本文将永久美式期权的自由边界问题归结为在半无界区域具有多个(或单个)奇异点的边值问题来研究,引入广义特征函数法获得了多个奇异点的数学模型的精确解。只有一个奇异点的情形,所得到的解函数在奇异点处取最大值;并得到了左、右自由边界问题同时有一致解的相容性条件。证明了在相容性条件下,左、右自由边界点与奇异点三点合一,从而左、右自由边界点与奇异点都是永久美式期权最佳实施边界点。具有多个奇异点的情形,获得了判断左、右自由边界点成为最佳或较佳实施边界点的条件。 In this paper, we model the free boundary problem of the Perpetual American Option as boundary value problem with multiple (or single) singular points in the semi infinite domain, and introduce the generalized characteristic function method to be able to obtain the exact solution of the mathematical model of multiple singular point. In the single singular point case, our solution function takes the maximum value at the singular point. We deduce the consistency condition of the left and right free boundary problem. Under the compatibility condition, the three points, the left and right free boundary points and singular point are the same, so that they all are the optimal implementation point of the Perpetual American Option. In the case of multiple singular points, the conditional judgment of the left and right free boundary points to be the optimal or nearly optimal implementation point is obtained.
吴小庆
西南石油大学理学院,四川 成都
收稿日期:2016年7月9日;录用日期:2016年7月26日;发布日期:2016年7月29日
本文将永久美式期权的自由边界问题归结为在半无界区域具有多个(或单个)奇异点的边值问题来研究,引入广义特征函数法获得了多个奇异点的数学模型的精确解。只有一个奇异点的情形,所得到的解函数在奇异点处取最大值;并得到了左、右自由边界问题同时有一致解的相容性条件。证明了在相容性条件下,左、右自由边界点与奇异点三点合一,从而左、右自由边界点与奇异点都是永久美式期权最佳实施边界点。具有多个奇异点的情形,获得了判断左、右自由边界点成为最佳或较佳实施边界点的条件。
关键词 :永久美式期权,最佳实施边界,自由边界问题,奇异点,广义特征函数法
美式期权是一张具有提前实施条款的合约,由于可以提前实施,持有者能否抓住有利时机,适时地实施这张合约,以获取最大或较大利益,这是一个对持有者必须考虑的问题。在研究永久美式期权 [
自由边界问题A:求
且满足
自由边界问题B:求
且满足
我们把自由边界问题A与自由边界问题B分别称为左、右自由边界问题。由左自由边界问题或右自由边界问题去确定最佳实施边界点
记号
问题1 (两个奇异点的数学模型)求
其中:
定义1若函数
定义2在区域
问题1的求解需同时求解(弱解)
问题1的求解:
齐次尤拉方程有形如
它有两个根,记为
其中
易知
故方程的通解为
其中
由(6)和边界条件,
完全类似的,得到
再求
由边界条件
有
这是关于
于是有
由条件
定理1 (问题1连续有界正解的存在定理)当
或
定理2 (问题1连续有界正解性质定理)问题1连续有界正解
证明:由问题1的解在区间
由问题1的解在区间
定义3若函数
定理3 (问题1连续有界正解最佳实施点排除定理)若
1) 当
2) 当
3) 当
证明:由
当
即一般情况下两个奇异点
推论1若
且
1) 当且仅当
2) 当且仅当
3) 当且仅当
证明由(12),(13)易得。
问题2.1求
问题2.2求
问题2.3求
推论2当
问题2.2的解
问题2.3的解
且有
定义4称问题2.1为左自由边界问题,它的自由边界
推论3若
1) 当
2) 当
右自由边界问题的解
1) 当
2) 当
定义5 左自由边界点
推论4若
且
1) 当且仅当
2) 当且仅当
3) 当且仅当
推论5若
1) 当且仅当
2) 当且仅当
3)当且仅当
证明:由推论4,即有1),3)成立。由推论4有当且仅当
易证
故2)成立。
推论6设左、右自由边界问题都有解,且左、右自由边界点
证明:若存在连续有界函数
推论7若左、右自由边界问题都有解,且左、右自由边界点
1) 当
2) 当
证明:由定理3即得。
即分别考虑左、右自由边界问题,若左、右两个自由边界点
定理4 (自由边界点与最佳实施点关系定理)设左、右自由边界问题都有解,且左、右自由边界点
1) 若
2) 若
下面我们考虑左、右两个自由边界点
问题3 (单个奇异点的数学模型)求
定理5 (问题3连续有界正解的存在定理)当
, (35)
定义6函数
我们已在 [
定理6 (问题3连续有界正解的不同表示定理)当
或
定理7 (问题3连续有界正解性质定理)问题3连续有界正解
且解在奇异点
证明:由(37)式解在区间
由(37)式解在区间
推论8当
右自由边界问题的解
定理8 (三点合一定理)当
推论9若
1) 当
2) 当
证明:参见 [
奇异点
1) 当
2) 当
推论10问题3 (单个奇异点的数学模型)与 [
证明:参见 [
从而研究问题3 (单个奇异点的数学模型)与 [
问题4 (多个奇异点的数学模型)
其中:
等价于标准形式
其中:
微分算子
问题4的求解:
先考虑特征值问题
这是关于尤拉方程在半无界区间的奇异施图姆-刘维尔问题。
尤拉方程的特解形式为
特征根
即有
于是得到特征值
特征函数
特征函数系是半无界区域
即知特征函数系是半无界区域
定义在
由正交关系
由(48),(49)这一对关系可以引入广义特征函数法 [
由(49)则有
将(53),(54)两式代入(43)中方程则有
于是
将上式代入(50)式即有
再将(45),(46),(53)式代入(57)式
由傅立叶积分变换公式
即知
定理9若
若该解还满足内边界条件
则应有相容条件
记
则有
附注1定理9中条件
问题5 (多个奇异点的数学模型)求
记号
定理10当
则问题5存在连续有界正解
证明由问题4的解,记为
则
1)
由
由(71),(72),(73)三式即有
从而
2)
由(82)有
由(71),(72),(73)三式即有
即有
由(81),(87)两式即
左自由边界问题5.1求
定理11当
则左自由边界问题5.1存在连续有界正解
且满足
推论11当自由边界问题2.1中
右自由边界问题5.2求
定理12当
则右自由边界问题5.2存在连续有界正解
且满足
推论12当自由边界问题2.2中
附注2问题5连续有界正解
附注3由定理11与推论11的结论可知,左自由边界问题5.1与左自由边界问题2.1有差异很大的解。由定理12与推论12的结论可知,右自由边界问题5.2与右自由边界问题2.2也有差异很大的解。
I简单期权价格曲线的情形,即期权价格曲线在区域
II复杂期权价格曲线的情形,即期权价格函数曲线在区域
吴小庆. 尤拉方程的两个自由边界问题的相容性The Compatibility of Two Free Boundary Problem of Euler Equation[J]. 理论数学, 2016, 06(04): 342-360. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.64050