设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
PureMathematics
n
Ø
ê
Æ
,2021,11(12),1993-2002
PublishedOnlineDecember2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2021.1112222
Ý
a
•
üü
•
Œ
ú
Ï
f
–
õ
k
ü
‡
ƒ
Ï
f
k
•
ü
+
ÜÜÜ
ˆˆˆ
•••
1
§§§
444
ÿÿÿ
ddd
2
1
Ê
ô
…
’
Œ
Æ
“
‰
Æ
§
ô
Ü
Ê
ô
2
ô
Ü
“
‰
Œ
Æ
ê
Æ
†
Ú
O
Æ
§
ô
Ü
H
Â
v
F
Ï
µ
2021
c
11
4
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2021
c
12
6
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2021
c
12
13
F
Á
‡
©
y
²
A
5
´
•
˜
÷
v
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
–
õ
k
ü
‡
(
Ø
˜
½
Ø
Ó
)
ƒ
Ï
f
k
•
ü
+
"
'
…
c
k
•
ü
+
§
Ý
a
§
•
Œ
ú
Ï
f
§
ƒ
Ï
f
FiniteSimpleGroupsinWhichAnyTwo
DifferentConjugacyClassLengthsHave
atMostTwoPrimeDivisorsinCommon
YaofangZhang
1
,YanjunLiu
2
1
NormalSchool,JiujiangVocationalUniversity,JiujiangJiangxi
2
SchoolofMathematicsandStatistics,JiangxiNormalUniversity,NanchangJiangxi
Received:Nov.4
th
,2021;accepted:Dec.6
th
,2021;published:Dec.13
th
,2021
©
Ù
Ú
^
:
Ü
ˆ
•
,
4
ÿ
d
.
Ý
a
•
üü
•
Œ
ú
Ï
f
–
õ
k
ü
‡
ƒ
Ï
f
k
•
ü
+
[J].
n
Ø
ê
Æ
,2021,11(12):
1993-2002.DOI:10.12677/pm.2021.1112222
Ü
ˆ
•
§
4
ÿ
d
Abstract
Thispapershowsthat
A
5
istheonlyfinitesimplegroupsuchthatthegreatestcom-
mondivisorofanypairofitsdifferentconjugacyclasslengthshasatmosttwo(not
necessarilydifferent)primedivisors.
Keywords
FiniteSimpleGroup,ConjugacyClass,GreatestCommonDivisor,PrimeDivisor
Copyright
c
2021byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution International License (CCBY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
Ú
ó
k
•
+
Ø
´
˜
‡
š
~
¹
ï
Ä
+
•
,
E,
„
k
N
õ
™
)û
¯
K
.
¯¢
þ
g
l
1965
c
m
©
,
z
…
A
c
Û
d
‰
Æ
ê
Æ
¤
Ñ
¬
Ñ
‡
+
Ø
¥
™
)û
ú
m
¯
K
8
,
y
®
²
ò
C
20
‡
,
•
„
[1].
Ï
~
,
k
•
+
A
I
n
Ø
¥
A
I
Ý
ê
†
+
Ý
a
•
k
X
é
õ
™
éÐ
n
)
é
X
.
3
˜
½
¿Â
þ
,
Ý
a
•
Œ
±
w
Š
Ú
A
I
Ý
ê
é
ó
.
G
•
k
•
+
,
·
‚
¡
8
Ü
cd
(
G
)=
{
χ
(1)
|
χ
∈
Irr
(
G
)
}
•
G
E
Ø
Œ
A
I
Ý
ê
8
Ü
.
3
k
•
+
A
I
n
Ø
ï
Ä
¥
,
b
½
G
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ø
Œ
A
I
Ý
ê
p
ƒ
,
¯
¤
±•
,
cd
(
G
)
≤
3
X
J
G
Œ
)
.
é
u
˜
„
œ
/
,
Š
â
k
•
+
A
I
Ý
ê
ã
ë
Ï
©
|
ê
½
n
,
·
‚
k
cd
(
G
)
≤
4 .
f
zp
ƒ
^
‡
,M.lewis
Ç
k
ï
Ä
÷
v
ü
ƒ
ê
b
k
•
+
,
ù
p
ü
ƒ
ê
b
•
é
u
Ø
Ó
Ý
ê
χ
(1) ,
ψ
(1)
∈
cd
(
G
) ,
•
Œ
ú
Ï
f
gcd
(
χ
(1)
,ψ
(1))
‡
o
•
1,
‡
o
•
,
˜
ƒ
ê
.
3
X
Ø
©
¥
,
¦
y
²
÷
v
ü
ƒ
ê
b
k
•
+
G
,
k
|
cd
(
G
)
|≤
9.
÷
X
ù
‡
•
•
,M.Lewis
3
©
z
[2]
¥
Ú
\
n
−
ƒ
ê
b
ù
˜
V
g
,
ä
N
5
`
,
¡
G
÷
v
n
−
ƒ
ê
b
,
e
é
u
Ø
Ó
Ý
ê
χ
(1) ,
ψ
(1)
∈
cd
(
G
)
,
gcd
(
χ
(1)
,ψ
(1))
Ø
˜
½
Ø
Ó
ƒ
Ï
fo
‡
ê
–
õ
•
n
.
3
T
©
¥
,
Š
ö
J
Ñ
e
ã
ß
Ž
:
G
Œ
)
ž
,
•
3
½
Â
3
š
K
ê
þ
ê
Š
¼
ê
f
(
n
) ,
¦
|
cd
(
G
)
|≤
f
(
n
).
ù
˜
ß
Žy
Ü
©
y
²
´
é
,
¿
…
n
=0
,
1
ž
,
f
(0)=3,
f
(1)=9 ,
é
u
n
=2,J.Hamblin
†
M.Lewis
y
²
f
(2)
≤
462515,
•
„
[3].
2010
c
,
4
ÿ
d
,
y
Æ
Ú
Ü
U
²
3
©
z
[4]
¥
ï
Ä
÷
v
ƒ
ê
•
˜
b
š
Œ
)
+
,
ù
p
ƒ
ê
•
˜
b
•
,
é
u
Ø
Ó
Ý
ê
χ
(1) ,
ψ
(1)
∈
cd
(
G
) ,
ö
•
Œ
ú
Ï
f
gcd
(
χ
(1)
,ψ
(1))
•
ƒ
ê
•
˜
.
2017
c
,
Ú
V
Ú
MarkL.Lewis
3
©
z
[5]
¥
ï
Ä
÷
v
ƒ
ê
•
˜
Œ
)
+
,
(
Ø
µ
X
J
G
•
÷
DOI:10.12677/pm.2021.11122221994
n
Ø
ê
Æ
Ü
ˆ
•
§
4
ÿ
d
v
ƒ
ê
•
˜
Œ
)
+
,
K
G
Fitting
p
–
õ
•
12.
X
J
|
G
|
•
Û
ê
…
G
÷
v
ƒ
ê
•
˜
b
,
K
G
Fitting
p
–
õ
•
6.
C
Ï
,Camina
I
å
ï
Ä
÷
v
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
þ
•
ƒ
ê
•
˜
š
Œ
)
+
,
˜
éÐ
5
Ÿ
§
•
„
[6].
•
d
,
©
ï
Ä
÷
v
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
–
õ
k
ü
‡
£
Ø
˜
½
Ø
Ó
¤
ƒ
Ï
f
k
•
ü
+
,
Ì
‡
(
Ø
X
e
µ
½
n
1.
S
•
š
†
ü
+
.
e
S
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
,
K
S
•
A
1
(4)
∼
=
A
1
(5)
∼
=
A
5
.
2.
ý
•
£
!
k
0
Ø
©
¤
I
‡
˜
{
ü
(
Ø
.
Ú
n
1.
G
=
SL
(2
,F
)
,
Ù
¥
F
•
k
q
=
p
n
‡
ƒ
k
•
•
,
p
´
Û
ƒ
ê
.
-
v
•
Ì
‚
+
F
∗
=
F
−{
0
}
)
¤
,
K
G
¥
k
ƒ
1 =
10
01
!
,z
=
−
10
0
−
1
!
,c
=
10
11
!
,d
=
10
v
1
!
,a
=
v
0
0
v
−
1
!
,
|
a
|
=
q
−
1
,
…
G
•
¹
˜
‡
•
q
+ 1
ƒ
b
.
é
∀
x
∈
G
,
(
x
)
•
G
¥
•
¹
x
Ý
a
,
G
k
q
+4
‡
Ý
a
,
©
O
•
µ
(1)
,
(
z
)
,
(
c
)
,
(
d
)
,
(
zc
)
,
(
zd
)
,
(
a
)
,
(
a
2
)
,
···
,
(
a
(
q
−
3)
/
2
)
,
(
b
)
,
(
b
2
)
,
···
,b
(
q
−
1)
/
2
,
Ù
Ý
a
•
•
L
1
Table1.
Conjugateclasslengthsof
SL
(2
,F
),
p
odd
L
1.
SL
(2
,F
)
Ý
a
•
§
p
Û
ê
x1zcd
zczda
l
b
m
|
x
|
11
1
2
(
q
2
−
1)
1
2
(
q
2
−
1)
1
2
(
q
2
−
1)
1
2
(
q
2
−
1)
q
(
q
+1)
q
(
q
−
1)
Ù
¥
:
1
≤
l
≤
(
q
−
3)
/
2
,
1
≤
m
≤
(
q
−
1)
/
2
.
y
²
:
•
„
([7],
½
n
38.1).
2
Ú
n
2.
G
=
SL
(2
,F
)
,
Ù
¥
F
•
k
q
= 2
n
‡
ƒ
k
•
•
.
-
v
•
Ì
‚
+
F
∗
=
F
−{
0
}
)
¤
,
K
G
¥
k
ƒ
:
1 =
10
01
!
,c
=
10
11
!
,a
=
v
0
0
v
−
1
!
,
…
G
¥
•
¹
˜
‡
•
q
+1
ƒ
b
.
é
∀
x
∈
G
,
(
x
)
•
G
¥
•
¹
x
Ý
a
,
G
k
q
+1
‡
Ý
a
,
©
O
•
:
(1)
,
(
c
)
,
(
a
)
,
(
a
2
)
,
···
,
(
a
(
q
−
2)
/
2
)
,
(
b
)
,
(
b
2
)
,
···
,
(
b
q /
2
)
,
Ù
Ý
a
•
•
„
L
2
,
DOI:10.12677/pm.2021.11122221995
n
Ø
ê
Æ
Ü
ˆ
•
§
4
ÿ
d
Table2.
Conjugateclasslengthsof
SL
(2
,F
),
p
even
L
2.
SL
(2
,F
)
Ý
a
•
§
p
ó
ê
x1c
a
l
b
m
|
x
|
1(
q
2
−
1)
q
(
q
+1)
q
(
q
−
1)
Ù
¥
:
1
≤
l
≤
(
q
−
2)
/
2
,
1
≤
m
≤
q/
2
.
y
²
:
•
„
([7],
½
n
38.2).
2
Ú
n
3.
G
=
SL
2
(
q
)
,
G/Z
=
PSL
2
(
q
)
,
K
|
G
:
C
G
(
x
)
|
=
|
G
:
C
G
(
x
)
|
,
=
±
x
Ú
x
•
“
L
ƒ
ü
‡
Ý
a
•
Ý
ƒ
Ó
.
y
²
:
†
Ž
=
.
2
3.
k
•
ü
+
Ý
a
•
Š
â
ü
+
©
a
½
n
§
k
•
š
†
ü
+
•
±
e
+
ƒ
˜
µ
l
Ñ
ü
+
!
†
+
!
o
.
ü
+
±
9
Tits
ü
+
§
•
„
[8].
3.1.
†
+
½
n
1.
S
=
A
n
(
n
≥
5)
,
e+
S
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
,
K
S
=
A
5
.
y
²
:
n
= 5
ž
,
A
5
Ø
Ó
Ý
a
•
©
O
•
1,12,15,20.
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
©
O
•
µ
(12
,
15) = 3
,
(12
,
20) = 2
2
,
(15
,
20) = 5
.
¤
±
A
5
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
n
= 6
ž
,
A
6
Ø
Ó
Ý
a
•
©
O
•
1,40,45,72,90.
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
©
O
•
:
(40
,
45) = 5
,
(40
,
72) = 2
3
,
(40
,
90) = 2
·
5
,
(45
,
72) = 3
2
,
(45
,
90) = 3
2
·
5
,
(72
,
90) = 2
·
3
2
.
Ù
¥
,
±
(12)(34)
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
45,
±
(1234)(56)
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
90.
¤
±
A
6
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
§
Ù
•
Œ
ú
Ï
f
k
3
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
n
= 7
ž
,
A
7
Ø
Ó
Ý
a
•
©
O
•
:
1
,
70
,
105
,
210
,
280
,
360
,
504
,
630
.
DOI:10.12677/pm.2021.11122221996
n
Ø
ê
Æ
Ü
ˆ
•
§
4
ÿ
d
70
Ú
210
•
Œ
ú
Ï
f
•
70=2
·
5
·
7 .
Ù
¥
,
±
(123)
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
70,
±
(123)(45)(67)
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
210,
¤
±
A
7
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
k
3
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
n
= 8
ž
,
A
8
¥
±
(123)(456)
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
´
1120,
±
(123456)(78)
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
´
3360,
(1120
,
3360) = 1120
,
1120 = 2
3
·
4
·
5
·
7
,
A
8
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
§
Ù
•
Œ
ú
Ï
f
k
3
‡
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
n
=9
ž
,
A
9
¥
±
(12345)
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
´
3024,
±
(12345)(67)(89)
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
´
9072,
(3024
,
9072) = 3024
,
3024 =3
3
·
4
2
·
7
,
¤
±
A
9
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
§
Ù
•
Œ
ú
Ï
f
k
3
‡
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
a
q
u
þ
˜
Ù
é
†
+
©
Û
,
é
u
A
n
,
n
= 2
k
(
k
≥
3)
ž
,
•
Ä
Ý
a
“
L
ƒ
:
(1
,
2
,
···
,k
−
1)(
k,k
+1
,
···
,
2
k
−
2)
9
(1
,
2
,
···
,
2
k
−
2)(2
k
−
1
,
2
k
)
.
§
‚
Ý
a
•
©
O
•
3
·
4
·
5
···
(
k
−
2)
·
k
·
(
k
+1)
···
(2
k
−
3)
·
(2
k
−
1)
·
2
k
9
3
·
4
·
5
···
k
·
(
k
+1)
···
(2
k
−
3)
·
(2
k
−
1)
·
2
k,
Œ
±
w
Ñ
ö
´
c
ö
(
k
−
1)
,
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
•
:
2
k
·
(2
k
−
1)
·
(2
k
−
3)
···
k
·
(
k
−
2)
···
4
·
3
.
´
•
,
k
≥
3
ž
,
A
2
k
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
§
Ù
•
Œ
ú
Ï
f
k
2
‡
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
é
u
A
n
,
n
= 2
k
+1(
k
≥
3)
ž
,
•
Ä
Ý
a
“
L
ƒ
(1
,
2
,
···
,
2
k
−
3)
9
(1
,
2
,
···
,
2
k
−
3)(2
k
−
2
,
2
k
−
1)(2
k,
2
k
+1) .
§
‚
Ý
a
•
©
O
•
(2
k
+1)
·
2
k
·
(2
k
−
1)
·
(2
k
−
2)
·
(2
k
−
4)
···
5
9
(2
k
+1)
·
2
k
·
(2
k
−
1)
·
(2
k
−
2)
·
(2
k
−
4)
···
5
·
3
,
Œ
±
w
Ñ
ö
´
c
ö
3
,
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
•
(2
k
+1)
·
2
k
·
(2
k
−
1)
·
(2
k
−
2)
·
(2
k
−
4)
···
5
.
´
•
,
k
≥
3
ž
,
A
2
k
+1
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
§
Ù
•
Œ
ú
Ï
f
k
3
‡
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
½
n
y
.
2
DOI:10.12677/pm.2021.11122221997
n
Ø
ê
Æ
Ü
ˆ
•
§
4
ÿ
d
3.2.
l
Ñ
ü
+
½
n
2.
S
•
Tits
ü
+
½
ö
26
‡
l
Ñ
ü
+
ƒ
˜
,
K
S
–
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
,
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
y
²
:
Š
â
GAP
§
S
[9]
=
Œ
y
,
•
„
L
3.
Table3.
Maximumcommonfactorfordifferentconjugateclasslengths
L
3.
•
Œ
Ý
a
•
ú
Ï
f
l
Ñ
ü
+
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
l
Ñ
ü
+
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
M
11
2
·
3
2
·
5
Fi
0
24
2
2
·
3
7
·
7
2
·
23
·
29
M
12
3
2
·
11
HS
5
2
·
11
·
7
M
22
5
·
7
·
11
McL
5
2
·
11
M
23
3
·
5
·
11
·
23
He
3
·
5
·
7
2
·
17
M
24
3
2
·
11
·
23
Ru
3
2
·
5
2
·
29
J
1
7
·
11
·
19
Suz
3
3
·
5
·
11
·
13
J
2
3
2
·
5
·
7
O
0
N
7
2
·
19
·
11
·
31
J
3
3
2
·
17
·
19
HN
3
4
·
5
3
·
19
J
4
11
2
·
23
·
29
·
31
·
37
·
43
Ly
5
3
·
31
·
37
·
67
Co
1
3
4
·
5
2
·
7
·
11
·
23
Th
3
3
·
5
2
·
7
·
19
·
31
Co
2
3
2
·
5
2
·
11
·
23
B
3
4
·
5
3
·
31
·
47
Co
3
3
3
·
5
2
·
23
M
3
7
·
5
3
·
7
4
·
11
·
13
2
·
29
·
41
·
59
·
71
Fi
22
3
3
·
5
·
13
2
F
4
(2)
0
3
2
·
5
·
13
Fi
23
2
8
·
5
·
11
·
13
·
17
·
23
3.3.
o
.
ü
+
!
ï
Ä
o
.
ü
+
,
Ü
©
Ú
^
Î
Ò
ë
„
[7]
½
[10].
·
K
1.
S
•
~
ü
+
,
K
S
–
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
,
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
y
²
:
z
˜
‡
~
ü
+
±
s
1
,s
2
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
k
ú
Ï
f
q
3
,
=
y
.
2
·
K
2.
S
•
A
n
(
q
)
,
Ù
¥
q
•
ƒ
ê
•
˜
,
n
∈
Z
+
,
(
q>
3
X
J
n
=1)
,
•
k
S
=
A
1
(4)
Ú
A
1
(5)
ž
,
Ù
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
y
²
:
5
¿
±
s
1
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
:
q
1
2
n
(
n
+1)
(
n
+1
,q
−
1)
n
Y
i
=1
(
q
i
−
1)
,
±
s
2
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
:
q
1
2
n
(
n
+1)
(
n
+1
,q
−
1)
(
q
n
+1
−
1)
n
−
2
Y
i
=1
(
q
i
+1
−
1)
.
DOI:10.12677/pm.2021.11122221998
n
Ø
ê
Æ
Ü
ˆ
•
§
4
ÿ
d
n
≥
2
ž
,
ù
ü
‡
Ý
a
•
7
k
ú
Ï
f
q
3
,
¤
±
A
n
(
q
)(
n
≥
2)
–
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
§
Ù
•
Œ
ú
Ï
f
k
–
n
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
e
n
= 1.
1.
q
•
Û
ƒ
ê
•
˜
=
q
6
= 2
f
ž
,
Š
â
Ú
n
3
†
1
Œ
•
,
•
k
:
(
q
+1)(
1
2
(
q
−
1)
,q
)
,
2
q,
(
q
−
1)(
1
2
(
q
+1)
,q
)
þ
•
õ
k
ü
‡
(
Œ
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
ž
,
A
1
(
q
)
Ù
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
e
2
q
•
õ
k
ü
‡
(
Œ
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
,
q
•
U
•
ƒ
ê
˜
g
˜
,
d
ž
•
I
•
Ä
q
−
1
,q
+1 ,
q
= 3
ž
,
q
+1 = 4 = 2
2
,
q
−
1 = 2,
¤
±
A
1
(3)
Ù
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
´
A
1
(3)
Œ
)
,
Ø7
•
Ä
.
q
= 5
ž
,
q
+1 = 6 = 2
·
3,
q
−
1 = 4 = 2
2
,
¤
±
A
1
(5)
Ù
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
q
≥
7
ž
,
q
+1
,q
−
1
¥–
k
˜
‡
k
–
n
‡
(
Œ
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
,
¤
±
A
1
(
q
)(
q
6
= 2
f
,p
≥
7)
Ø
Î
Ü
.
2.
q
=2
f
ž
,
Š
â
Ú
n
2
Œ
•
,
A
1
(
q
)
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
©
O
•
q,q
−
1
,q
+1 ,
Ä
k
•
Ä
q
,
e
q
•
õ
k
ü
‡
ƒ
Ï
f
(
Œ
±
ƒ
Ó
) ,
K
q
= 2
½
2
2
,
A
1
(2)
Œ
)
,
Ø7
•
Ä
.
q
=2
2
ž
,
q
−
1 = 3
,q
+1 = 5,
d
ž
q,q
−
1
,q
+1
þ
•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
,
¤
±
A
1
(4)
Ù
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
n
þ
¤
ã
,
•
k
S
=
A
1
(4)
∼
=
A
1
(5)
ž
,
Ù
?
¿
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
·
K
y
.
2
·
K
3.
S
•
2
A
n
(
q
2
)
,
q
•
ƒ
ê
•
˜
,
n
∈
Z
+
,
Ù
¥
n
≥
2(
±
9
q>
2
X
J
n
= 2)
,
K
S
–
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
,
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
y
²
:
n
≥
3
•
Û
êž
,
±
s
1
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
:
1
(
n
+1
,q
+1)
q
1
2
n
(
n
+1)
n
Y
i
=1
(
q
i
−
(
−
1)
i
)
,
±
s
2
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
:
(
q
n
+1
−
1)
(
n
+1
,q
+1)
q
1
2
n
(
n
+1)
n
−
2
Y
i
=1
(
q
i
+1
−
(
−
1)
i
+1
)
.
ù
ü
‡
Ý
a
•
k
ú
Ï
f
q
3
,
d
ž
2
A
n
(
q
2
)
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
n
≥
2
•
ó
êž
,
±
s
1
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
Ý
•
:
1
(
n
+1
,q
+1)
q
1
2
n
(
n
+1)
n
Y
i
=1
(
q
i
−
(
−
1)
i
)
,
DOI:10.12677/pm.2021.11122221999
n
Ø
ê
Æ
Ü
ˆ
•
§
4
ÿ
d
±
s
2
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
Ý
•
:
(
q
n
+1
+1)
(
n
+1
,q
+1)
q
1
2
n
(
n
+1)
n
−
2
Y
i
=1
(
q
i
+1
−
(
−
1)
i
+1
)
.
ù
ü
‡
Ý
a
•
k
ú
Ï
f
q
3
,
Ó
d
ž
2
A
n
(
q
2
)
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
·
K
y
.
2
·
K
4.
S
•
B
n
(
q
)
½
C
n
(
q
)
,
n
≥
2(
±
9
q>
2
X
J
n
= 2)
,
Ù
¥
q
•
ƒ
ê
•
˜
,
K
S
–
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
,
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
–
k
n
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
y
²
:
n
≥
3
•
Û
êž
,
±
s
1
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
:
q
n
2
(2
,q
−
1)
1
q
n
+1
n
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
,
±
s
2
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
:
q
n
2
(2
,q
−
1)
1
q
n
−
1
n
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
.
ù
ü
‡
Ý
a
•
k
ú
Ï
f
q
3
,
d
ž
S
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
n
≥
2
•
ó
êž
,
±
s
1
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
Ý
•
q
n
2
(2
,q
−
1)
1
q
n
+1
n
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
,
±
s
2
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
Ý
•
q
n
2
(2
,q
−
1)
1
(
q
+1)(
q
n
−
1
+1)
n
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
.
ù
ü
‡
Ý
a
•
k
ú
Ï
f
q
3
,
Ó
d
ž
S
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
·
K
y
.
2
·
K
5.
S
•
D
n
(
q
)
,
Ù
¥
q
•
ƒ
ê
•
˜
,
n>
3
,n
∈
Z
+
,
K
S
–
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
,
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
–
k
n
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
y
²
:
n
≥
5
•
Û
êž
,
±
s
1
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
q
n
(
n
−
1)
(
q
n
−
1)
(4
,q
n
−
1)
1
(
q
n
−
1
+1)(
q
+1)
n
−
1
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
,
±
s
2
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
q
n
(
n
−
1)
(
q
n
−
1)
(4
,q
n
−
1)
1
(
q
n
−
1)
n
−
1
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
.
DOI:10.12677/pm.2021.11122222000
n
Ø
ê
Æ
Ü
ˆ
•
§
4
ÿ
d
ù
ü
‡
Ý
a
•
k
ú
Ï
f
q
3
,
d
ž
S
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
§
Ù
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
n
≥
4
•
ó
êž
,
±
s
1
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
Ý
•
q
n
(
n
−
1)
(
q
n
−
1)
(4
,q
n
−
1)
1
(
q
n
−
1
+1)(
q
+1)
n
−
1
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
,
±
s
2
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
Ý
•
q
n
(
n
−
1)
(
q
n
−
1)
(4
,q
n
−
1)
1
(
q
n
−
1
−
1)(
q
−
1)
n
−
1
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
.
ù
ü
‡
Ý
a
•
k
ú
Ï
f
q
3
,
Ó
d
ž
S
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
·
K
y
.
2
·
K
6.
S
•
2
D
n
(
q
2
)
,
Ù
¥
q
•
ƒ
ê
•
˜
,
n>
3
,n
∈
Z
+
,
K
S
–
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
,
§
‚
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
y
²
:
±
s
1
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
Ý
•
1
(4
,q
n
+1)
q
n
(
n
−
1)
(
q
n
+1)
1
q
n
+1
n
−
1
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
,
±
s
2
•
“
L
ƒ
Ý
a
•
•
1
(4
,q
n
+1)
q
n
(
n
−
1)
(
q
n
+1)
1
(
q
n
−
1
+1)(
q
−
1)
n
−
1
Y
i
=1
(
q
2
i
−
1)
.
ù
ü
‡
Ý
a
•
k
ú
Ï
f
q
3
,
d
ž
S
k
ü
‡
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f
k
n
‡
9
±
þ
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
.
2
½
n
3.
e
S
•
o
.
ü
+
,
e
S
Ø
Ó
Ý
a
•
•
Œ
ú
Ï
f•
õ
k
ü
‡
(
Œ
±
ƒ
Ó
)
ƒ
Ï
f
,
K
•
A
1
(4)
½
A
1
(5)
.
y
²
:
Š
â
·
K
1-6
=
Œ
y
.
2
½
n
1
y
²
:
Š
â
½
n
1-3
=
Œ
y
.
—
©
ô
Ü
Ž
“
c
‰
Æ
Ä
7
))
-
:
‘
8
20192ACB21008
]
Ï
,
A
d
a
!
ë
•
©
z
[1]Khukhro, E.I. andMazurov, V.D. (2021) Unsolved Problems in GroupTheory:The Kourovka
Notebook.arXiv:1401.0300[math.GR]
DOI:10.12677/pm.2021.11122222001
n
Ø
ê
Æ
Ü
ˆ
•
§
4
ÿ
d
[2]Lewis,M.(2005)The NumberofIrreducible CharacterDegreesof SolvableGroupsSatisfying
theOne-PrimeHypothesis.
AlgebrasandRepresentationTheory
,
8
,479-497.
https://doi.org/10.1007/s10468-005-3596-1
[3]Hamblin,J.andLewis, M.(2012)SolvableGroupsSatisfyingtheTwo-PrimeHypothesis,II.
Al-
gebrasandRepresentationTheory
,
15
,1099-1130.https://doi.org/10.1007/s10468-011-9281-7
[4]Liu,Y.,Song,X.andZhang,J.(2015)NonsolvableGroupsSatisfyingthePrime-PowerHy-
pothesis.
JournalofAlgebra
,
442
,455-483.https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.02.010
[5]Du,N.andLewis, M.L.(2017) ThePrime-Power HypothesisandSolvableGroups.
Archivder
Mathematik(Basel)
,
109
,301-303.https://doi.org/10.1007/s00013-017-1085-5
[6]Camina,A.R.andCamina,R.D.(2017)One-PrimePowerHypothesisforConjugacyClass
Sizes.
InternationalJournalofGroupTheory
,
6
,13-19.
[7]Dornhoff,L.(1971)GroupRepresentationTheory,PartA:OrdinaryRepresentationTheory.
MarcelDekker,NewYork.
[8]Gorenstein,D.(1982)FiniteSimpleGroups.AnIntroductiontoTheirClassification.Univer-
sitySeriesinMathematics.PlenumPublishingCorp.,NewYork.
https://doi.org/10.1007/978-1-4684-8497-71
[9]TheGAPGroup(2015)GAP-Groups,Algorithms,andProgramming,Version4.7.9.
http://www.gap-system.org
[10]
M
²
„
.
k
•
+
Ð
Ú
[M].
®
:
‰
Æ
Ñ
‡
,2013.
DOI:10.12677/pm.2021.11122222002
n
Ø
ê
Æ