ABSTRACT

In this note, central (overabelian) super rpp semigroup is defined. These semigroups are generalization of the related classes of completely regular semigroups in the range of super rpp semi- groups. Some characterizations of such semigroups are obtained.

Keywords:Super Rpp Semigroup, Completely -Simple Semigroup

超Rpp半群的核心

叶火平，郭俊颖，郭小江

江西师范大学，数学与信息科学学院，江西 南昌

收稿日期：2016年4月25日；录用日期：2016年5月9日；发布日期：2016年5月12日

摘 要

本文定义了中心(扩交换)超rpp半群，这些半群是完全正则半群子类在超rpp半群中的推广。文中给出了中心(扩交换)超rpp半群的若干特征。

关键词 :超Rpp半群，完全-单半群

1. 引言和准备

半群的核心定义为它的所有幂等元生成的子半群。由于幂等元为半群结构的骨架，半群核心自然能够提供半群许多结构信息，因此研究半群的核心就非常有意义。本文将研究超rpp半群的核心。

令。定义

当且仅当对于任意，。

下面已知结果将多次用到(可见 [1] )。

引理1.1令，则当且仅当，且对于任意的，。

半群称为rpp半群，如果对于任意的，作为-系是投射的。等价地，为rpp半群当且仅当每一个-类都含有幂等元。进一步，rpp半群称为强rpp半群(strongly rpp semigroup)，如果对于任意的，存在惟一的幂等元使得且。强rpp半群称为超rpp半群(super rpp semigroup)，如果等价关系是左同余。

现令为强rpp半群。如 [2] ，定义。显然，的每个-类都含幂等元，并且是左消幺半群。众所周知，完全正则半群是超rpp半群，特别地，当是完全正则半群时，，进而。事实上，超rpp半群是完全正则半群当且仅当它是正则的。

令，为非空集合，且为左消幺半群。令为-矩阵，其元素均为的单位。在集合上，定义运算

。

关于上面的运算，构成强rpp半群，称为上关于夹心矩阵(sandwich matrix)的Rees矩阵半群，并记为。我们称同构于某左消幺半群上的Rees矩阵半群的强rpp半群为完全-单半群(关于完全-单半群，参见 [3] [4] )。

引理1.2 ( [2] [5] ) 令为左消幺半群上关于夹心矩阵(sandwich matrix)的Rees矩阵半群。则

(1)为幂等元当且仅当；

(2) (的所有正则元组成的集合)，且构成的子半群；

(3)；

(4)当且仅当。

文 [2] 中，Guo-Guo-Shum指出：rpp半群为超rpp半群当且仅当它为一些完全-单半群的半格。

2. 主要结论

本文采用文献 [6] 中的概念和术语，为方便计，用叙述“令为超rpp半群”表示“为超rpp半群，且为完全-单半群的半格”。

引理2.1 超rpp半群满足正则性条件(即，其正则元集构成子半群)，从而超rpp半群的正则元构成完全正则子半群。

证明 令为超rpp半群。为证：满足正则性条件，仅需证：的幂等元乘积为正则元。为此，设，分别为和的幂等元，则，进而为中的幂等元。注意到，，我们有，以致于，从而为的幂等元。另一方面，不难知道，

，于是为的幂等元。而，现在，进而，这样为的幂等元。故，再据

引理1.2 (2)，为的正则元。这样，证明了：的幂等元的乘积为正则元。

注意到，完全-单半群的正则元组成完全单半群。不难知道，超rpp半群的正则元都是完全的，从而超rpp半群的正则元构成完全正则子半群。

基于引理2.1，再据( [7] , Proposition II. 6.2, p. 89)，下面命题显然。

命题2.2 令为超rpp半群，则

(1)；

(2) 对于任意的(的幂等元集)，。

文 [7] 中，Petrich-Reilly研究了中心完全正则半群(central completely regular semigroup)。类似地，定义中心超rpp半群。

定义2.3超rpp半群称为中心的(central)，如果任意两个幂等元的乘积都包含在其所在的-类的中心内。

下面的命题给出了中心超rpp半群的一些性质，它推广了( [7] , Theorem II . 6.4, p. 90)。

命题2.4 令为超rpp半群，则以下各款等价：

(1)是中心的；

(2) 对于任意的，是中心的；

(3) 对于任意的，包含在的中心内，此处为包含幂等元的-类。

(4)满足恒等式：。

证明 据( [1] , Proposition6.9)的证明，，进而。再据定义2.3，不难知道，显然。

令，，则。由于为右同余，有

。

注意到，在正则元上恰为。再据引理2.1，有，其中是在-类中的逆元。另外，据引理1.2，含幂等元的的-类为。从而

令，且，则。据( [7] , Lemma II . 4.4, p. 75)，知

。注意到，的所有正则元构成完全单半群。易知，

。从而

，

进而

，

于是为中心的。

定义2.5 超rpp半群称为扩交换的(overabelian)，如果的每一个-类都是交换幺半群。

据定义，易知，扩交换超rpp半群是中心的。不难看出，扩交换超rpp半群是扩交换完全正则半群的推广。并且，扩交换超rpp半群为扩交换完全正则半群，当且仅当它是正则的。下面给出扩交换超rpp半群的一个特征。

命题2.6令为超rpp半群，则为扩交换的当且仅当满足恒等式：。

证明 设为扩交换超rpp半群。令，，则，进而，再据引理1.2，，在同一个-类中，从而

。

反之，设满足恒等式：。对于任意两个属于同一-类的元素，显然有，进而

。

从而为扩交换超rpp半群。

如 [1] ，称半群为富足半群(abundant semigroup)，如果的每个-类和每个-类都含幂等元；称为超富足半群(superabundant semigroup)，如果它的每个-类都含有幂等元。显然超富足半群是富足半群。关于超富足半群，读者可参见 [1] 。当为扩交换超rpp半群时，则每个都是消去幺半群上的Rees矩阵半群，再据( [1] , Theorem4.9,Corollary5.2)，为完全-单半群(completely -simple semigroup)，从而为完全-单半群的半格。这样，下面的问题就很自然。

问题2.7 是否每个扩交换超rpp半群都是超富足半群？

基金项目

国家自然科学基金(11361027)，江西省研究生创新基金(YC2014-S160)和江西省教育厅科研基金资助项目。

文章引用

叶火平,郭俊颖,郭小江. 超Rpp半群的核心
Cores of Super Rpp Semigroups[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 172-176. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63026

参考文献 (References)