在分析Markowitz证券组合投资模型最优化解法的基础上,给出了求解不允许卖空证券组合投资模型的原始–对偶多项式内点算法;不同于传统牛顿法的迭代方向,借助一种新的工具寻找搜索方向,并且该算法具有多项式复杂性;用我们给出的算法对不允许卖空证券组合投资模型的实例进行计算求解,数值结果显示该算法是可行有效的。 Based on the optimal approach of Markowitz portfolio investment model, the algorithm of primal- dual polynomial interior point method to the above model was given. We applied this algorithm to solve an example of portfolio investment without short sale. Numerical implementation showed this method was practicable and effective.
田振明,宋馨雨
广州中医药大学经济与管理学院,广东 广州
收稿日期:2016年2月4日;录用日期:2016年2月21日;发布日期:2016年2月24日
在分析Markowitz证券组合投资模型最优化解法的基础上,给出了求解不允许卖空证券组合投资模型的原始–对偶多项式内点算法;不同于传统牛顿法的迭代方向,借助一种新的工具寻找搜索方向,并且该算法具有多项式复杂性;用我们给出的算法对不允许卖空证券组合投资模型的实例进行计算求解,数值结果显示该算法是可行有效的。
关键词 :证券组合,二次规划,内点算法
在证券组合理论研究和管理实践中,Markowitz证券组合投资模型理论[
Markowitz理论的基本思想在于把证券投资的收益率看作随机变量,于是该收益率的期望值就是该证券的期望收益,其标准差则可看作证券投资风险的一种度量。证券组合的收益率可表示为组合中所包含的证券的收益率的仿射组合,于是证券组合的期望收益等于其包含的各种证券的期望收益的仿射组合。其投资风险就是该仿射组合的收益率的标准差。对仿射组合的系数解最优化问题:对固定的期望收益,使其方差最小,或对固定的方差,使期望收益最大,就形成Markowitz理论的基本问题。基本问题的解称之为极小风险组合,也称为前沿组合。前沿组合的全体或其在风险和收益坐标平面上对应的点集称为组合前沿。在风险–收益坐标平面上,以“收益大,风险小”作为半序。那么所有组合的风险和收益对该半序来说的极大元全体就形成这一证券组合选择问题的有效前沿。有效前沿中的点所对应的组合则称为证券集的有效组合,确定证券投资组合的有效组合对投资者显然是十分重要的。
本文是在分析Markowitz证券组合选择模型最优化解法的基础上,给出了求解不允许卖空证券组合投资模型的原始–对偶多项式内点算法;不同于传统牛顿法的迭代方向,借助于一种新的工具找到搜索方向,并且该算法具有多项式复杂性;用我们给出的算法对不允许卖空证券组合投资模型的实例进行计算求解,数值计算结果显示该算法是可行有效的。
假设投资者选择市场上
经典假设:1) 投资者事先知道证券收益率的概率分布;2) 投资风险用证券组合收益率的方差来标识;3) 影响投资决策的主要因素为证券组合的期望收益率和风险两项;4) 投资者遵守占优原则:同一风险水平下,选择收益率较高的证券组合;同一收益水平下,选择风险较低的证券组合。不允许卖空的Markowitz证券组合投资问题可叙述为如何确定
若协方差矩阵
引理(K-K-T条件) [
其中
特别地,当
不允许卖空证券组合投资模型(1)是一种特殊的非线性规划问题,解决该二次规划问题最初的方法是Wolf算法,可看成是求解线性规划问题单纯型算法的一种推广,但是算法的复杂性是成指数次的。Kozlov M K等 [
在不允许卖空证券组合投资模型(1)中,令
由引理可知,(QP)的对偶规划问题(QD)为
其中协方差矩阵
利用内点法求解(QP)和(QD)的最优解,等价于求解下列参数问题
其中
如果内点条件(IPC)成立,那么对任取
应用牛顿法确定牛顿搜索方向
作如下投影变换
于是方程(4)转化为
其中
当引入一个函数
由于内点法解线性规划与二次规划问题具有良好的多项式复杂度与稳定性[
考虑6种证券的Markowitz’s证券组合投资模型(文献 [
6种证券的期望收益率向量为
预期的证券组合收益率为
取
0 | (1.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00) | 1.0500e−01 |
1 | (1.0000e+00 6.0046e−16 6.0046e−16 6.0046e−16 6.0046e−16 6.0046e−16) | 1.0500e−01 |
2 | (1.0000e+00 3.0023e−15 3.0023e−15 3.0023e−15 3.0023e−15 1.1198e−14) | 1.0500e−01 |
3 | (1.0000e+00 7.0054e−15 7.0054e−15 7.0054e−15 1.3222e−14 2.3397e−14) | 1.0500e−01 |
4 | (1.0000e+00 7.9272e−14 2.1593e−13 1.1452e−13 5.8835e−14 2.3397e−20) | 1.0500e−01 |
5 | (1.0000e+00 1.7489e−13 4.4887e−13 2.4580e−13 1.0940e−13 3.3580e−14) | 1.0500e−01 |
6 | (1.0000e+00 1.6250e−13 4.4887e−19 1.7075e−13 1.2255e−13 4.9114e−13) | 1.0500e−01 |
7 | (1.0000e+00 3.5041e−12 6.7834e−12 4.3199e−12 2.3568e−12 3.6788e−12) | 1.0500e−01 |
8 | (1.0000e+00 7.4516e−12 1.4114e−11 9.1560e−12 5.0509e−12 8.1433e−12) | 1.0500e−01 |
9 | (1.0000e+00 1.4109e−11 1.4114e−17 1.4257e−11 1.0789e−11 4.4152e−11) | 1.0500e−01 |
10 | (1.0000e+00 5.9571e−11 4.5956e−11 6.5662e−11 4.3258e−11 1.3668e−10) | 1.0500e−01 |
11 | (1.0000e+00 7.8772e−10 2.1894e−09 1.0588e−09 4.9656e−10 9.4548e−11) | 1.0500e−01 |
12 | (1.0000e+00 1.6541e−09 4.4533e−09 2.2059e−09 1.0488e−09 3.5461e−10) | 1.0500e−01 |
13 | (1.0000e+00 1.5509e−09 4.4533e−15 1.5625e−09 1.1819e−09 4.8561e−09) | 1.0500e−01 |
14 | (1.0000e+00 3.4634e−08 6.6770e−08 4.2995e−08 2.3230e−08 3.6093e−08) | 1.0500e−01 |
15 | (1.0000e+00 7.3610e−08 1.3894e−07 9.1021e−08 4.9534e−08 7.9928e−08) | 1.0500e−01 |
16 | (1.0000e+00 1.3828e−07 1.3894e−13 1.3934e−07 1.0545e−07 4.3294e−07) | 1.0500e−01 |
17 | (1.0000e+00 5.8994e−07 4.5897e−07 6.5011e−07 4.2800e−07 1.3498e−06) | 1.0500e−01 |
18 | (9.9995e−01 7.7768e−06 2.1536e−05 1.0447e−05 4.9052e−06 1.0152e−06) | 1.0499e−01 |
19 | (9.9990e−01 1.6331e−05 4.3811e−05 2.1768e−05 1.0377e−05 3.6654e−06) | 1.0497e−01 |
20 | (9.9991e−01 1.5373e−05 4.3811e−11 1.5488e−05 1.1731e−05 4.8135e−05) | 1.0466e−01 |
21 | (9.9797e−01 3.4438e−04 6.6224e−04 4.2734e−04 2.3111e−04 3.6074e−04) | 1.0427e−01 |
22 | (9.9568e−01 7.3055e−04 1.3756e−03 9.0320e−04 5.1130e−04 7.9709e−04) | 1.0252e−01 |
23 | (9.9178e−01 1.3885e−03 1.3756e−09 1.3981e−03 1.0833e−03 4.3530e−03) | 9.6834e−02 |
24 | (9.6667e−01 5.6507e−03 4.2952e−03 6.2206e−03 4.1374e−03 1.3025e−02) | 6.9895e−02 |
25 | (6.5027e−01 5.8771e−02 1.6060e−01 8.1858e−02 3.7719e−02 1.0776e−02) | 4.2488e−02 |
26 | (2.6267e−01 9.5261e−02 2.4709e−01 1.3668e−01 2.2587e−01 3.2423e−02) | 5.5814e−03 |
27 | (2.7374e−01 9.5590e−02 2.4709e−07 2.1050e−02 2.6302e−01 3.4660e−01) | 8.5576e−03 |
28 | (1.5463e−01 1.5045e−01 1.6823e−01 1.6639e−01 1.7206e−01 1.8824e−01) | 2.1130e−03 |
29 | (1.0906e−01 8.5352e−02 8.3483e−02 4.1329e−01 2.5383e−01 5.4997e−02) | 3.2099e−03 |
30 | (1.3066e−01 1.1315e−01 1.3669e−01 2.9589e−01 1.9766e−01 1.2597e−01) | 1.9941e−03 |
31 | (1.1865e−01 8.3414e−02 8.4267e−02 2.6908e−01 2.6692e−01 1.7766e−01) | 1.9313e−03 |
32 | (1.1148e−01 5.7987e−02 1.1195e−01 2.6627e−01 2.6455e−01 1.8777e−01) | (1.8225e−03 |
33 | (9.6383e−02 5.0463e−02 1.0170e−01 2.2584e−01 2.9756e−01 2.2806e−01) | 1.7151e−03 |
34 | (7.5932e−02 1.7292e−02 1.2664e−01 2.1682e−01 3.2566e−01 2.3765e−01) | 1.6944e−03 |
35 | (6.5994e−02 2.0439e−03 1.3400e−01 2.0172e−01 3.4424e−01 2.5200e−01) | 1.6731e−03 |
36 | (6.5555e−02 1.3254e−03 1.3385e−01 1.9949e−01 3.4567e−01 2.5411e−01) | 1.6711e−03 |
37 | (6.5171e−02 1.9149e−04 1.3469e−01 1.9958e−01 3.4633e−01 2.5404e−01) | 1.6689e−03 |
38 | (6.5126e−02 1.2591e−04 1.3467e−01 1.9935e−01 3.4647e−01 2.5425e−01) | 1.6687e−03 |
39 | (6.5090e−02 1.7904e−05 1.3475e−01 1.9936e−01 3.4653e−01 2.5425e−01) | 1.6685e−03 |
表1. 原始–对偶问题多项式内点算法的寻优过程
从文献 [
计算方法的设计思路,计算结果可行有效。在求解过程中,若给出的初始点
本文给出了计算不允许卖空证券组合投资模型的原始–对偶多项式内点算法,理论分析与实例计算表明,该算法由于对偶迭代
本文中的计算实例算法使用Matlab软件编程实现。
本文得到广州中医药大学规划课题(项目号sk0626)和广州中医药大学高等教育教学改革课题(项目号sk1530)的资助。
田振明,宋馨雨. 不允许卖空证券组合投资模型的原始–对偶多项式内点算法A Primal-Dual Polynomial Interior Point Method for Portfolio Investment without Short Sale[J]. 应用数学进展, 2016, 05(01): 51-58. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.51008