有向图G的一个匹配是由其一组没有公共起点也没有公共终点的有向边构成的集合。图G的k匹配是指含k (k = 1, 2, …, n)条有向边的匹配;图G的k-匹配数是指含k (k = 1, 2, …, n)条有向边的匹配的选择方法数;图G的匹配数指所有k-匹配数的和。刘和Barabasi等人提出:有向网络的可控节点数等于有向网络的顶点数减去最大匹配包含的边数。说明有向网络的可控性与有向网络的匹配数有着密切的联系。因此,研究有向网络的所有匹配数目具有一定的应用意义。这篇文章主要研究一类有向三角形树的所有匹配数的计数问题和极值问题。给出了一类含n个三角形的有向三角形树匹配数的计算方法,以及有向三角形树匹配数的上下界和相应的结构。 A matching of a directed graph G is a set of some directed edges without common starting-node and end-node. K-matching of a digraph G is the matching with the k (k = 1, 2,…, n) edges; k-matching number of a graph G is the number of distinct matchings containing k (k = 1, 2,…, n) edges. The matching of a graph G refers to the number of all k-matchings. Liu and Barabasi put forward: the number of controllable nodes in directed networks is equal to the number of nodes of directed networks minus the number of edges of the maximum matching. It illustrates that the matching number and controllability of directed networks have a close connection. Thus, the research of the number of all matchings of directed networks is of applied significance. This article mainly studies the counting problems and the extremal problems on the number of matchings in a class of directed triangle trees. We investigate the calculation method and the expression of the matching number in a class of directed triangle trees with n triangles and determine the bounds for the matching number in directed triangle trees with n triangles and the correspond graphs.
李梦英,赵海兴
青海师范大学计算机学院,青海 西宁
收稿日期:2016年5月4日;录用日期:2016年5月27日;发布日期:2016年5月30日
有向图G的一个匹配是由其一组没有公共起点也没有公共终点的有向边构成的集合。图G的k匹配是指含k (k = 1, 2, …, n)条有向边的匹配;图G的k-匹配数是指含k (k = 1, 2, …, n)条有向边的匹配的选择方法数;图G的匹配数指所有k-匹配数的和。刘和Barabasi等人提出:有向网络的可控节点数等于有向网络的顶点数减去最大匹配包含的边数。说明有向网络的可控性与有向网络的匹配数有着密切的联系。因此,研究有向网络的所有匹配数目具有一定的应用意义。这篇文章主要研究一类有向三角形树的所有匹配数的计数问题和极值问题。给出了一类含n个三角形的有向三角形树匹配数的计算方法,以及有向三角形树匹配数的上下界和相应的结构。
关键词 :复杂网络,有向树,有向三角形树,匹配,Hosoya指标
随着以互联网 [
1971年日本化学家Haruo Hosoya [
称Z或Z(G)为Hosoya指标或Hosoya拓扑指标。
本文中我们首先给出有向树、有向三角形树及有向三角形树匹配的概念,研究有向三角形树的匹配数及其相关性质。其次根据本文的主要内容给出计算一类有向三角形树匹配数的算法。
首先给出一些无向图、有向图及有向树的基本定义以及基本的符号表示。
一个图G = (V, E)是一个三元组 [
图G = (V, E)的一个匹配M [
图G = (V, E)的一条路径Pn [
一个有向图 [
有向图G的一个匹配M [
有向图G的一条途径 [
刘和Barabasi等人 [
如果有向图 [
1) 有且仅有一个节点的入度为0;
2) 除树根外的节点的入度为1;
3) 从树根到任一节点有一条连通的有向路。
有向图 [
其中顶点集
有向树中,入度为0的节点称为树根 [
图1. 有向树G = (V; E)
有向树T = (V, E) [
有向树T = (V, E) [
刘和Barabasi等人 [
有向树T被称为有向树F = (V, E),则有向树T中的有向边的方向均是由上一层中的父节点指向下一层中的子节点的。如图2。
其中顶点集:
有向星图F*是恰好只有一个节点出度为n-1,其余节点均为叶子节点的n个节点的有向树F。有向路Fp是节点出度为1或0的有向树F。
有向三角形树D = (V, E)的过程为:t = 1时,以v0为根节点,以v1,v2为左右子节点,生成两条有向边v0v1,v0v2,且节点v1,v2之间生成一条有向边v1v2(第三边),这时节点{v0,v1,v2}构成一个有向三角形,记为D1;t = 2时,D1恰好包含3个节点{v0,v1,v2}∈V,在D1的任意一个节点上粘贴D1的节点v0,生成有向三角形树D2;以此类推,在有向三角形树Di的任意一个节点上,粘贴D1的节点v0,生成有向三角形树Di+1;以时间步生成有向三角形树Dn。图3是其中一种生成结果。
其中顶点集:
有向三角形星图
图2. 有向树F
图3. 有向三角形树D3
在每一时间步都将D1的节点v0粘贴到有向三角形树的最左(右)端的节点而生成的。
有向三角形树D的匹配数:n个三角形的有向三角形树D的边的子集E*称为是一个匹配集,如果E*中的任意两条有向边都没有公共的始点,也没有公共的终点。有向三角形树D的一个匹配是由若干条有向边构成的集合,故其大小就是有向边的条数。有向三角形树D的一个极大匹配是不能再通过添加有向边来使其变大的匹配。有向三角形树D的一个最大匹配是有向三角形树D的所有匹配中有向边数达到最大值的匹配,即含有向边数最多的匹配。有向三角形树D的k匹配是指含k条有向边的匹配;有向三角形树D的k匹配数指含
设D=(V, E)是在有向完全二叉树中的每一个节点的左右子节点上,添加一条从左子节点到右子节点的有向边所得的图,它是一类特殊的有向三角形树图。下面给出这一类有向三角形树匹配数的多项式算法。
定理3.3.1设D = (V, E)是在有向完全二叉树中的每一个节点的左右子节点上,添加一条从左子节点到右子节点的有向边所得的的图,设D = (V, E)是有n个三角形的有向三角形树,v1,v2分别是有向三角形树D的根节点v0的左、右子节点,则
这里Dvi是以vi为根节点的有向三角形树;Dvi-vi是从有向三角形树Dvi中删除根节点vi形成的有向子图;
设v3,v4分别是v1的左、右子节点,则
这里Dv3-v3是Dv1-v1的有向子图。
证明:用归纳法证明,n = 1时,有向三角形树D仅包含一个三角形,Z(D) = 5,定理成立。
假设对小于n个三角形的有向三角形树D定理成立。设v1,v2分别是v0 的左、右子节点,见图4。
则有向三角形树D的匹配数可分为以下两类:
第一类:不包含根节点v0的匹配,即有向子图D-v0的匹配数Z(D-v0),见图5。
第二类:恰好包含根节点v0的有向边v0v1或v0v2的匹配,即有向子图D1,D2的匹配数Z(D1),Z(D2),见图6。
因此
注意到有向子图
第一类:不包含有向边v1v2的匹配,即有向树Dv1的匹配数Z(Dv1)与有向树Dv2的匹配数Z(Dv2)的乘积,见图7。
第二类:恰好包含有向边v1v2的匹配,即有向子图D3的匹配数Z(D3),见图7。
因此
而有向子图D1的匹配可以分为以下两类:
第一类:不包含有向边v1v2的匹配,即有向子图D4的匹配数Z(D4),见图8。
第二类:恰好包含有向边v1v2的匹配,即有向子图D5的匹配数Z(D5),见图8。
图4. 有向三角形树D
图5. 有向子图D-v0
图6. 有向子图D1,有向子图D2
图7. 有向树Dv1,有向树Dv2,有向子图D3
图8. 有向子图D4, 有向子图D5
因此
则有向三角形树D的匹配数
注意到有向子图
由归纳假设得:对有向三角形树Dv3,Dv4定理成立。
证毕。
定理3.3.2设D是含n个三角形的有向三角形树,则
其中
证明:用数学归纳法证明。N = 1时,有向三角形树D 仅包含一个三角形,
假设对小于n个三角形的有向三角形树图结论成立。(1) 用数学归纳法证明右边不等式。设Dn是具有n个三角形的有向三角形树图,则Dn可以在某一个具有n-1个三角形的有向三角形树图Dn-1的任意节点与新
1) Dn-1的任意一个匹配和D1的任意一个匹配都没有公共始点和终点,注意到
2) Dn-1的某些匹配和D1的某些匹配有公共的始点,此时有
由归纳假设有
显然
且等式成立当且仅当
(2) 用数学归纳法证明左边不等式。设Dn可以在某一个具有n-1个三角形的有向三角形树图Dn-1的任意节点与新
a)
b)
c)
由以上讨论得:
且等式成立当且仅当
根据定理3.3.1设含n个三角形的有向三角形星图
第一类:不包中心节点v0的匹配,即有向子图
第二类:恰好包含中心节点v0的有向边v0vi(
如图10所示,共有n个有向子图
注意到
当包含的有向边v0vi是v0左节点时,
而有向三角形星图
则有
图9. 有向三角形星图
图10. 有向子图
证毕。
本小节中,我们给出有向三角形树匹配数的算法。
设D = (V, E)是在有向完全二叉树中的每一个节点的左右子节点上,添加一条从左子节点到右子节点的有向边所得的图,设Dn = (V, E)是包含n个三角形的有向三角形树,输出Z(Di)值。假设D0表示只含有一个节点的有向图,Dvl和Dvr分别表示Dv的左、右子图。
开始
For each
显然,该算法的时间复杂度为
本文中我们给出了有向网络中一类有向三角形树匹配数的计算方法和计算表达式。得出:有向三角形路Dpn的匹配数最大,有向三角形星图
本文受科技部973专项(No. 2010CB334708)、国家自然基金项目(No. 61164005)、教育部长江学者与创新团队支持计划(No. IRT1068)、国家自然科学资金项目(批准号:11551002)、青海省自然基金项目(No. 2012-Z-943)资助。
李梦英,赵海兴. 有向三角形树的匹配数 On the Matching Number of Directed Triangle Trees[J]. 计算机科学与应用, 2016, 06(05): 292-302. http://dx.doi.org/10.12677/CSA.2016.65036