本文是对欧几里德斯坦纳树问题的一个简单介绍,其中包括斯坦纳问题及性质和复杂性。此外,介绍了三个点和四个点的图的斯坦纳树的结构,并对五个点的图之中一种特殊情况的斯坦纳树的结构进行了讨论。 The paper is a brief introduction to the Euclid Steiner tree problem, including definition of Steiner problem, its property and complexity. In addition, it introduces the structures of Steiner trees of the graphs that have three vertices or four vertices. Especially, it discusses the structure of Steiner tree of a special case in the graph that has five vertices.
刁强强,葛云鹏,丁丽
青海师范大学数学系,青海 西宁
收稿日期:2016年4月14日;录用日期:2016年5月2日;发布日期:2016年5月5日
本文是对欧几里德斯坦纳树问题的一个简单介绍,其中包括斯坦纳问题及性质和复杂性。此外,介绍了三个点和四个点的图的斯坦纳树的结构,并对五个点的图之中一种特殊情况的斯坦纳树的结构进行了讨论。
关键词 :欧几里德斯坦纳树问题,斯坦纳最小树,斯坦纳点
斯坦纳树(Steiner tree)问题( [
在过去的二、三十年中,Steiner树问题及其各种推广与变形问题是研究的热点问题。关于斯坦纳树这个问题可以追溯到17世纪初,数学家Fermat提出的一个问题:在欧氏平面上有三个点,寻找第四个点使得由该点连接这三个点的距离之和最小。在此之后,经过多位数学家的扩展补充,最终以瑞士数学家Steiner的名字命名为Steiner问题。
由于斯坦纳树问题在现代生活中应用( [
在欧几里德平面上,给定
令
在以线段
(1) Steiner最小树上任何两条邻接边的夹角不小于
(2) Steiner最小树上任何一个顶点的关联边不多于3条,且每个叶子都是原点。
(3) 设Steiner最小树的原点为
(4) Steiner最小树上与斯坦纳点相关联的边必定为3条,且这3条边中任意两边夹角为
(5) [
对于平面上任意给定的四个点,求它们的Steiner最小树并不难,H. O. Pollak在1978年最早给出了解法。这问题历史上也算是道难题,在大数学家高斯的遗稿中,据说记载着他的儿子曾向他提出刚才所说的问题,高斯并未给出解答。
当给定点的数目大于等于4时,点集的斯坦纳树就不止一棵。没有退化点的斯坦纳树称为完整斯坦纳树,记作FST。对给定的点集,若将它的所有的FST和具有退化点的斯坦纳树加在一起,其数目可以大得惊人。例如当给定点的数目为6时,此数目为5625。当给定8个点时,则为2,643,795 [
由于求Steiner最小树是一
1640年,费尔马提出如下问题:在平面上给出三个点A、B、C,求一点
(1) 当
(2) 当
综上所述,在遇到三个点的最小斯坦纳树问题时,我们找出使得
对于平面上四个点的最小斯坦纳树问题,只能存在0阶、1阶和2阶的斯坦纳树。下面定理 [
定理3.2.1:0阶Steiner树存在的充要条件是路中每条边都在其邻边的特征域中。
定理3.2.2:1阶Steiner树存在的充要条件是线段
定理3.2.3:满Steiner树存在的充要条件是:(1)
定理3.2.4 (H. O. Pollak定理 [
当
也就是说,设
(1) 在
为所求的斯坦纳树,其长为
(2) 连接
图1. 隔离点B
纳树仍是
(3) 连接
按照这样的方法,每固定一个所与点,对余下说我四个点作成的四边形有两种组合,对于其中的一种组合,可以做三株斯坦纳树,但同种组合的三株斯坦纳树是都相同的,因此,只需作出一株即可。即固定一个所与点,可得到两株斯坦纳树。实际上,这两株斯坦纳树中只有一株是可能出现的,只需注意:必须要
下面我们来看一下
(1) 点
此时,不用通过枚举法,因为点
那么,猜想一下,假如对称轴上的点
(1.1) 隔离点
易证
(1.2) 隔离点
在作图中发现当点
综上,只有隔离点
(2) 点
通过作图发现,当点
(2.1) 点
图2. E在对称轴中点
图3. 隔离点E
图4. 隔离点A
图5. 隔离点D
图6. E在正方形内部的对称轴上任意一点
图7. 隔离点E
图8. 隔离点B
图9. 隔离点A
通过枚举法,点
通过上述特殊情况,当
刁强强,葛云鹏,丁丽. 欧几里德Steiner树问题介绍及一种特殊情况的讨论The Introduction of Euclid Steiner Tree Problem and the Discussion of a Special Case[J]. 应用数学进展, 2016, 05(02): 172-179. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.52023