完全π-正则半群是其所含任意元的某个幂属于其最大子群的半群。论文给出了两个不同形式的半群分块的定义,证明当所给半群为完全π-正则半群时这两个定义是等价的。论文还提供了分块的第三个定义,证明当分块为子半群时,完全π-正则半群的第三个分块定义与前两者等价。 A semigroup is called an epigroup if for any element in this semigroup some power of the element lies in the maximal subgroup of the given semigroup. In this paper two variants of definitions of blocks of semigroups are given and we prove that two of them turn out to coincide in the case of epigroups. We also offer the third definition of blocks of epigroups and show that if blocks of epi-groups are subsemigroups, then this definition is equivalent to the other two.
陈琴琴,刘靖国*
临沂大学理学院,山东 临沂
收稿日期:2016年2月28日;录用日期:2016年3月9日;发布日期:2016年3月16日
完全π-正则半群是其所含任意元的某个幂属于其最大子群的半群。论文给出了两个不同形式的半群分块的定义,证明当所给半群为完全π-正则半群时这两个定义是等价的。论文还提供了分块的第三个定义,证明当分块为子半群时,完全π-正则半群的第三个分块定义与前两者等价。
关键词 :完全π-正则半群,分块,正则
完全π-正则半群S是其所含任意元x的某个幂
半群分块的术语最早是定义在有限0-单半群上,见Graham [
本文所用半群记号和术语详见参考文献 [
设a为半群S的一个元,元
称半群S的
下面重要的“定位”结果在后文中将会用到,来自( [
引理1.1:令a,b是半群S的一个
下述引理中的(i)~(iii)显然是( [
引理1.2:令S为一完全π-正则半群。则
(i)
(ii) 对
(iii) 对
令D为半群s的
如果s为完全π-正则半群,则由引理1.2,
下面的引理来自( [
引理1.3:令D为半群s的一个正则
(i) T的非零
(ii) T的非零
(iii) T为完全0-单半群。
下列命题来自( [
命题2.1:令
(i) 对任意
(ii) 对任意
(iii) 对任意
定义2.1:令D为半群s的正则
定义2.1':在上述定义中,如果不通过中介
显然,如果
Moura(见文献 [
令S为一半群,D为s的正则
包含元g的~类记作
定义2.2:设D为半群S的一个正则
注意到对任意
并且
引理2.1:设D为半群S的一个正则
回到完全π-正则半群的情形,下面的定理显然给出两个定义的一致性。首先注意到分块b是
定理2.1:设D为完全π-正则半群S的一个正则
证明:由分块的定义,
显然
于是,
这样
容易看出
相反,令
3. 分块为半群的情形
文献 [
定义3.1:设D为半群S的一个正则
的D的最大子集。对S的分块b定义其商半群
由定义3.1,设D的子集b为半群S的分块,则对任意
引理3.1:设b如定义3.1所给出的完全π-正则半群S的一个正则
证明:对任意
注:由上述引理的证明,定义3.1中的分块都是s中的群元。
我们下面来证明定义3.1中的分块与定义2.2的关系。
命题3.2:令D为完全π-正则半群S的一个正则
D的最大子集。则
证明:设
需要说明的是,一般情形下,定义2.2和定义3.1并不等价,考察如下半群:
由定义2.2所定义的分块
文献 [
资助项目
该论文得到临沂大学校级大学生创新创业训练项目的支持(2015年度)。
陈琴琴,刘靖国. 关于完全π-正则半群分块定义的一个注记 A Note on the Definitions of Blocks of Epigroups[J]. 理论数学, 2016, 06(02): 89-94. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.62013