Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 88-96 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22015 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) The Relation between Solutions of a Class of Higher Order Differential Equations with Periodic Coefficients and Functions of Small Growth* Qing Wang1, Zongxuan Ch en2# School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou Email: 313547370@qq.com, #chzx@vip.sina.com Received: Dec. 31st, 2011; revised: Jan. 13th, 2012; accepted: Jan. 22nd, 2012 Abstract: In this paper, we investigate the differential equations 1 1100 0 kk zz zz kk fPeQef PeQef and 12 1 11 00 kk z zz kk zzz f Pe QefPe Qef Re Re . Moreover, we obtained the relation between solutions of the two differential equations and their 1th derivatives of differential equa- tion and small functions . Keywords: Differential Equation; Entire Functions; Fu nction of Small Growth; Exponent of Convergence 关于线性微分方程的解的性质* 王 青1,陈宗煊 2# 华南师范大学数学科学学院,广州 Email: 313547370@qq.com, #chzx@vip.sina.com 收稿日期:2011 年12 月31 日;修回日期:2012 年1月13 日;录用日期:2012 年1月22 日 摘 要:在文中研究了微分方程 1 1100 0 kk zz zz kk fPeQef PeQef 和 00 12 1 11 kk z zzzzz kk f Pe Qef Pe QefReRe 的解以及它们的一阶导 数与小函数的关系。 关键词:微分方程;整函数;小函数;收敛指数 1. 引言 本文使用值分布理论的标准记号(见文[1]),还使用 2 f 表示亚纯函数 f z的超级,用 f f ,分别表 示亚纯函数 f z的零点及不同零点的收敛指数,用 f 表示亚纯函数取小函数的点的收敛指数,以及 2f [2]表示亚纯函数取小函数 的点的二级收敛指数。还使用 f 表示亚纯函数 f的不动点收敛指数,以 及 2 f [2]表示亚纯函数 f 的二级不动点收敛指数。 考虑微分方程: 1 1100 0 kk zz zz kk fPeQef PeQef , (1.1) *基金项目:国家自然科学基金资助项目(NO. 11171119)。 #通讯作者。 Copyright © 2012 Hanspub 88 王青 等 关于线性微分方程的解的性质 1 1100 12 kk z zzzz kk z f Pe QefPe QefReRe j , (1.2) 101 , jj jj mz nz zzz z jj jmjjjjn PeQea eaecbebe 12101 . jjjj z zmz zz m ReReaeaec bebe nz n 且 12 z z Re Re 不恒为零,其中 ,, j jm a 1 j a,0 j c 1,,0,1,,,1 j jjn bbj k , ,为常数, j j mn a为正整数,且 0, j jm 0. j jn b 陈宗煊在文[3]中研究了方程(1.1) (1.2)的级,超级以及次正规解,并得到了以下定理: 定理 A[3] 假设 , jj Pz Qz 0,1,, ,1jk 为关于 z的多项式,且 deg , j j Pm deg j j Qn。若 满足 0 P 0max:1,2, ,1 j mmjk, (1.3) 或者 满足 0 Q 0max:1,2, ,1 j nnjk , (1.4) 那么,方程(1.1)没有非平凡次正规解,且方程(1.1)的每个解 f的超级 21.f 定理 B[3] 假设 , jj Pz Qz 0,1,, ,1jk , 1, 2 i Rzi均为关于 z的多项式,且 deg , j j Pm deg j j Qn。若满足 (1.3)或者 满足(1.4),那么 0 P0 Q 1) 方程(1.2)至多有一个非平凡次正规解 0 f ,且形如 01 2 z z f zSe Se ,其中 均为关于 z的多项 式。 12 ,SS 2) 除去 1)中可能存在的一个次正规解,方程(1.2)的其余解 f的超级 21f 。 在此基础上,我们研究了方程(1.1)和方程(1.2)的解与小函数的关系,并得到了以下结论: 定理 1.1 假设 , jj Pz Qz 0,1,, ,1jk 为关于 z的多项式,且 deg , j j Pm deg j j Qn。若 满足式(1.3) 或者 满足式(1.4)。若 0 P 0 Q (不恒为零)是有限级整函数,那么对于微分方程(1.1)的任一非零解 f满足 .ff 221.ff 若 1 ,还有 .ff 221.ff 定理 1.2 假设 , jj Pz Qz 0,1,, ,1jk , 1, 2 i Rzi均为关于 的多项式,且zdeg , j j Pmdeg . j j Qn 若 满足(1.3)或者满足(1.4),那么 0 P0 Q 1) 方程(1.2)至多有一个有限级解 0 f ,其余所有非零解 f有 f 。 2) 若 (不恒等于 0 f )是有限级非零整函数,那么对于微分方程(1.2)的任一无穷级解 f,满足 .ff 221.ff 特别地,若 是级小于 1的非零整函数且 (不恒等于 0 f ),并且以下两个条件之一成立: 1) , 00 max:1,2, ,1 j mmjkm且m n 2) 00 max:1,2,,1. j nnjkn且 则对于除去 1)中可能存在的有限级例外解0 f 以外的所有解 f还有 .ff 221.ff 事实上,当 z 时,由以上定理就能得到方程(1.1)方程(1.2)的解的不动点的一系列结论: 推论 1.3 假设 , jj Pz Qz 0,1,, ,1jk ,以及 j j mn满足定理1.1 的条件。则方程(1.1)的每个非零解 f及 其一阶导数 f 均有无穷多个不动点,且 ,ff 22 1ff 。 推论 1.4 假设 , jj Pz Qz 0,1,,,1 ,jk 1, 2 i Rzi以及, j j mn 满足定理 1.2 的条件。则方程(1.2)的 每个非零解 f及其一阶导数 f 均有无穷多个不动点,且 ,ff 22 1,ff 至多一个例外。 Copyright © 2012 Hanspub 89 王青 等 关于线性微分方程的解的性质 2. 为证明定理所需要的引理 引理 2.1[3] 假设 和 Gr H r为两个定义在 0, 内的非减实函数。 1) 若除去一个有穷线测度的集合 E外有 Gr Hr,那么对任意的 1 ,存在 使得对所有都有 0 r0 rr GrH r 。 2) 若存在一个集合E,其对数测度 l mE ,集合 E的对数测度 l mE定义为 1)d , lE mEt tt 其中,使得当 时 1, 0, E rE trE rE Gr Hr,那么对任意常 e ,当 时,有1r GrH r 。 引理 2.2[4] 假设01 1 ,,, , k A AA F(不恒为零)是有限级亚纯函数,如果 f z是方程 1 110 kk k fAfAfAf F 的亚纯解,并且 ,那么 f fff 。 3. 定理 1.1 的证明 首先证明方程(1.1)的的任一非零解 f有 f 。假设 f为方程(1.1)的任一非零解,由微分方程基本理 论易知 f为整函数。由文[3]定理2的证明过程知,当满足(1.3)或者满足(1.4)时,f为超越整函数,且 0 P0 Q f 。 令0 gf ,那么 0,gf 20 21gf 和 0 gf 。将 0 fg 代入方程(1.1)中, 得到 1 0110000 . kk zz zz kk g Pe QegPe Qeghz (3.1) 其中 1 11 00 kk zz zz kk hzPeQeP eQe 。注意到方程(3.1)可能具有有限级解,但 这里仅讨论 0 gf 为无穷级的解。所以接下来只对方程(3.1)的无穷级解 0 g ,计 算 0 g 。方 程(3.1)的右边项 。这是因为若 ,则易知 0h0h 是方程(1.1)的一个有限级非零解,这与定理 A矛盾。根据引理 2.2 知, 对于方程(3.1)而言,有 gg f ,即 f 。 00 下面证明 221ff 。由(3.1)式,若 为 0 z0 g 的l阶零点且,则 必为的阶零点, 并且有 lk0 z hz lk 00 11 ,,,NrkNrNr 1 . g gh z (3.2) 由(3.1)式两边同除以 得到 0 hzg 1 00 11 00 000 11 . kk zz zz kk gg Pe QePe Qe ghzgg (3.3) 所以有 10 01 0 0 11 ,, ,, i kk zz jj ji g mrmrmrPeQ emr ghz g . (3.4) 由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合E外,有 00 0 ,log, i g mrO rTrg g . (3.5) 由于 , j j hz PQ均为级为 1的整函数,故当 r充分大时, Copyright © 2012 Hanspub 90 王青 等 关于线性微分方程的解的性质 2 ,,, jj mrhzr mrPQr 2 . (3.6) 故,由(3.2)-(3.6)式知,当 rE 且r充分大时, 2 0 0 1 ,, log,Trg kNrOrrTrg g 0 . (3.7) 又当 r充分大时, 0 1 log,, . 2 OrTrg Trg 0 (3.8) 故由(3.7),(3.8)式知,当 r且r充分大时, E 2 00 11 ,, 2Trg kNrOr g . (3.9) 由(3.9)式结合引理2.1 知 20 20 g g 。故 20 20 21ggf 。所以, 220 1fg 。 下面证明 f 。令 1 gf ,那么有 1 gff , 21 221gff 和 1 gf 。对方程(1.1)的两边微分,得到 1 111 11 1 00 0. k kk i zzz zzz kkiiii i zz f Pe QefPeQePe Qef PeQe f (3.10) 又由方程(1.1)得到 1 11 11 00 1. kk zz zz kk zz f fPeQefPeQef Pe Qe (3.11) 将(3.11)式代入(3.10)式得到 00 111 00 00 1 11 100 0. zz k k zz kk zz zzzz ii ki zzzz iii izz i Pe Qe fPeQe f Pe Qe PeQePe Qe Pe QePeQef Pe Qe , (3.12) 将11 ,fg fg 代入式(3.12),得到 00 1 11 11 00 00 11 21 11 1 000 . zz k k zz kk zz zzzz ii kzz zz ii iizz i Pe Qe gPeQe g Pe Qe PeQePeQe PeQePeQegSz Pe Qe (3.13) 其中 Copyright © 2012 Hanspub 91 王青 等 关于线性微分方程的解的性质 00 1 11 00 00 11 2() 11 000 . zz k k zz kk zz zzzz ii k z zz zi ii iizz i Pe Qe SzPeQePe Qe PeQePeQe PeQePeQePe Qe 先证明 0Sz。假设 0Sz ,也即 1 00001 100 2 00 1100 0 k k zzzzz zzz kk kzzzz zz ii i z ii Pe QePe QePeQePeQe Pe QePeQePeQe Pe Q 11 000. i zzzz z ii ePeQePeQe (3.14) 以下分两种情况进行证明:1) 满足式(1.3)。2) 满足式(1.4)。 0 P0 Q 1) 满足式(1.3)时,取 ,由(3.14)式易得到(3.14) 0 P 0,zrr 式左边关于 z e的最高次项 0 0 2 200. mr m ae (3.15) 得到 0 00. m a (3.16) 这与 0 z P e的定义矛盾。 2) 满足式(1.4) 时,取 ,此时,(3.14)式左边关于 0 Q 0,zrr z e 的最高次项 0 0 2 2 00 nr n be 。这与 0 z Qe 的定义矛盾。 综合 1)和2)两种情况可知 0Sz。由引理 2.3 可知, 11 gf g 。 下面证明 221ff 。由之前已证得 0Sz 。且由式(3.13)知,若 为 0 z1 g 的l阶零点且 , 则必为 的阶零点,有 lk 0 z Sz lk 11 11 ,,, NrkNrNr 1 . g gS z (3.17) 由(3.13)式两边同除以 得到 1 Szg 1 00 1 1 11 11 1 00 00 11 21 11 01 00 11 . zz k k zz kk zz zzzz ii i kzz zz ii iizz i Pe Qe gg Pe Qe gSzg g Pe Qe PeQePeQeg PeQeP eQeg Pe Qe (3.18) 所以有 Copyright © 2012 Hanspub 92 王青 等 关于线性微分方程的解的性质 11 01 1 00 1 1100 11 ,,2, , ,,. kk zzz z jjj j jj zz i k zz i mrmrmrPeQemrPeQ e gSz Pe Qe g mr kmr gPe Qe (3.19) 由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合 外,有 1 E 11 1 ,log, i g mrOrTrg g . z (3.20) 由于均为级为 1的整函数,故当 r充分大时, ,, zzz jj jj Sz PeQ ePeQ e 22 1 ,,, ,, zzz z jjj j Trr mrPeQermrPeQer Sz 2 . (3.21) 由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合 外,有 2 E 00 00 , zz zz Pe Qe mrO r Pe Qe log. (3.22) 由(3.17)-(3.22)式可知 2 1 1 1 1 ,,log log,TrgkNrOr OrOrTrg g . (3.23) 又当 r充分大时, 1 1 log,, . 2 OrTrg Trg 1 2 (3.24) 由(3.23) (3.24)式得到,当 1 rE E 且r充分大时, 2 11 11 ,,l 2Trg kNrOr Or g og. (3.25) 由(3.25)式结合引理 2.1 知, 2121221ggf f 。立刻得到, 221ff 。 4. 定理 1.2 的证明 假设 f为方程(1.2)的任一解,由微分方程基本理论易知 f为整函数。方程 (1.2)至多有一个有限级整函数解 。 这是因为假设 为方程(1.2)的另一个有限级整函数解,即 0 f 1 f 1 f ,则 10 ff 0 f 。而 为对应的齐 次方程(1.1)的解,则与定理 A矛盾。故方程(1.2)至多有一个有限级例外解 。所以,方程(1.2)的解至多除去一 个有限级例外解,其余任何解 f有 。 1 ff0 0 f f 接下来证明方程(1.2)的的任一无穷级解 f有 f 。令0 gf ,那么 , 和 0 gf 20 21gf 0 gf 。将 0 fg 代入方程(1.2)中,得到 1 01 10000 . kk zz zz kk g PeQegPeQe gTz (4.1) 其中 1 121100 kk zzz zzz kk TzRe RePe QePe Qe 。注意到方程(4.1)可能 Copyright © 2012 Hanspub 93 王青 等 关于线性微分方程的解的性质 具有有限级解,但这里仅讨论 0 gf 为无穷级的解。所以接下来只对方程(4.1)的无穷级解 0 g ,计算 0 g 。 我们断言 0Tz,这是因为若 ,则易知 Tz 0 f 是方程(1.2)的一个有限级非零解,这与之前所知方程(1.2) 至多有一个有限级例外解 0 f 矛盾。根据引理2.2 知,对于方程(4.1)而言,有 000 ggg f 。 即 f 。 下面证明 1ff 。 2 2 已证得 0Tz,由(4.1)式,若 为0 g 的l阶零点且 ,则 必为lk0 z Tz的阶零点,并且有 lk 0 z 00 11 ,,, 1 . kNr NrNr g gTz (4.2) 由(4.1)式两边同除以 得到 0 gTz 1 00 11 00 0 . kk zz z kk gg Pe QePe Qe g 00 11 gT z zg (4.3) 所以有 10 00 0 0 11 ,,. i kk zz jj ji g mrmrPeQ emr gTz g ,, mr (4.4) 又由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合E外,有 00 0 ,log, i g mrO rTrg g . (4.5) 由于 , j j Tz PQ均为级为 1的整函数,故当r充分大时, 2 ,,, jj mrTzr mrPQr 2 . (4.6) rE 且r充分大时, 故,由(4.2)-(4.6)式知,当 2 00 0 1 ,, log, . gkNrOr OrTrg g Tr (4.7) 又当 r充分大时, 0 1 log,, . 2 OrTrgTrg 0 (4.8) 故由(4.7),(4.8)式知,当 r且r充分大时, E 2 00 11 ,, 2Trg kNrOr g . (4.9) 20 20 g g 。故 20 20 21ggf 。所以, 由(4.9)式结合引理2.1 知22 1ff 。 下面证明 f 。 假设 f为方程(1.2)的任一解,那么至多除去一个有限级例外解 0 f ,其余任何解f有。且之前已证 得 f f ,现在计算 f 。 令1 gf ,那么有 1 gff , 21 221gff 和 1 gf 。对方 程(1.2)的两边微分,得到 Copyright © 2012 Hanspub 94 王青 等 关于线性微分方程的解的性质 1 111 11 1 00 12 . k kk i zzz zzz kkiiii i zz zz f Pe QefPeQePe Qef PeQef ReRe (4.10) 又由方程(1.2)得到 1 12 1 00 1. k ki zzz z iki zz i fReRefPeQ Pe Qe ef (4.11) 将(4.11)式代入(4.10)式得到 00 111 00 00 1 11 100 001 12 zz k k zz kk zz zzzz ii ki zzz z iii izz i zzz zz Pe Qe fPeQe f Pe Qe PeQePeQe Pe QePeQef Pe Qe Pe QeRe Re Re 2 00 . z zz Re Pe Qe (4.12) 将11 ,fgfg , 代入式(4.12),得到 00 1 11 11 00 00 11 2 11 1 000 . zz k k zz kk zz zzzz ii ki zz zz ii iizz i Pe Qe gPeQe g Pe Qe PeQeP eQe PeQePeQeg Pe Qe Rz (4.13) 其中 0012 12 00 00 1 11 00 00 11 11 00 zzzz k zz zz zz k zz kk zz zzzz ii zz zz ii iiz PeQeRe Re RzR eRePe Qe Pe Qe Pe QePeQe PeQeP eQe PeQePeQePe Q 2 0 . ki z ie Copyright © 2012 Hanspub 95 王青 等 关于线性微分方程的解的性质 Copyright © 2012 Hanspub 96 下面证明 0Rz 。假设 ,也即 0Rz 12001200 1 00001 100 2 00 1100 0 1 zzzzzzz z k k zzzzz zzz kk kzzzz zz ii i zz z ii i ReRePeQeReRePeQe Pe QePeQePe QePeQe Pe QePeQePe Qe PeQeP e 10 00. i zz z i Qe PeQe (4.14) 以下分两种情况进行证明: 1) , 00 max:1,2, ,1 j mmjkm且m n m 2) 。 00 max:1,2,,1 j nnjkn且 1) 时,取 00 max:1,2, ,1 j mmj km且 0,zrr 。 z 情形 1:若 ,则(4.14)式左边关于 0 mme的最高次项 0 00 000 0 mmr mm mm aamaame 。得到。这与 矛盾。 0 mm 0 mm 情形 2:若 ,则(4.14)式左边关于 0 mm z e的最高次项 0 0 2 2 00 mr m ae 。得 到0 00 m a 。这 与 0 z P e的定义矛盾。 由情形 1,2可知: 0Rz 。 2) 且时,取 0max:1,2, ,1 j nnj k 0 nn 0,zrr ,接下来的证明方法和 1)一样。由1)和 2)可知, 0Rz 。再结合引理2.2 可得到 f 。 下面用证明 221ff 的方法可以同样证明得到 221ff 。 参考文献 (References) [1] 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982. 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