设G是一个有限群,H是G的一个阿贝尔Hall π-子群,则存在 g ∈G,使得Oπ= H ∩ Hg。本文推广了Brodkey的结果。另外讨论了具有阿贝尔Hall π-子群的 π-可分群的性质。 Let G be a finite group and H an abelian Hall π-subgroup of G. Then g ∈G, there exists Oπ= H ∩ Hg such that . It generalizes Brodkey’s result. In addition, the properties of π-separable groups with Abelian Hall π-subgroup are discussed.
徐涛
河北工程大学理学院,河北 邯郸
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收稿日期:2015年8月10日;录用日期:2015年8月28日;发布日期:2015年9月1日
设G是一个有限群,H是G的一个阿贝尔Hall p-子群,则存在,使得。本文推广了Brodkey的结果。另外讨论了具有阿贝尔Hall p-子群的p-可分群的性质。
关键词 :Sylow p-子群,Hall p-子群,p-可分群
本文采用的符号和术语都是标准的,按照文[
Brodkey在文[
命题1:设
设
定理1:设
为了完成定理1的证明,我们需要下面的引理。
引理1:设有限群
证明:任取
进而
根据文[
定理1的证明:因为
推论1:设有限群
证明:设
由推论1可以自然地得到下面的推论2。
推论2:设有限群
注意到
推论3:设有限群
推论4:设
证明:设
因此
从而
进而
推论5:设
证明:由推论4知
推论6:设
证明:由定理1知存在某个
因此
注记:在推论6的条件下,根据推论4我们可以得到
下面是具有阿贝尔Hall p-子群的p-可分群的两个定理。首先给出定理中涉及到的符号和需要的引理。
对任意的有限群
引理2 [
定理2:设
证明:由定义知道
从而
定理3:设
证明:断言
再由引理2知
又
设
所以
注意到有限可解群是p-可分群,下面的推论是显然的。
推论7:设
国家自然科学基金(11371124),河北省自然科学基金(F2015402033)和河北工程大学博士基金资助项目。
徐 涛. 关于阿贝尔Hall π-子群On Abelian Hall π-Subgroups[J]. 理论数学, 2015, 05(05): 167-170. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.55025