Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 152-155 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23024 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) Local E-Automorphisms on Effect Algebras Haiyan Zhang, Xiaohui Wang Department of Mathematics and Statistics, Chifeng College, Chifeng Email: haiyanhaozhongguo@163.com Received: Apr. 29th, 2012; revised: May 17th, 2012; accepted: May 28th, 2012 Abstract: In this paper, it is proved that each surjectiv e two local E-automorphism on effect algebras EH of Hilbert space H which dimension is equ al to or more th an three is E-automorphism and each surjective and linear two local E-automorphism on real space S BH is not only a Jordan automorphism but also has the form * A UAU , where U is unitary or anti-unitary operator. Keywords: Two-Local E-Automorphism; E-Automorphism; Jordan Automorphism; Effect Algebra 效应代数的局部 E-自同构 张海燕,王晓慧 赤峰学院数学与统计学院,赤峰 Email: haiyanhaozhongguo@163.com 收稿日期:2012 年4月29 日;修回日期:2012 年5月17 日;录用日期:2012 年5月28 日 摘 要:本文证明了维数大于等于 3的可分 Hilbert 空间 H的效应代数 EH上的每个满的 2-局部 E- 自同构是 E-自同构以及 Jordan 代数上线性满的 2-局部 E-自同构是Jordan 自同构,并且都具有 S BH * A UAU 的形式,其中U是酉算子或反酉算子。 关键词:2-局部 E-自同构;E-自同构;Jordan 自同构;效应代数 1. 引言 效应代数是算子代数中的重要 研究 对象之一 ,它 与量子力 学联 系非常密 切。 我们不仅 可以 通过量子 力学的 一些性质得出与之相对应的数学结果,也可以通过数学中的一些结论来反映某些物理特性[1,2]。自从 M. Planck 于1900年首先提出了量子的概念以来,经过众多物理学家的不断努力,量子力学一出现就成为科学不可缺少的 部分。并有无数成功的例子, 包括原 子结构 、恒星 核聚变 、自然 界基本 粒子等 几乎所 有方面 。量子 力学是 一个 数学框架或一套构造物理学理论的规则。由于量子力学中的随机事件不能用 Kolmogorovian 概率论中随机事件 的结构来描述、因此对量子力 学的系 统中随 机事件 的数学 描述就 成了量 子理论 研究的 重要问 题之一 ,基于 上述 原因,以杰出数学家Birkhoff 和Von Neumann为代表众多学者提出了不同模型来反映量子力学的各个方面。 Hillbert 空间是量子力学的一个基本数学模型。Hillbert 空间中量子效应表示H上所有大于等于0小于等于I的 有界线性算子,所有这样的元叫做效应元,用 EH表示,也称 EH为H上的效应代数。效应的概念在量子 力学中起着重要作用。 量子力学中重要内容之一就是 量子 测量的研 究, 同时量子 测量 也是量子 力学 的一个基 础。 在量子测 量理论 中,一个结果完全正确的测量称为精确测量。但是在实际测量中不可能得到精确测量,获得的都是非精确测量。 Copyright © 2012 Hanspub 152 张海燕, 王晓慧 效应代数的局部 E-自同构 以Hillbert 空间为模型,一个精确测量就是一个投影算子测量,相应的投影算子就称为精确效应,一个非精确测 量就是一个正算子测量, EH就是正算子测量的值域。在对正算子测量的研究中,1994 年美国数学家 Foulis 和Bennentt引入了效应代数的概念来作为量子计算,量子测量的数学模型。从而引起了很多数学家和物理学家 的极大兴趣。对效应代数做了大量的工作和研究,与效应代数相关的一系列概念和方法如 D-集、D-集的张量积、 理想、虑子、商效应代数、拟 效应代 数、效 应代数 的群表 示等都 得到了 极大的 发展。 在量子 测量, 量子计 算等 方面,效应代数发挥了重要的作用。 在效应代数研究中,很重要一部分就是对在 Hillbert 空间 H上的效应代数 EH的研究。 EH上我们可以 定义不同的运算,从而可以得到相应的各种映射。所以对于效应代数 EH上的同构以及局部同构是一类重要 问题。近年来 Lajos Molnár通过保持 上效应元的偏序、共存性零乘积、以及保持 上的各种运算, 如凸组合运算,非结合运算等性质刻画了 EH EH 上的同构及序列自同构的问题。同时他在量子系统的局部自同 构方面做了许多工作,他在[3]中证明 中所有幂等元组成的集 E 了 BH H 合 H上的连续 2-局部自同构是自同SP 构。 在每 局部映射问题主要是算子代数间的映射 一点的局部性质(如局部导子,局部自同构,局部等距等)能否决 定该映射的某种整体性质。所以效应代数 EH上的局部同构研究在量子力学中固然起着重要作用。局部映射 问题最早是由Kadison Larson和Sourour 等人在 1990年独立开始研究的。为研究 vonNeumann代数的上同调问 题,Kadison 在[4]中提出了局部导子的概念。随后 Semrl在了 2-局部导子和2-局部自同构的 念。设[5]中引入 概 M为算子集合, 为M到M的映射,如果对于任意 ,ab M ,总存在一个 -自同构(导子),ab ,使得 ,ab aa ,ab bb ,则称 为2-局部 -自同构(了对于可分限 Hilbert空间导子)。他证明无H, BH上 的每 2- 积 代数 个2-局部自同构(导子)是自同构(导子)。 局部自同构它可以在不同的集合和结构上定义,而不是仅仅在代数上。受其启发,我们研究了效应代数 EH上不同于序列运算的另外一种运算,即 2-局部 E-自同构问题,以及Jordan S BH上的 2-局部 E- 自同构,证明了 EH上的每个满的 2- 构是 E-自同构以及 Jordan 代数局部 E-自同 S BH上线性满的 2-局部 E- 自同构是 Jordan 自同构,并且都具有 * A UAU 的形式,其中U是酉算子或反酉算子。 在Hillb 间H中,示 H上所有大于等于 0小于等于 I的有界线性算子,所有这样的元叫ert 空量子效应表 做 效应元,用 EH表示。 PH表示H上所有投影。本文假设可分 Hilbert空间 H的维数是大于等于3的。 2. 2-局部 同构的定义及相关结果 定义 1.1[面给 上 设 E-自 6] 下 出 EH,的E-自同构的定义。 EA M EH ,设 EA ,EF M :为 M M或的映射。 对于任意如果, 若 ,则当且仅 1) 当 EFM , EFM 2) EF F ,E 则称 为 同构。 义1.2 设 E-自 定 M EH,或 S M BH。 设 : M M的映射,对任意 , A BM,使得 ,AB A A , ,AB BB ,都存在 M的一个E-自同构 ,AB 。 我们称 为2-局部 E-自同构。 设是满的 2-局部E-自同构,则 :EH EH 定理 1.3 为E-自同构。 先可证 证明: 1) 首 为单 如果 射。 A B , 在 EH 的一 -自 ,使得 ,AB A A ,。所以 ,AB BB 则存 个E同构,AB ,AB,AB A B ,因为 AB为单射,所以 A B 。 , 2) 为 保序的。 双边 Copyright © 2012 Hanspub 153 张海燕, 王晓慧 效应代数的局部 E-自同构 ,只需证明 A B 。因为 ,AB A A , ,AB BB A B,又 ,AB 如果 是双边保序的, ,,AB AB A B ,即 A B之 。反 ,如果 A B ,则由 ,AB A A ,,可得 ,AB BB ,AB A B。 ,AB A B ,进而可得 是保正交补的,对任意 , A AEH , A AI ,则存在 EH 3) 的一个 E-自同构,AA 使得 ,, ,,AA AAAAAA A AAAAAII 。所以 A IA 。综上可知 是双边保序保 正交,所补射 以的双 为正交序 意 自同构。由 Ludwig 的结论[7]可知,反酉 U对任存在 H酉算子或上的算子 ,使得 EH有 成立。 A ,* A UAU 4) 下 为E-自同构。 证 如果 A BEH ,则 A BUUBUA B ,所以 UABUUA A BE H 。 反之,如果 A B EH ,则 , A BE H ,又因为 为满射,所以分别 H,使存得在 ,CD E A C, BD 。因为 为单射,所以, A CB D 。又 CUCU , DU,因此 D U UC D。进而可得C D UCU U DUCD U A BCDEH,且 A BA B ,综上 为E-自同构。 引理 1.4 设 是实线性映射,且 :SS BHBH 为满的 2-局部 E-自同构,则 | E H 为满的 2-局部E-自 同构。 证明: S,0 A B个E-自同构 H AI ,则存在 的一 S BH ,AI ,使得 ,AI A A ,AI I I 。又,AI 是保序的,所以 ,,I AIA A AIII ,同理可证 0A 。反之,如果 0 A I ,则可得 0 A I。综上可 得 | E H 为满的 2-局部E-自同构。 定理 1.5 设 :SS B H 是实线性映 ,且 H B射 为满的 2-局部 E-自同构,则存在 H上的酉算子或反酉 算子 U,使得对任意 S A BH * ,有 A UAU 成立。 证明:由可知,引理 1.4 | E H 为满 E-自同构,又由定理 1.3 证明可知,存在酉算子或反酉算子 U, 使得 的2-局部 * A UAU A EH 对任意 ,有成立。 如果 S A BH,,则且 0A0 A AI。所 以 * A AUA为AU ,因 为实线性的,所以 * 1 A A,UAAU 即 * A UAU 0A ,综上对任意 , * A UAU 。又对任意 S A BH, A AA , A 都是正的。 * A UA U, * A UA U 。且 和 A 为实线性的,所以有 ** ** A AUAUUAU UA AU UAU 综上结论 立。 A A A 成 推论 1.6 设 :SS BH BH 是实线性映射,且 为满的 2-局部 E-自同 构,则为 Jo 证明:由定 rdan 自同构。 理1.5知, 为或反酉算子双射,且存在酉算子 ,使得对任意 S A BH,有 * A UAU 成立。 因为对任意 ,S A BBH,有 2S A BBA BH ,所以有 ** * ** ** 2222 2212 AB BAUAB BAUUABUUBAU UAU UBUUBUUAUABBA 综上可得 为Jorda 推论 1.7 设 n自同构。 :EH EH是满的 2-局部 E-自同构,则 为E-自同构,则 可以延拓到 :BH BH 的*-自同构或*-反自同构。 证明:由定理1.3 知, 是E-自同构。由[6 ]中性质 2.8.3 知, 可以延拓到 :BH BH 上的 Jordan 自同构, ein在知,由 Herst [1]中 结论可的 是*-自同构或*-反自同构,且存在H U,使得 对任意 上的酉算子或反酉算子 A BH,有 * A UAU 成立。 参考文献 (References) [1] P. Busch, M. Grabowski and P. J. Lahti. Operational quantum physics. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1995. Copyright © 2012 Hanspub 154 张海燕, 王晓慧 效应代数的局部 E-自同构 Copyright © 2012 Hanspub 155 nal of Mathematical Physics, 2001, 58(2): 91-100. effects. Acta Mathematica Scientia, 2003, 69(2-3): 755-772. ] G. Ludwig. Fundation of quantum mechanics. Berlin: Springer Verlag, 1983. [2] K. Kraus. State, effects and operations. Lecture Notes in Physics, Vol. 190. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1983. [3] L. Molnár. Local automorphisms of some quantum mechanical structures. Jour [4] R. V. Kadison. Local derivations. Journal of Algebra, 1990, 130(2): 494-509. [5] P. Semrl. Local automorphisms and derivations on B(H). Proceedings of the American Mathematical Society, 1997, 125(9): 183-193. [6] L. Molnár. Sequential isomorphismsbetween the sets of Von Neumann algebra [7 |