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PureMathematics
理论数学
,2023,13(4),781-794
PublishedOnlineApril2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2023.134081
四元代数上图的顶点加权
Zeta
函数
李淑雅
上海理工大学理学院,上海
收稿日期:
2023
年
3
月
11
日;录用日期:
2023
年
4
月
12
日;发布日期:
2023
年
4
月
21
日
摘要
给定一个有向图,建立了一个图上的四元数顶点加权
zeta
函数及其
Study
行列式表达式。对于
顶点上有四元数权值的图,我们通过使用无限积来定义
zeta
函数,将其视为欧拉积。这是
Ihara
zeta
函数在四元数上的扩展。给出新的
zeta
函数的两个
Study
行列式表达式。
关键词
IharaZeta
函数,
Study
行列式,顶点加权
Vertex-WeightedZetaFunctionofthe
QuaternionAlgebraicGraph
ShuyaLi
FacultyofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai
Received:Mar.11
th
,2023;accepted:Apr.12
th
,2023;published:Apr.21
st
,2023
Abstract
Givenadirectedgraph,aquaternionvertexweightedzetafunctiononthegraphand
itsStudydeterminantexpressionareestablished.Forgraphswithquaternionweights
文章引用
:
李淑雅
.
四元代数上图的顶点加权
Zeta
函数
[J].
理论数学
,2023,13(4):781-794.
DOI:10.12677/pm.2023.134081
李淑雅
onvertices, we definezeta functionsby usinginfiniteproductsas Eulerproducts.This
isanextensionoftheIharazetafunctiononquaternions.TwoStudydeterminant
expressionsofthenewzetafunctionaregiven.
Keywords
IharaZetaFunction,StudyDeterminant,VertexWeighting
Copyright© 2023byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
引言
著名的
Riemannzeta
函数是黎曼在
1859
年首次给出,在此基础上,越来越多的数学家定义
各种不同的
zeta
函数。有限图的
Iharazeta
函数最初是
Ihara
在
[1]
中在正则图上建立的。最
初,
Ihara
在
[1]
中给出了离散群的
zeta
函数,并证明了它的倒数是一个多项式。
Ihara
也证明了
Iharazeta
函数的对数具有生成函数形式的表达式。
Sunada
在
[2][3]
中提出了正则图
G
的
zeta
函数,该函数与
G
的基础群的酉表示相关联。
Hashimoto
在
[4]
中引入了二部图的多变量
zeta
函
数。对于一般图,
Hashimoto
利用其边矩阵给出了
Iharazeta
函数的行列式表达式。
Bass
在
[5]
中将
Ihara
关于正则图的
Iharazeta
函数的结果推广到不规则图上,并证明其倒数也是一个多项
式。
Bass
定理的各种证明已由
Stark
和
Terras
在
[6],Foata
和
Zeliberger
在
[7]
,
Kotani
和
Sunada
在
[8]
中给出。接下来
Hsahimoto
在
[9]
中对图
G
的边进行赋值
,
把图的
zeta
函数推广到图的加
权
zeta
函数。
Stark
和
Terra
在
[6]
中定义了其有向边赋权的图的边
zeta
函数,并利用其边矩阵
给出了其行列式表达式。
Mizuno
和
Sato
在
[10]
中引入图的边
zeta
函数的特殊版本,并通过对有
向边进行加权和计算循环长度的变量
t
定义了图的加权
zeta
函数。后来称这个函数为第一个加权
函数,与
Sato
在定义的另一个函数进行区分。
Konno
等人在
[11]
中对无向图的顶点进行加权,通
过定义图
G
的一个新的加权
Iharazeta
函数,给出了函数的行列式表达式。
另一方面,四元数是
Hamiliton
在
1843
年发现的,它可以看成复数的扩展,任何一个四元数
都可以表示成:
a
+
bi
+
cj
+
dk
,
其中
a,b,c,d
∈
R
,
用
H
来表示四元数的集合。多年来,许多人
对四元数矩阵的行列式给出了不同的定义。为了将图的
zeta
函数扩展到四元数的情况下,我们使
用了
Study
在
[12]
中开发的方法
,
来研究图的
Study
行列式与四元数
zeta
函数之间关系是什么样
的,这种方法的优点是可以将研究四元数行列式的计算转换为普通行列式的计算。它的缺点是它
的行列式不是行列式不是行列式的精确延伸,而是它的平方。我们在本论文中的方法遵循
[7][13]
中的方式。
DOI:10.12677/pm.2023.134081782
理论数学
李淑雅
本篇论文的目的是结合线性代数、图论以及四元数等知识,通过给图的顶点加权,将
zeta
函
数的行列式表达式推广到四元数上。研究在四元数上,通过定义四元数矩阵的
Study
行列式,用
一个无限积即欧拉积来定义四元数上图的顶点加权
zeta
函数。
本文的其他部分组织如下:第
2
节给出了相关定义和引理,引理
2.3
对全文的证明至关重要。
第
3
节给出了之前定义的一般情况下有向图的顶点加权
zeta
函数表达式,为后面定义四元数上图
的顶点加权
zeta
函数奠定基础。第
4
节在四元数的基础上,对图的
zeta
函数进行顶点加权,通过
定义两个四元数矩阵,借助形式幂级数以及
Lyndonwords
将
zeta
函数转化到
Study
行列式上来。
2.
预备知识
定理
2.1.
(
见
[14])
R
A
R
.
A
[[
t
]]
α
α
=
k
≥
0
α
k
t
k
,α
k
∈
A.
定理
2.2.
(
见
[15])
X
=
{
x
1
,
···
,x
N
}
X
∗
X
ω
∈
X
∗
,
Lyndonwords
l
1
,l
2
,
···
,l
r
,
ω
=
l
1
l
2
···
l
r
引理
2.1.
(
见
[15])
X
=
{
x
1
,
···
,x
N
}
X
∗
X
L
x
X
∗
Lyndonwords
,
{
1
−
(
x
1
+
···
+
x
N
)
t
}
=
<
l
∈
L
x
1
−
lt
|
l
|
.
<
l
∈
L
x
.
引理
2.2.
(
见
[15])
A
∈
Mat
(
n,A
)
,
I
n
n
I
n
−
A
t
=
<
(
i
1
,j
1
)
···
(
i
r
,j
r
)
∈
L
[
n
]
×
[
n
]
j
k
=
i
k
+1
(
k
=1
,
···
,r
)
(
I
n
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
···
a
i
r
j
r
E
i
1
j
r
t
r
)
.
(2
.
1)
E
i
1
j
r
i
1
,
j
r
1
0
<
(
i
1
,j
1
)
···
(
i
r
,j
r
)
∈
L
[
n
]
×
[
n
]
j
k
=
i
k
+1
(
k
=1
,
···
,r
)
.
引理
2.3.
(
见
[16])
H
,
H
R
,
:
H
=
{
a
+
bi
+
cj
+
dk
|
a,b,c,d
∈
R
}
,
DOI:10.12677/pm.2023.134081783
理论数学
李淑雅
i
2
=
j
2
=
k
2
=
−
1
,ij
=
k
=
−
ji,jk
=
i
=
−
kj,ki
=
j
=
−
ik.
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
∈
H
,x
∗
x
H
.
:
x
∗
=
x
0
−
x
1
i
−
x
2
j
−
x
3
k.
定义
2.1.
(
见
[16])
z
∈
H
z
z
=
x
+
jy,x,y
∈
C
.
H
R
,
C
.
定义
2.2.
(
见
[15])
Mat
(
m
×
n,
H
)
m
×
n
,
Mat
(
m,
H
)
m
×
m
∀
M
∈
Mat
(
m
×
n,
H
)
,
M
M
=
M
S
+
j
M
P
M
S
,
M
P
∈
Mat
(
m
×
n,
C
)
.
定义
2.3.
(
见
[15])
ψ
:
Mat
(
m
×
n,
H
)
→
Mat
(2
m
×
2
n,
C
)
M
7→
M
S
−
M
P
M
P
M
S
M
M
ψ
R
.
引理
2.4.
(
见
[15])
ψ
Mat
(
m
×
n,
H
)
Mat
(2
m
×
2
n,
C
)
M
,
N
∈
Mat
(
m
×
n,
H
)
ψ
(
MN
)=
ψ
(
M
)
ψ
(
N
)
.
引理
2.5.
(
见
[16])
J
2
n
×
2
n
J
=
0
−
I
n
I
n
0
.
:
ψ
(
M
)=
N
∈
Mat
2
n,
C
)
|
JN
=
N
J
,
M
∈
Mat
(
n,
H
)
.
定义
2.4.
(
见
[12])
Sdet
(
M
)=
det
(
ψ
(
M
))
.
det
Sdet
Study
.
定义
2.5.
(
见
[15])
ψ
t
(
t
)=
t
ψ
Mat
(
n,
H
)[[
t
]]
Mat
(2
n,
C
)
R
ψ
t
.
det
:
Mat
(2
n,
C
)
→
C
det
t
:
Mat
(2
n,
C
)[[
t
]]
→
C
[[
t
]]
.
det
·
ψ
t
:
Mat
(
n,
H
)[[
t
]]
→
C
[[
t
]]
det
·
ψ
t
Mat
(
n,
H
)[[
t
]]
Study
,
Sdet
t
.
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李淑雅
定义
2.6.
α
=
k
≥
0
α
k
t
k
,α
k
∈
H
.
t
H
h
∈
H
,
th
=
ht
.
α
k
=
α
s
k
+
jα
p
k
.
α
α
=
k
≥
0
α
k
t
k
=
k
≥
0
α
s
k
t
k
+
j
k
≥
0
α
P
k
t
k
=
α
S
+
jα
P
.
引理
2.6.
(
见
[15])J
2
n
×
2
n
J
=
0
−
I
n
I
n
0
ψ
t
Mat
(
n,
H
)[[
t
]]
Mat
(2
n,
C
)[[
t
]]
R
ψ
t
(
Mat
(
n,
H
[[
t
]]))=
N
∈
Mat
(2
n,
C
[[
t
]])
|
JN
=
NJ
�
引理
2.7.
(
见
[15])
α
=
k
≥
0
α
k
t
k
∈
H
[[
t
]]
,
α
=
α
S
+
jα
P
,
α
S
,α
P
∈
C
[[
t
]]
α
∗
α
H
,
αα
∗
=
α
∗
α
=
α
s
¯
α
s
+
α
p
¯
α
p
∈
C
[[
t
]]
引理
2.8.
(
见
[17])
A
,
B
,
C
,
D
AC
=
CA
,
det
AB
CD
=
det
(
AD
−
CB
)
.
引理
2.9.
(
见
[15])
(1)
M
∈
Mat
(
n,
H
[[
t
]])
,
Sdet
t
(
M
)
∈
R
[[
t
]]
(2)
M
,
N
∈
Mat
(
n,
H
[[
t
]])
,
Sdet
t
(
MN
)=
Sdet
t
(
M
)
Sdet
t
(
N
)
(3)
M
∈
Mat
(
n,
H
[[
t
]])
,
M
M
=
λ
1
∗···∗
0
λ
2
∗
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00
···
λ
n
λ
1
0
···
0
∗
λ
2
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∗∗···
λ
n
Sdet
t
(
M
)=
n
i
=1
λ
i
λ
∗
i
(4)
A
∈
Mat
(
m
×
n,
H
[[
t
]])
,
B
∈
Mat
(
n
×
m,
H
[[
t
]])
,
Sdet
t
(
I
2
m
−
AB
)=
Sdet
t
(
I
n
−
BA
)
�
3.
有向图的顶点加权
zeta
函数
G
=(
V
(
G
)
,E
(
G
))
为一个有向图,
V
(
G
)
为图的顶点集合
,
E
(
G
)
为图的无向边集合
.
我
们假设图
G
既没有重边又没有环
.
D
(
G
)=
{
(
u,v
)
,
(
v,u
)
|
uv
∈
E
(
G
)
}
为有向边的集合
.
对于边
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李淑雅
e
=(
u,v
)
∈
D
(
G
)
,
我们称
o
(
e
)=
u
为边
e
的起点,
t
(
e
)=
v
为边
e
的终点
.
边
e
=(
u,v
)
∈
D
(
G
)
的逆我们用
e
−
1
=(
v,u
)
来表示
.
图
G
的一条长度为
t
的路径用序列
P
=(
e
1
,...,e
t
)
表
示,其中
e
i
∈
D
(
G
)
,
t
(
e
i
)=
o
(
e
i
+1
)
.
这里
i
∈{
1
,...,t
−
1
}
.
|
P
|
表示路径
P
的长度
.
对于
i
∈{
1
,...,t
−
1
}
,
如果有
e
i
+1
=
e
−
1
i
,则称路径
P
有返回
(
backtracing
)
.
如果
t
(
P
)=
o
(
P
)
,
则称
路径
P
为圈或者闭路径
.
如果存在
k
,
使圈
C
1
=(
e
1
,...,e
l
)
和圈
C
2
=(
f
1
,...,f
l
)
满足
f
j
=
e
j
+
k
,
这里
j
∈{
1
,...,l
}
,
则称圈
C
1
和圈
C
2
被称为等价的
.
圈
C
的所有等价类记作
[
C
]
.
圈
B
r
是指圈
B
循环
r
次
.
如果圈
C
和
C
2
都没有返回,则这个圈
C
称作可约
(
reduced
)
的
.
若对于任意
r
和
圈
D
,
都有
C
̸
=
D
r
,则称圈
C
是素的
(
prime
)
.
图
G
的
Iharazeta
函数是一个关于充分小的复数
t
的函数
,
定义如下:
Z
(
G,t
)=
Z
G
(
t
)=
[
C
]
1
−
t
|
C
|
−
1
.
(3
.
1)
这里
[
C
]
遍历图
G
的所有素可约等价类
.
B
=(
B
ef
)
e,f
∈
D
(
G
)
和
J
0
=(
J
ef
)
e,f
∈
D
(
G
)
是定义如下的
2
m
×
2
m
矩阵
:
B
ef
=
1
如果
t
(
e
)=
o
(
f
)
,
0
其它
.
J
ef
=
1
如果
f
=
e
−
1
,
0
其它
.
矩阵
B
−
J
0
被称为图
G
的边矩阵
.
定理
3.1.
(
见
[4][5])
G
n
,
m
,
G
Iharazeta
Z
(
G,u
)
−
1
=
det
(
I
2
m
−
u
(
B
−
J
0
))=
1
−
u
2
m
−
n
det
I
n
−
u
A
(
G
)+
u
2
(
D
G
−
I
n
)
,
A
G
,
D
G
=(
d
ii
)
G
,
d
ii
=
deg
G
v
i
.V
(
G
)=
{
v
1
,...,v
n
}
.
G
是一个连通图
,
接下来我们考虑图
G
的加权矩阵
W
(
G
)
.
我们让
ω
:
V
(
G
)
→
C
,
让
W
n
×
n
=(
ω
uv
)
u,v
∈
V
(
G
)
为一个对角矩阵,这里:
ω
uv
=
ω
(
u
)
如果
u
=
v
;
0
其它
.
W
被称为图
G
的加权矩阵
.
两个
2
m
×
2
m
矩阵
˜
B
=
˜
B
(
G
)=(
B
e,f
)
e,f
∈
D
(
G
)
和
˜
J
=
˜
J
(
G
)=(
J
e,f
)
e,f
∈
J
(
G
)
定义如下:
B
e,f
=
ω
(
t
(
e
))
2
如果
t
(
e
)=
o
(
f
)
,
0
其它
,
J
e,f
=
ω
(
t
(
e
))
2
如果
f
=
e
−
1
,
0
其它
.
对于路径
P
=(
e
i
1
,e
i
2
,...,e
i
d
)
,
ω
(
P
)=
ω
(
t
(
e
i
1
))
2
ω
(
t
(
e
i
2
))
2
···
ω
(
t
(
e
i
d
))
2
.
则顶点加权
zeta
函数
DOI:10.12677/pm.2023.134081786
理论数学
李淑雅
被定义为:
Z
(
G,w,t
)=
[
C
]
1
−
ω
(
C
)
t
|
C
|
−
1
.
(3
.
2)
Mizuno
和
Sato
在
[10]
中将函数
˜
B
运用到函数表达式得到一个新的顶点加权
zeta
函数:
ζ
ω
(
G,u
)=
det
I
2
m
−
u
B
−
J
−
1
.
4.
四元数上图的顶点加权
zeta
函数
接下来,我们在四元数上讨论图的顶点加权
zeta
函数,我们把
ω
(
e
)
的值扩充到四元数上,我
们让
ω
:
V
(
G
)
→
H
.
对于路径
P
=(
e
i
1
,e
i
2
,...,e
i
d
)
,
ω
(
P
)=
ω
(
t
(
e
i
1
))
2
ω
(
t
(
e
i
2
))
2
···
ω
(
t
(
e
i
d
))
2
.
让
W
n
×
n
=(
ω
uv
)
u,v
∈
V
(
G
)
为一个对角矩阵,称它为图的顶点加权矩阵,这里:
ω
uv
=
ω
(
v
)
2
如果
(
u,v
)
∈
D
(
G
);
0
其它
.
我们称
ω
(
v
)
为四元数上的权重
,
这里
v
∈
V
(
G
)
,
W
被称为图
G
在四元数上的顶点加权矩阵
.
接
下来我们定义图
G
四元数上顶点加权的
zeta
函数
:
Z
H
(
G,w,t
)=
C
1
−
ω
(
C
)
t
|
C
|
1
−
ω
(
C
)
t
|
C
|
∗
−
1
.
(4
.
1)
这里
C
=(
e
i
1
,e
i
2
,...,e
i
r
)
遍历所有的素可约圈
,
其中
i
1
i
2
...i
r
∈
L
[2
m
]
.
注
4.1.
(1)
i
1
i
2
...i
r
∈
L
[2
m
]
,
C
=(
e
i
1
,e
i
2
,...,e
i
r
)
.
(2)
ω
(
C
)
∈
H
,
1
−
ω
(
C
)
t
|
C
|
∈
H
[[
t
]]
3.5
1
−
ω
(
C
)
t
|
C
|
1
−
ω
(
C
)
t
|
C
|
∗
∈
C
[[
t
]]
.
(3)
1
−
ω
(
C
)
t
|
C
|
1
−
ω
(
C
)
t
|
C
|
∗
=1+
ω
(
C
)
ω
(
C
)
∗
t
2
|
C
|
−
ω
(
C
)
t
|
C
|
−
ω
(
C
)
∗
t
|
C
|
=1+
|
ω
(
C
)
|
2
t
2
|
C
|
−
2
Re
(
ω
(
C
))
t
|
C
|
.
Z
H
(
G,w,t
)=
C
1+
|
ω
(
C
)
|
2
t
2
|
C
|
−
2
Re
(
ω
(
C
))
t
|
C
|
−
1
.
(4
.
2)
接下来我们考虑在四元数上图的顶点加权矩阵
W
,我们定义两个四元数
2
m
×
2
m
矩阵
B
ω
=
B
(
ω
)
ef
e,f
∈
D
(
G
)
和
J
ω
=
J
(
ω
)
ef
e,f
∈
D
(
G
)
.
B
ef
(
w
)
=
ω
(
t
(
e
))
2
t
(
e
)=
o
(
f
)
0
t
(
e
)
̸
=
o
(
f
)
,
J
ef
(
w
)
=
ω
(
t
(
e
))
2
f
=
e
−
1
0
f
̸
=
e
−
1
.
DOI:10.12677/pm.2023.134081787
理论数学
李淑雅
我们利用
B
ω
=
B
(
ω
)
ef
e,f
∈
D
(
G
)
和
J
ω
=
J
(
ω
)
ef
e,f
∈
D
(
G
)
的矩阵来表示四元数上图的顶点加权
zeta
函数
.
定理
4.1.
G
G
zeta
Z
H
(
G,W,t
)
−
1
=
Sdet
t
(
I
2
m
−
(
B
ω
−
J
ω
)
t
)
Proof.
由引理
2.2
可知,
I
2
m
−
A
t
=
<
(
i
1
,j
1
)
...
(
i
r
,j
r
)
∈
L
[2
m
]
×
[2
m
]
j
k
=
i
k
+1
(
k
=1
,...,r
−
1)
I
2
m
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
j
r
E
i
1
j
r
t
r
Sdet
t
(
I
2
m
−
A
t
)=
Sdet
t
<
(
i
1
,j
1
)
...
(
i
r
,j
r
)
∈
L
[2
m
]
×
[2
m
]
j
k
=
i
k
+1
(
k
=1
,...,r
−
1)
I
2
m
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
j
r
E
i
1
j
r
t
r
=
(
i
1
,j
1
)
...
(
i
r
,j
r
)
∈
L
[2
m
]
×
[2
m
]
j
k
=
i
k
+1
(
k
=1
,...,r
−
1)
Sdet
t
I
2
m
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
j
r
E
i
1
j
r
t
r
.
(4.3)
最后一个等式不需要顺序,由引理
3.7
(1)
知任意
M
∈
Mat
(
n,
H
[[
t
]])
,
Sdet
t
(
M
)
∈
R
[[
t
]]
,
不
在乎顺序
.
如果
j
r
=
i
1
,则矩阵
I
2
m
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
i
1
E
i
1
i
1
t
r
为对角矩阵
,
是一个除了第
r
行元素
为
1
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
i
1
t
r
,
其余元素全为
1
的对角矩阵
.
由引理
2.9
(3)
知:
Sdet
t
I
2
m
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
i
1
E
i
1
i
1
t
r
=
1
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
i
1
t
r
1
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
i
1
t
r
∗
.
(4.4)
如果
j
r
̸
=
i
1
,
则矩阵
I
2
m
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
j
r
E
i
1
j
r
t
r
为对角线元素全为
1
,第
i
1
行,第
j
r
列元素为
1
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
i
1
t
r
,
由引理
2.9
(3)
知
:
Sdet
t
I
2
m
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
j
r
E
i
1
j
r
t
r
=1
.
综上所说:
Sdet
t
(
I
2
m
−
A
t
)
=
(
i
1
,i
2
)
...
(
i
r
,i
1
)
∈
L
[2
m
]
×
[2
m
]
1
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
i
1
t
r
1
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
i
1
t
r
∗
(4.5)
DOI:10.12677/pm.2023.134081788
理论数学
李淑雅
这里让
A
=
B
ω
−
J
ω
,
则:
a
ij
=
a
e
i
e
j
=
ω
(
t
(
e
i
))
2
如果
t
(
e
i
)=
o
(
e
j
)
,e
j
̸
=
e
−
1
i
0
其它
.
则带入
(4.5)
得:
Sdet
t
(
I
2
m
−
A
t
)=
Sdet
t
(
I
2
m
−
(
B
ω
−
J
ω
)
t
)
=
(
i
1
,j
1
)
...
(
i
r
,j
r
)
∈
L
[2
m
]
×
[2
m
]
(
e
i
1
,e
i
2
,...e
i
r
:
reducedcycle
)
1
−
ω
(
t
(
e
i
1
))
2
...ω
(
t
(
e
i
r
))
2
t
r
1
−
ω
(
t
(
e
i
1
))
2
...ω
(
t
(
e
i
r
))
2
t
r
∗
=
i
1
i
2
...i
r
∈
L
[2
m
]
(
e
i
1
,e
i
2
,...e
i
r
:
reducedcycle
)
1
−
ω
(
t
(
e
i
1
))
2
...ω
(
t
(
e
i
r
))
2
t
r
1
−
ω
(
t
(
e
i
1
))
2
...ω
(
t
(
e
i
r
))
2
t
r
∗
.
(4.6)
这里我们要注意因为当
j
r
̸
=
i
1
时,
Sdet
t
I
2
m
−
a
i
1
i
2
a
i
2
i
3
...a
i
r
−
1
i
r
a
i
r
j
r
E
i
1
j
r
t
r
=1
,所以当我们
在计算
Sdet
t
(
I
2
m
−
(
B
ω
−
J
ω
)
t
)
可忽略当
j
r
̸
=
i
1
的情况
.
当
j
r
=
i
1
时,
(
e
i
1
,e
i
2
,...e
i
r
)
构成一
个圈,如果圈有返回,即存在
i,j
∈{
1
,
2
,
···
r
}
,
使得
t
(
e
i
)=
o
(
e
j
)
,且
e
j
=
e
−
1
i
.
由
B
ω
−
J
ω
的
定义知
a
ij
=
a
e
i
e
j
=0
,所以圈有返回的这种情况也可以不考虑
.
又因为
(
i
r
,j
r
)
∈
L
[2
m
]
×
[2
m
]
,
由
Lyndonwords
具有本原性,即若
ω
∈
L
,
ω
在它的共轭类中最小
.
所以圈的平方也不含返回
,
所
以我们只需要考虑可约圈
.
由
Z
H
(
G,ω,t
)
的定义,我们可以得到
Z
H
(
G,W,t
)
−
1
=
Sdet
t
(
I
2
m
−
(
B
ω
−
J
ω
)
t
)
.
接下来我们定义
˜
W
=
˜
W
uv
u,v
∈
V
(
G
)
和
˜
D
=
˜
D
uv
u,v
∈
V
(
G
)
:
˜
W
uv
=
1
−
ω
(
v
)
2
ω
(
u
)
2
t
2
−
1
ω
(
v
)
2
如果
(
u,v
)
∈
D
(
G
)
0
其它
,
˜
D
uv
=
o
(
e
)=
u
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
u
)
2
t
2
−
1
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
u
)
2
如果
u
=
v
0
其它
.
引理
4.1.
X
(
e
)
2
×
2
X
(
e
)=
1
ω
(
t
(
e
))
2
t
ω
(
o
(
e
))
2
t
1
.
DOI:10.12677/pm.2023.134081789
理论数学
李淑雅
X
(
e
)
X
(
e
)
−
1
=
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
−
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
ω
(
t
(
e
))
2
t
−
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
ω
(
o
(
e
))
2
t
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
Proof.
设
Y
(
e
)=
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
−
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
ω
(
t
(
e
))
2
t
−
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
ω
(
o
(
e
))
2
t
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
容易验证
Y
(
e
)
X
(
e
)=
I
2
,
接下来证明
X
(
e
)
Y
(
e
)=
I
2
.
当
ω
(
t
(
e
))=0
,
容易验证
X
(
e
)
Y
(
e
)=
I
2
.
当
ω
(
o
(
e
))=0
,
容易验证
X
(
e
)
Y
(
e
)=
I
2
.
当
ω
(
t
(
e
))
和
ω
(
o
(
e
))=0
都不为
0
时,
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
ω
(
o
(
e
))
2
t
=
t
ω
(
o
(
e
))
−
2
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
=
t
ω
(
o
(
e
))
−
2
−
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
=
t
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
ω
(
o
(
e
))
−
2
−
1
=
ω
(
o
(
e
))
2
t
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
.
同理,我们也能得到
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
ω
(
t
(
e
))
2
t
=
ω
(
t
(
e
))
2
t
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
.
因此:
X
(
e
)
Y
(
e
)=
1
ω
(
t
(
e
))
2
t
ω
(
o
(
e
))
2
1
×
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
−
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
ω
(
t
(
e
))
2
t
−
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
ω
(
o
(
e
))
2
t
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
=
1
ω
(
t
(
e
))
2
t
ω
(
o
(
e
))
2
1
×
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
t
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
t
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
o
(
e
))
2
t
2
−
1
1
−
ω
(
o
(
e
))
2
ω
(
t
(
e
))
2
t
2
−
1
=
I
2
.
DOI:10.12677/pm.2023.134081790
理论数学
李淑雅
定理
4.2.
G
G
zeta
Z
H
(
G,ω,t
)
−
1
=
Sdet
t
I
n
−
t
˜
W
+
t
2
˜
D
m
i
=1
1
−
ω
(
t
(
e
i
))
2
ω
(
o
(
e
i
))
2
t
2
1
−
ω
(
t
(
e
i
))
2
ω
(
o
(
e
i
))
2
t
2
∗
.
Proof.
Sdet
t
(
I
2
m
−
(
B
ω
−
J
ω
)
t
)
=
Sdet
t
(
I
2
m
−
t
B
ω
+
t
J
ω
)
=
Sdet
t
I
2
m
−
t
B
ω
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
×
Sdet
t
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
.
(4.7)
定义两个
2
m
×
n
的矩阵
S
=(
S
ev
)
e
∈
D
(
G
)
,v
∈
V
(
G
)
和
T
=(
T
ev
)
e
∈
D
(
G
)
,v
∈
V
(
G
)
如下:
S
ev
=
ω
(
v
)
2
如果
t
(
e
)=
v
0
其它
,
T
ev
=
1
如果
o
(
e
)=
v
0
其它
.
我们能得到
ST
T
=
B
ω
.
由引理
2.9
(4)
知:
Sdet
t
(
I
m
−
AB
)=
Sdet
t
(
I
n
−
BA
)
,
将上式
应用到
(4.7):
Sdet
t
(
I
2
m
−
(
B
ω
−
J
ω
)
t
)
=
Sdet
t
I
2
m
−
t
ST
T
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
×
Sdet
t
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
=
Sdet
t
I
n
−
t
T
T
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
S
×
Sdet
t
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
.
我们让
D
(
G
)=
e
1
,e
−
1
1
,...,e
m
,e
−
1
m
,
由引理
2.9
(3)
可得:
Sdet
t
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
=
Sdet
t
1
ω
(
t
(
e
1
))
2
t
00
···
ω
(
o
(
e
1
))
2
t
100
···
001
ω
(
t
(
e
2
))
2
t
···
00
ω
(
o
(
e
2
))
2
t
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
=
Sdet
t
1
ω
(
t
(
e
1
))
2
t
00
···
01
−
ω
(
t
(
e
1
))
2
ω
(
o
(
e
1
))
2
t
2
00
···
001
ω
(
t
(
e
2
))
2
t
···
0001
−
ω
(
t
(
e
2
))
2
ω
(
o
(
e
2
))
2
t
2
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
=
m
i
=1
1
−
ω
(
t
(
e
i
))
2
ω
(
o
(
e
i
))
2
t
2
1
−
ω
(
t
(
e
i
))
2
ω
(
o
(
e
i
))
2
t
2
∗
.
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理论数学
李淑雅
由
X
(
e
)
的定义,可得:
I
2
m
+
t
J
ω
=
X
(
e
1
)0
···
0
0
X
(
e
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
···
0
X
(
e
m
)
,
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
=
X
(
e
1
)
−
1
0
···
0
0
X
(
e
2
)
−
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
···
0
X
(
e
m
)
−
1
.
接下来考虑
T
T
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
S
.
如果
e
=(
u,v
)
∈
D
(
G
)
,
由之前对这些矩阵的定义,若使下式有意义,即
f
=
f
′
我们可以得
到:
T
T
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
S
uv
=
f,f
′
∈
D
(
G
)
T
T
uf
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
ff
′
S
f
′
v
=
1
−
ω
(
v
)
2
ω
(
u
)
2
t
2
−
1
ω
(
v
)
2
.
如果
u
=
v
时
,
由之前对这些矩阵的定义,若使下式有意义,即
f
−
1
=
f
′
我们可以得到
T
T
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
S
uu
=
f,f
′
∈
D
(
G
)
T
T
uf
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
ff
′
S
f
′
u
=
o
(
e
)=
u
T
T
ue
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
ee
−
1
S
e
−
1
u
=
−
o
(
e
)=
u
1
−
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
u
)
2
t
2
−
1
ω
(
t
(
e
))
2
ω
(
u
)
2
t.
如果
u
̸
=
v
,
且
u
�
v
构不成一条边
,
满足
o
(
u
)=
f,t
(
v
)=
f
′
,
f
与
f
′
既不互逆,也不相等
,
则
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
ff
′
=0
.
因此
T
T
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
S
=
˜
W
−
t
˜
D
.
所以:
Sdet
t
(
I
2
m
−
t
(
B
ω
−
J
ω
))
=
Sdet
t
I
2
m
−
t
T
T
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
−
1
S
×
Sdet
t
(
I
2
m
+
t
J
ω
)
=
Sdet
t
I
n
−
t
˜
W
+
t
2
˜
D
m
i
=1
1
−
ω
(
t
(
e
i
))
2
ω
(
o
(
e
i
))
2
t
2
1
−
ω
(
t
(
e
i
))
2
ω
(
o
(
e
i
))
2
t
2
∗
.
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理论数学
李淑雅
5.
例子
考虑
4
个顶点,
4
条边,
8
条有向边的有向图
G,
令
G
的顶点是
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,
且
ω
是图
G
的
四元数上的顶点加权,
ω
(
x
i
)=
ω
i
,i
=1
,
2
,
3
,
4
.
则有:
˜
W
=
0(1
−
ω
2
2
ω
2
1
t
2
)
−
1
ω
2
2
0(1
−
ω
2
4
ω
2
1
t
2
)
−
1
ω
2
4
(1
−
ω
2
1
ω
2
2
t
2
)
−
1
ω
2
1
0(1
−
ω
2
3
ω
2
2
t
2
)
−
1
ω
2
3
0
0(1
−
ω
2
2
ω
2
3
t
2
)
−
1
ω
2
2
0(1
−
ω
2
4
ω
2
3
t
2
)
−
1
ω
2
4
(1
−
ω
2
1
ω
2
4
t
2
)
−
1
ω
2
1
0(1
−
ω
2
3
ω
2
4
t
2
)
−
1
ω
2
3
0
˜
D
为对角元素依次为
(1
−
ω
2
2
ω
2
1
)
−
1
ω
2
2
ω
2
1
+(1
−
ω
2
4
ω
2
1
)
−
1
ω
2
4
ω
2
1
,
(1
−
ω
2
3
ω
2
2
)
−
1
ω
2
3
ω
2
2
+(1
−
ω
2
1
ω
2
2
)
−
1
ω
2
1
ω
2
2
,
(1
−
ω
2
4
ω
2
3
)
−
1
ω
2
4
ω
2
3
+(1
−
ω
2
2
ω
2
3
)
−
1
ω
2
2
ω
2
3
�
(1
−
ω
2
1
ω
2
4
)
−
1
ω
2
1
ω
2
4
+(1
−
ω
2
3
ω
2
4
)
−
1
ω
2
3
ω
2
4
,
其余元素为
0
的
4
×
4
矩阵
.
则由定理
4.2
得:
Z
H
(
G,ω,t
)
−
1
=
Sdet
t
I
n
−
t
˜
W
+
t
2
˜
D
m
i
=1
1
−
ω
(
t
(
e
i
))
2
ω
(
o
(
e
i
))
2
t
2
1
−
ω
(
t
(
e
i
))
2
ω
(
o
(
e
i
))
2
t
2
∗
=
1
−
t
2
ω
2
1
ω
2
4
1
−
t
2
ω
2
1
ω
2
4
∗
−
1
.
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