本文引入了n维单形外心线的概念,并应用它建立了几个与n维单形外接球半径有关的不等式。 n-Dimensional Simplex, Circumcentre Line, Circumscribed Sphere Radius.
章乐,王卫东
三峡大学理学院数学系,湖北 宜昌
收稿日期:2015年11月25日;录用日期:2016年1月21日;发布日期:2016年1月28日
本文引入了n维单形外心线的概念,并应用它建立了几个与n维单形外接球半径有关的不等式。
关键词 :n维单形,外心线,外接球半径
最近,文[
定理A ( [
若
若
定理B ( [
等号成立当且仅当DABC为正三角形。
定理C ( [
等号成立当且仅当DABC为正三角形。
关于三角形中与外心线相关的几何不等式研究,还可以参见文 [
在文 [
定义1. 设
在n维单形
定理1. 在n维单形
若
定理2. 在n维单形
等号成立当且仅当
定理3. 在n维单形
等号成立当且仅当在
下面我们给出上述定理1~3的证明。
引理1 (Holder不等式[
等号成立当且仅当
定理1的证明. 由于外接球的球心O在n维单形
于是令
因而可得
即
因此,利用(7)和Holder不等式(5)知:当
由此可得不等式(2)。
同理,当
显然,由(7)知,当
定理2的证明. 当
且根据Holder不等式取等号的条件知,(9)中等号成立当且仅当诸外心线长
又由Holde不等式(5)有
由此利用(7)可得
且等号成立当且仅当诸外心线长
于是由(9)和(10)知
即有
此即为不等式(3)。根据不等式(9)和(10)中取等号的条件知:不等式(3)中等号成立当且仅当诸外心线长
当
由此仍然得到不等式(3)。定理2证毕。
定理3的证明. 由(6)知:
又
等号成立当且仅当诸
于是知
由此结合
因此即得不等式(4)。
由不等式(12)取等号的条件知,不等式(4)中等号成立当且仅当诸
利用Holder不等式(5)和不等式(4),易知
根据Holder不等式(5)取等号的条件知,上述不等式中等号成立当且仅当诸
推论1. 在n维单形
等号成立当且仅当n维单形
国家自然科学基金项目(11371224);三峡大学“求索”大学生创新活动计划重点项目。
章 乐,王卫东. n维单形中与外心线相关的几个不等式Several Inequalities Related to Circumcentre Lines for n-Dimensional Simplexes[J]. 理论数学, 2016, 06(01): 37-41. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.61006