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d
Ú
n
2.8
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Œ
GRS
k
(
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,
v
)
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é
ó
è
.
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Ø
3.1.
GRS
k
(
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,
v
)
Hermitian
é
ó
è
´
GRS
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−
k
(
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0
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,
Ù
¥
a
0
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1
,α
2
,
···
,α
q
,β
q
1
,β
q
2
,
···
,β
q
t
)
,
w
= (
w
1
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2
,
···
,w
n
)
,
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p
w
i
=
1
v
q
i
Y
1
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j
≤
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6
=
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(
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−
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Y
1
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t
(
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q
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)
−
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2
,
···
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w
i
=
1
v
q
i
Y
1
≤
j
≤
q
(
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q
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q
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−
1
Y
1
≤
m
≤
t,m
6
=
i
−
q
(
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q
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−
q
−
β
q
m
)
−
1
,i
=
q
+1
,q
+2
,
···
,n.
DOI:10.12677/pm.2020.10111201018
n
Ø
ê
Æ
¸
…
¦
½
n
3.2.
k
≤
q
Ú
(
n
−
k
−
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é
u
?
¿
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v
1
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k
Y
1
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j
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6
=
i
(
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α
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)
−
1
Y
1
≤
m
≤
t
(
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q
m
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−
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v
q
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,
(3.1)
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u
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¿
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v
q
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i
Ñ
k
Y
1
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q
(
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q
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−
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Y
1
≤
m
≤
t,m
6
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q
(
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q
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q
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q
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q
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,
(3.2)
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k
(
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1
‘
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,
…
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•
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k
+1]
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3.1
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k
(
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,
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H
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n
−
k
(
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0
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,
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a
0
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1
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2
,
···
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q
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q
2
,
···
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w
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w
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2
,
···
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n
),
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w
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1
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6
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(
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−
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1
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(
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−
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,
2
,
···
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;
w
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1
v
q
i
Y
1
≤
j
≤
q
(
β
q
i
−
q
−
α
j
)
−
1
Y
1
≤
m
≤
t,m
6
=
i
−
q
(
β
q
i
−
q
−
β
q
m
)
−
1
,i
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+1
,q
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,
···
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k
(
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,
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,
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q
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(
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,
···
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k
(
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,
v
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k
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,
v
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1
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,
···
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(
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,
···
,w
q
g
(
α
q
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,w
q
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g
(
β
q
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)
,
···
,w
n
g
(
β
q
t
))
,
(
v
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f
(
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) =
w
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(
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,
···
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v
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(
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−
q
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w
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g
(
β
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,
···
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(3.1)
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w
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v
i
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1
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k
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(
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(
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,
···
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(
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−
q
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g
(
β
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i
−
q
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,i
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+2
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···
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g
(
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x
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k
−
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(
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deg
g
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x
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deg
f
(
x
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g
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x
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•
k
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q
,
¤
±
deg[
g
(
x
)
−
f
(
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f
(
x
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g
(
x
)
−
f
(
x
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g
(
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k
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f
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(
x
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,
GRS
k
(
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,
v
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•
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2
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,
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k
•
•
F
Q
,
K
F
16
=
{
0
,
1
,γ,γ
2
,
···
,γ
14
}
DOI:10.12677/pm.2020.10111201019
n
Ø
ê
Æ
¸
…
¦
Ú
F
4
=
{
0
,
1
,γ
5
,γ
10
}
.
-
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k
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,
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k
−
1)
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.
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1
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2
,α
3
,α
4
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1
,β
2
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Ú
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v
1
,v
2
,v
3
,v
4
,v
5
,v
6
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(
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16
)
6
,
Ù
¥
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1
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2
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5
,α
4
=
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,β
1
=
γ,β
2
=
γ
4
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v
1
=
γ
14
,v
2
=1
,v
3
=
γ
14
,v
4
=1
,
v
5
=
γ
13
,v
6
=
γ
13
.
Œ
±
y
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u
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¿
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v
1
≤
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4
ê
i
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u
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¿
÷
v
5
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6
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i
,
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.
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½
n
3.2
Œ
•
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4
(
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k
1
‘
Hermitian
•
MDS
è
,
…
Ù
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ê
•
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,
4
,
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16
.
~
3.2.
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= 3
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2
= 9
,
γ
´
k
•
•
F
Q
,
K
F
9
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{
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1
,γ
1
,γ
2
,γ
3
,γ
4
,γ
5
,γ
6
,γ
7
}
Ú
F
3
=
{
0
,
1
,γ
4
}
.
Ù
¥
,
γ
4
= 2
.
-
n
= 5
Ú
k
= 3
,
d
ž
n
≥
q
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,
k
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(
n
−
k
−
1)
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.
À
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1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
)
Ú
v
= (
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
,v
5
)
∈
(
F
∗
9
)
5
,
Ù
¥
α
1
= 0
,α
2
= 1
,α
3
= 2
,α
4
=
γ
2
,α
5
=
γ
6
;
v
1
=
γ,v
2
= 1
,v
3
= 1
,v
4
= 1
,v
5
= 1
.
Œ
±
y
,
é
u
?
¿
÷
v
1
≤
i
≤
3
ê
i
,(3.1)
ª
¤
á
.
é
u
?
¿
÷
v
4
≤
i
≤
5
ê
i
,
(3.2)
ª
¤
á
.
d
½
n
3.2
Œ
•
µ
GRS
3
(
a
,
v
)
´
ä
k
1
‘
Hermitian
•
MDS
è
,
…
Ù
ë
ê
•
[5
,
3
,
3]
9
.
4.
ä
k
`
(
`
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1)
‘
Hermitian
•
MDS
è
E
!
¥
,
F
Q
=
{
α
1
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2
,
···
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Q
}
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v
1
≤
n
≤
Q
ê
,
ê
k
÷
v
1
≤
k
≤
n
.
-
a
= (
α
1
,α
2
,
···
,α
n
)
Ú
v
= (
v
1
,v
2
,
···
,v
n
)
∈
(
F
∗
Q
)
n
.
d
Ú
n
2.8
=
Œ
GRS
k
(
a
,
v
)
Hermitian
é
ó
è
.
DOI:10.12677/pm.2020.10111201020
n
Ø
ê
Æ
¸
…
¦
í
Ø
4.1.
GRS
k
(
a
,
v
)
Hermitian
é
ó
è
´
GRS
n
−
k
(
a
0
,
w
)
,
Ù
¥
a
0
= (
α
q
1
,α
q
2
,
···
,α
q
n
)
,
w
= (
w
1
,w
2
,
···
,w
n
)
,
ù
p
w
i
=
1
v
q
i
Y
1
≤
j
≤
n,j
6
=
i
(
α
q
i
−
α
q
j
)
−
1
,i
= 1
,
2
,
···
,n.
½
n
4.2.
(
n
−
k
−
1)
q<n
.
e
é
u
?
¿
÷
v
1
≤
i
≤
n
ê
i
Ñ
k
Y
1
≤
j
≤
n,j
6
=
i
(
α
q
i
−
α
q
j
)
−
1
=
v
q
+1
i
,
(4.1)
K
GRS
k
(
a
,
v
)
´
ä
k
d
k
q
e
‘
Hermitian
•
MDS
è
,
…
Ù
ë
ê
•
[
n,k,n
−
k
+1]
Q
.
y
²
d
í
Ø
4.1
Œ
•
:
[GRS
k
(
a
,
v
)]
⊥
H
= GRS
n
−
k
(
a
0
,
w
)
Ù
¥
a
0
= (
α
q
1
,α
q
2
,
···
,α
q
n
),
w
= (
w
1
,w
2
,
···
,w
n
),
ù
p
w
i
=
1
v
q
i
Y
1
≤
j
≤
n,j
6
=
i
(
α
q
i
−
α
q
j
)
−
1
,i
= 1
,
2
,
···
,n.
e
¡
û
½
GRS
k
(
a
,
v
)
Hermitian
•
,
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(
v
1
f
(
α
1
)
,v
2
f
(
α
2
)
,
···
,v
n
f
(
α
n
))
∈
GRS
k
(
a
,
v
)
∩
[GRS
k
(
a
,
v
)]
⊥
H
,
Ù
¥
deg
f
(
x
)
≤
k
−
1.
Ï
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k
−
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···
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n
f
(
α
n
)) = (
w
1
g
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α
q
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)
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2
g
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α
q
2
)
,
···
,w
n
g
(
α
q
n
))
,
v
i
f
(
α
i
) =
w
i
g
(
α
q
i
)
,i
= 1
,
2
,
···
,n.
d
ª
(4.1)
Œ
w
i
=
v
i
6
= 0,
é
1
≤
i
≤
n
,
Ï
d
k
X
e
ª
:
f
(
α
i
) =
g
(
α
q
i
)
,i
= 1
,
2
,
···
,n.
þ
ª
L
²
g
(
x
q
)
−
f
(
x
) = 0
–
k
n
‡
Ø
Ó
Š
.
Ï
•
(
n
−
k
−
1)
q<n
,
¤
±
deg[
g
(
x
q
)
−
f
(
x
)]
<n
,
Ï
d
g
(
x
q
)=
f
(
x
).
d
ž
deg
f
(
x
)=
q
·
deg
g
(
x
),
q
deg
f
(
x
)
≤
k
−
1,
¤
±
deg
g
(
x
)
≤
k
−
1
q
.
=
deg
g
(
x
)
≤b
k
−
1
q
c
.
¤
±
Hermitian
•
‘
ê
•
b
k
−
1
q
c
+1 =
d
k
q
e
.
½
n
y
.
e
¡
‰
Ñ
A
‡
ä
N
~
f
~
4.1.
q
= 4
,
Q
=
q
2
= 16
,
γ
´
k
•
•
F
Q
,
K
F
16
=
{
0
,
1
,γ,γ
2
,
···
,γ
14
}
.
-
n
= 8
Ú
k
= 6
,
d
ž
(
n
−
k
−
1)
q<n
,
d
k
q
e
= 2
.
À
a
= (
α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
,α
6
,α
7
,α
8
)
DOI:10.12677/pm.2020.10111201021
n
Ø
ê
Æ
¸
…
¦
Ú
v
= (
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
,v
5
,v
6
,v
7
,v
8
)
∈
(
F
∗
16
)
8
,
Ù
¥
α
1
=0
,α
2
=1
,α
3
=
γ
5
,α
4
=
γ
10
,α
5
=
γ,α
6
=
γ
4
, α
7
=
γ
3
,α
8
=
γ
12
;
v
1
=
γ
14
,v
2
=
γ
14
,
v
3
=
γ
14
,v
4
=
γ
14
,v
5
=
γ
14
,v
6
=
γ
8
,v
7
=
γ
14
,v
8
=
γ
5
.
Œ
±
y
,
é
u
?
¿
÷
v
1
≤
i
≤
8
ê
i
,(4.1)
ª
¤
á
.
d
½
n
4.2
Œ
•
µ
GRS
6
(
a
,
v
)
´
ä
k
2
‘
Hermitian
•
MDS
è
,
…
Ù
ë
ê
•
[8
,
6
,
3]
16
.
~
4.2.
q
= 4
,
Q
=
q
2
= 16
,
γ
´
k
•
•
F
Q
,
K
F
16
=
{
0
,
1
,γ,γ
2
,
···
,γ
14
}
.
-
n
= 12
Ú
k
= 9
,
d
ž
(
n
−
k
−
1)
q<n
,
d
k
q
e
= 3
.
À
a
= (
α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
,α
6
,α
7
,α
8
,α
9
,α
10
,α
11
,α
12
)
Ú
v
= (
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
,v
5
,v
6
,v
7
,v
8
,v
9
,v
10
,v
11
,v
12
)
∈
(
F
∗
16
)
12
,
Ù
¥
α
1
=0
,α
2
=1
,α
3
=
γ
5
,α
4
=
γ
10
,α
5
=
γ,α
6
=
γ
4
, α
7
=
γ
2
,α
8
=
γ
8
,α
9
=
γ
3
,α
10
=
γ
12
,
α
11
=
γ
11
,α
12
=
γ
14
;
v
1
=
v
2
=
v
3
=
v
4
=
γ,v
5
=
v
6
=
v
7
=
v
8
=
γ
2
,v
9
=
v
10
=
v
11
=
v
12
= 1
.
Œ
±
y
,
é
u
?
¿
÷
v
1
≤
i
≤
12
ê
i
,(4.1)
ª
¤
á
.
d
½
n
4.2
Œ
•
µ
GRS
9
(
a
,
v
)
´
ä
k
3
‘
Hermitian
•
MDS
è
,
…
Ù
ë
ê
•
[12
,
9
,
4]
16
.
~
4.3.
q
= 5
,
Q
=
q
2
= 25
,
γ
´
k
•
•
F
Q
,
K
F
25
=
{
0
,
1
,γ,γ
2
,
···
,γ
23
}
.
Ù
¥
§
γ
6
= 2
,γ
12
= 4
,γ
18
= 3
.
-
n
= 9
Ú
k
= 7
,
d
ž
(
n
−
k
−
1)
q<n
,
d
k
q
e
= 2
.
À
a
= (
α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
,α
6
,α
7
,α
8
,α
9
)
Ú
v
= (
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
,v
5
,v
6
,v
7
,v
8
,v
9
)
∈
(
F
∗
25
)
9
,
Ù
¥
α
1
=0
,α
2
=1
,α
3
=2
,α
4
=3
,α
5
=4
,α
6
=
γ
2
,α
7
=
γ
10
,α
8
=
γ
7
,α
9
=
γ
11
;
v
1
=
γ
5
,
v
2
=
γ
6
,v
3
=
γ
5
,v
4
=
γ
5
,v
5
=
γ
5
,v
6
=
γ
5
,v
7
=
γ
5
,v
8
=
γ
5
,v
8
=
γ
5
.
Œ
±
y
,
é
u
?
¿
÷
v
1
≤
i
≤
9
ê
i
,(4.1)
ª
¤
á
.
d
½
n
4.2
Œ
•
µ
GRS
7
(
a
,
v
)
´
ä
k
2
‘
Hermitian
•
MDS
è
,
…
Ù
ë
ê
•
[9
,
7
,
3]
25
.
ë
•
©
z
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Æ
¸
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