Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 14-17 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31004 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) On Homotopy Regular Morphism in the Category of Topological Pairs* Youhua Qian#, Lin Ping, Shengmin Chen College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua Email: #zjjhqyh@yahoo.com Received: Oct. 19th, 2012; revised: Oct. 29th, 2012; accepted: Nov. 13th, 2012 Abstract: In this paper, the concepts of homotopy monomorphism (epimorphism) and homotopy regular morphism in the category of topological space with base point TOP are generalized to the category of topological pairs . The paper studies the conditions and properties of homotopy regular morphism and the relationships between homotopy monomorphism (epimorphism) and homotopy equivalent morphism in . A TOP A TOP Keywords: The Category of Topological Pairs; Homotopy Monomorphism (Epimorphism); Homotopy Regular Morphism; Standard Decomposition 拓扑空间偶范畴中的同伦正则态射* 钱有华#,平 麟,陈胜敏 浙江师范大学数理与信息工程学院,金华 Email: #zjjhqyh@yahoo.com 收稿日期:2012 年10月19 日;修回日期:2012 年10 月29 日;录用日期:2012年11 月13 日 摘 要:本文将点标拓扑空间范畴 TOP 中的同伦单、同伦满和同伦正则态射等概念推广到拓扑空间 偶范畴的情形。研究了在 中,同伦正则态射存在的条件、性质以及它与同伦单(满)态和 同伦等价之间的关系。 A TOP A TOP 关键词:拓扑空间偶范畴;同伦单(满)态射;同伦正则态射;标准分解 1. 引言 同伦单态[1-4]、同伦满态[5-7]和同伦正则态射[8-12]是同伦论中的重要概念。拓扑空间偶范畴 中的对象是 拓扑空间偶 A TOP , X A,这里 A 是拓扑空间 X 的子空间。在范畴 中,从 A TOP , X A到的态射集,记作 ,YB Map,; , X AY B,从 , X A到 的态射 ,YB :, , f XA YB是指 : f XY连续且 f AB 。 2. 拓扑空间偶范畴中的同伦单(满)、同伦正则态射 以下总假设 X 是道路连通的CW 复形。 定义 1( 中的同伦单态射) 中的态射 A TOP A TOP :, , f XA YB称为同伦单态射,如果左消去律成立,即 *基金项目:国家自然科学基金资助项目(11202189)和浙江省自然科学基金资助项目(LY12A02002)。 #通讯作者。 Copyright © 2013 Hanspub 14 钱有华 等 拓扑空间偶范畴中的同伦正则态射 ,Map,;, g hZCX A ,只要 f gfh成立,就有 g h。 对偶地,我们给出 中同伦满态射的定义。 A TOP 定义 2( 中的同伦满态射) 中的态射 A TOP A PTO :, , f XA YB称为同伦满态射,如果右消去律成立,即 ,Map,;, g hYBZ C g fhf g h。 ,只要 成立,就有 定义 3( 中的同伦正则态射) 中的态射 A TOP :, , f XA YB称为同伦正则态射,如果存在 A TOP :, , g YB XA的一个同伦 1-逆,把 f 的所有同伦 -逆记作1 1 f 。 使得 f gf f ,这时 g 称为 f 1f f 注:1) 显然 当且仅当 为同伦正则态射;2) 若 0 A x, 0 By,则 中的同伦正则态射 即为TO 中的同伦正则态射。 A TOP P A TOP定义 4( 中态射的标准分解) 设 :, , f YB为中的态射,如果存在 A TOP , Z C和同伦满态射XA 使得 21 f ff,则称 f 有标准分解,记作 12 ,, , f ZC f 。 1:, , f XA ZC和同伦单态射 , 2 f :,ZC YB 2 , 称 f 的标准分解 1 ,, f ZC f 为基本唯一是指,假如还存在 f 的另一组标准分解 1 ,, , 2 f ZC f ,则 有 同 伦等价 : Z Z 使得 11 f f ,22 f f。 根据上述定义,我们很容易得到下一定理。 定理 1若 f f 也是同伦正则态射。 为同伦等价,则 为同伦等价,即存在态射 :, , g YB A f 使得 , ,则 , 1YB fg , 1XA gfX 证明:若 , 1XA f gf f f,即 f 为同伦正则态射。 因为同胚映射一定是同伦等价,故有下面的推论。 推论 1若 f f 为同伦正则态射。 为同胚映射,则 注:定理 1说明在拓扑空间偶范畴中,同伦正则态射弱于同伦等价,也弱于同胚映射。 定理 2[13] 对于 :, , f XA YB,若 : X f XY和: A f AB都是同伦等价,则对任何整数 ,相对同 调函子的诱导同态 n n , n :, f HXA H YB均为同构。 例1 考虑包含映射 \0 , nn fV RR ,其中是 维闭球体, n V n 1n S 是 维球面。显然1nn V f和 1 :, nn S 1n S f都是同伦等价,但 f 不是同伦等价(证明详见文[13])。 由例 1,我们得到下面的推论。 , 推论 2 存在映射:, f XA YB,使得 : X f XY 和: A f AB均同伦等价,但 :, , f XA YB不 是同伦正则态射。 证明:考虑 , ,,XA V 1nn S \ nn R,,YB R0。 1 :, ,\0 nn nn fVS RR 为包含映射,则 n V f和 1n S f都是同伦等价,并且对任意 1 , n S :,\ nn gRR V0n,有 1nn g fV S ,于是 0gf 。但是 与整数加群 同构,可知,于是 1 , nn n HVS 0f f gf f 。故 :, , f XA YB不是同伦正则态射。 注:推论 2说明同伦等价在限制的意义下无法保证同伦正则性。 3. 主要定理及其证明 定理 3 设 ,:, f XA YBTO为 中的态射,则下列条件彼此等价: A P 1) f 是同伦正则态射; 2) f 有同伦右单位, f 有左逆元,即存在 ,:, g XA XA和 :, ,hYB XA使得 , f gfhfg; ,YB 和 :, ,YB XA 使得 ,fff 。 3) f 有同伦左单位, f 有右逆元,即存在:,YB 证明:我们仅证 1)2),类似地,我们可以证明 1)3)。 1)2) 设 ,:, f XAYB是同伦正则态射,则存在 :, ,YB XA 使得 f ff 。我们令 ,:, g fX A XA, :, ,hYBXA ,这表明, f 有同伦右单位 g , f 有左逆元 ; h 2)1) 若 f 有同伦右单位,及其左逆元,即存在态射 :, , g XA XA和,使得 :, ,hYB XA Copyright © 2013 Hanspub 15 钱有华 等 拓扑空间偶范畴中的同伦正则态射 f gf , ,则hfg f fg fhf,因此 f 是一个同伦正则态射。 定理4 设 ,:, f XA YBA TOP在 中具有标准分解 1 ,, , 2 f ZC f ,那么下列条件两两等价: 1) 为同伦正则态射; f 2) 存在态射 , g :,YBXA,使得 12 , 1 Z C fgf ; , A A, 和 ,,BB :,iAA ,XA :, ,YB BB ,使得 1 f i和2 π f 均为同伦等价; 3) 存在 π 1 f 2 f 同伦左可逆。 4) 同伦右可逆, 为同伦正则态射,则有 :, , g f YB 证明:1)2) 若XA,使 得 f gf f 。因为 :, , f XA YB为 中具有标准分解 A TOP 12 ,, , f ZC f 的态射,所以 2121 21 f fgf f f f,由于 2 f 同伦单, 1 f 同伦满,左消 去2 f 1 f 12 , 1 Z C fgf :, , ; ,右消去 ,得到 2)3) 若存在态射 g YB XA使得 , 1。取 ,, A AZC , , ,,BB ZC 2 igf , 12 Z C fgf 2, 1 1 π f g,则有 11 Z C gffif , 21 2 1 , Z C ffgf。从而1 f iπ和2 f 均为同伦等价; π 3)4) 设有 , A A, 及,BB ,A:,A iA ,X π:,,YB BB 使得 1 f i和2 π f 均为同伦等价,并设其 同伦逆分别为 和。则由 1 h2 h 111 , 1ZC f ih 1 f ih1 可知 f 同伦右可逆,而由 可知 , 1ZC 22 hf 22 f2 ππh同伦左可逆; f 同伦左可逆,则存在 :, , 1 f 2 f ZC XA使得 11 , 1 Z C fg ,存在 1 g 4)1) 同伦右可逆, 2:, , g YB ZC 22 , 1 Z C gf g ,使得。取 1 g2 g,则有 122112 21 f gffggfffggff 21 f ff,即 f gf f f 为同伦正则态射。 ,故 定理5 设 ,:, f XA YBA TOP为 中的态射,则 f 同伦正则态射且为同伦单态射当且仅当 f 为同伦左可逆; 1) f 同伦正则态射且为同伦满态射当且仅当 f 为同伦右可逆; 2) f f 既为同伦单态射又为同伦满态射当且仅当 为同伦等价。 f3) 同伦正则态射且 :, ,证明:1) 若 为同伦正则态射,则有f g YB XA,使得 f gf f ,又因为 f 为同伦单态射,所 以满足左消去律。因此由 f gf f 可得 ,即 ,XA 1gf f 为同伦左可逆;反之,当 f 为同伦左可逆时,即 存在态射 :, , g YBXA , 1XA gf f ,使得 ,所以 gf f,即 f 是是同伦正则态射。同时, ,A Z CTOP 及 XA , 11 XA , g , , fg f gfh ,: g hZC XA ,若 ,则g h ghgfh ,因此 f 也是同 伦单态射; ,:, g YB 2) 若 f 为同伦正则态射,则有 XA,使得 f gf f ,又因为 f 为同伦满态射,所以满足 右消去律。因此由 f gf f , 1fg 可得,即 为同伦右可逆;反之,当 YB f f 为同伦右可逆时,即存在态 射 , :, g YB XA,使得 ,所以 , 1YB fg f gf f,即 f 同伦正则态射。同时, ,A Z CTOP及 , ,: , g hZC XA,若 g fhf,则 ,YB 11 YB , g fg gghhhfg ,因此 f 也是同伦 满态射; 3) 若 f 同伦正则态射且 f 既为同伦单态射又为同伦满态射,则由1)和2)可知, f 为同伦左可逆并且也是同 伦右可逆,所以 f f 是同伦等价。反之,若 为同伦等价,则由定义可得 既是同伦单、同伦满态射也是同伦正 则态射。 f 注:定理5给出了同伦正则态射、同伦单(满)态射与同伦左(右)可逆的关系,也告诉我们这样一个事实:虽 然由 f f 为同伦单态射和同伦满态射不能保证是同伦等价,但再加上同伦正则性条件,就可以构成 f 为同伦等 价的一个充要条件。 同胚一定是同伦等价。一个态射既是单态射又是满态射,但是它不一定是同伦等价。为了保证同伦等价, 我们找到了一个充分条件,即该态射还是同伦正则的。 下面给出 中的一个等价关系。 A TOP Copyright © 2013 Hanspub 16 钱有华 等 拓扑空间偶范畴中的同伦正则态射 Copyright © 2013 Hanspub 17 定义5 设 ,: ,, f gXA YB都是同伦正则态射,则~ f g当且仅当存在同伦等价 使得 :, ,uXA XA f ug 或 g uf。 定理6 定义5中给出的关系“~”是 ,;, X AY B 上的一个等价关系。 证明:1) 自反性:取 , 1XA u ,即得 ~ f f。 2) 对称性:若 ~ f g,则存在同伦等价 :, ,uXA XA,有 f ug 或者 g uf ,于是 ~ g f; 3) 传递性:若 ~ f g,~ g h,则存在同伦等价 :, ,uXA XA使得 f ug 或者 g uf,且存在同 伦等价 使得 :,vXA ,XA g vh或者 。 hvg 下面分分四种情形考虑: 情形1 若存在同伦等价 :, ,uXA XA使得 f ug ,且存在同伦等价 :, ,vXAXA使得 g vh,则 f uvf u vgv h,其中 ,uv XA:,XA是同伦等价,这表明 ~ f h; 情形2 若存在同伦等价 :, ,uXA XA使得 f ug ,且存在同伦等价 使得 ,则 :, ,vXAXA 1 hv g 1 1 f uv f u vgvh ,其中 :, ,XA XA 1 uv 是同伦等价,这表明 ~ f h; 情形3 若存在同伦等价 :, ,uXA XA使得 g uf,且存在同伦等价 使得 :, ,vXAXA g vh,则 11 f uv f u vgvh ,其中 ,XA 1:,uv XA 是同伦等价,这表明~ f h; 情形 4 若存在同伦等价 使得 :, ,uXA XA g uf,且存在同伦等价 :, ,vXA XA使得 ,则hvg 11 1 11 1 f vu h fuvf u v gv ,其中 是同伦等价, 这表明 vu 1:,,XA XA ~ f h。证完。 参考文献 (References) [1] S. 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