工程和自然科学中的许多问题常常可以归结为非线性系统的求解。多年来,作为非线性逼近的典型之一的有理函数逼近愈来愈引起人们的关注。本文主要研究了帕德逼近这一经典的有理函数逼近。我们以正交函数系作为基函数,分别研究了正交三角函数系和正交多项式函数系下的帕德逼近问题,并通过具体的例子展示了其逼近效果。最后,我们将帕德逼近与同伦分析方法结合来求解非线性系统,并通过一个三自由度系统验证了它的有效性。<br/>Many problems in engineer science and natural science are often summed up in solving nonlinear systems. For many years, the rational function approximation has attracted more and more attention, which is one of the typical nonlinear approximation approaches. We mainly study one of the classical rational function approximations—Padé approximation in this paper. We take the orthogonal function system as the base function, and study some Padé approximation problems under the base function of orthogonal trigonometric function and orthogonal polynomial function respectively. Then the approximation effect is demonstrated by the concrete examples. Finally, we combine the Padé approximation with the homotopy analysis method to solve the nonlinear system, and verify its effectiveness by a three-degree-of-freedom system.
钱有华*,付海霞,沈梁
浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江 金华
收稿日期:2016年10月8日;录用日期:2016年10月27日;发布日期:2016年10月31日
工程和自然科学中的许多问题常常可以归结为非线性系统的求解。多年来,作为非线性逼近的典型之一的有理函数逼近愈来愈引起人们的关注。本文主要研究了帕德逼近这一经典的有理函数逼近。我们以正交函数系作为基函数,分别研究了正交三角函数系和正交多项式函数系下的帕德逼近问题,并通过具体的例子展示了其逼近效果。最后,我们将帕德逼近与同伦分析方法结合来求解非线性系统,并通过一个三自由度系统验证了它的有效性。
关键词 :帕德逼近,正交函数系,同伦分析方法,非线性系统
在自然科学和工程技术的实际计算中,用函数的泰勒展开的部分和作为该函数的近似是一种最基本的方法。有理函数因为其自身的特点,使得我们在它的极点附近得到的近似的效果比较好。此外,逼近公式计算的应用,因为不需要考虑自变量的高次幂,使得有理函数分式形式的逼近显得比较简单有效。此外,因为应用有理函数逼近求解时需要联立求解的高次方程的次数比应用多项式逼近求解时更低,所以有理分式逼近在求解已知函数的极点和零点时有着很大的方便性 [
定义1 [
设
如果存在两个无公共因子且次数不超过
并且假定有标准化条件
用
利用行列式的变换可直接求得:
定义2设
则称
若函数
称
我们自然考虑函数集合
可以看出,这个集合中每两个元素都是正交的,
我们称这样的函数集合为正交函数系。
若
称该函数系为标准正交系。一般限制正交系中的第一个函数恒等于1。
设
定义3称
其中
解的存在性和唯一性是判断帕德逼近在同一组基的作用下是否唯一的重要理论依据, [
下面考虑
(1) 当
(2) 当
方程组(10)的系数矩阵
所以,当
考虑在区间
三角函数系
下构成一组正交函数系。
例1求
解:选取三角函数系
的
设
解得:
故
同理可求得
由上述
我们可以得到:图1中,
定义4 [
若
则这些多项式称为正交多项式。
若
例2若权函数为1,区间为
图1. (11,3)阶帕德逼近与f(x)的比较
图2. (11,4)阶帕德逼近与f(x)的比较
图3. (11,2)阶帕德逼近与f(x)的比较
图4. (10,2)阶帕德逼近与f(x)的比较
它们称为勒让德多项式。
对于任意向量空间的基,Gram-Schmidt正交化可以求出一个正交基。对于多项式空间的基,正交化的结果便是勒让德多项式。
例3设
当
根据正交多项式下Padé逼近的定义,求得
图5. (10,3)阶帕德逼近与f(x)的比较
图6. (10,4)阶帕德逼近与f(x)的比较
图7,图8的逼近效果最理想。图9的整体趋势吻合,但
实际生活中非线性问题是经常出现的。由于非线性系统的复杂性,求解时直接法几乎是不能使用的。
图7. (5,2)阶帕德逼近与f(x)的比较
图8. (5,4)阶帕德逼近与f(x)的比较
图9. (5,1)阶帕德逼近与f(x)的比较
图10. (5,3)阶帕德逼近与f(x)的比较
本文中我们引用同伦分析法来求解非线性系统,因为同伦分析法的优点是克服了摄动方法依赖于小参数的局限性,而且它在逻辑上包含了其他非摄动方法,更具有一般性。但是这种方法也有无法回避的缺点,因此我们很有必要发展一种能解决多自由度线性系统的解析近似方法。鉴于帕德逼近的高度精确性的优势 [
受帕德逼近的启发,我们想到能否将帕德逼近应用于非线性系统中的求解呢?将求解非线性系统的一种方法——同伦分析法与帕德逼近相结合再进行求解。
考虑多自由度非线性系统的一般表达式:
图11. (5,5)阶帕德逼近与f(x)的比较
其中,
下面我们用同伦分析的思想来求解系统(24),先定义一个非线性算子:
这里
且
设
其中
引进辅助线性算子
令
当
现定义
利用向量值函数的泰勒展开定理,
于是
需要注意的是,我们拥有很大的自由选取辅助线性算子
对所有的
对
在上述假设下,我们求得系统(25)的级数解为
为方便起见,以向量函数为分量构成的向量定义如下:
将零阶形变方程(31)对嵌入变量
其中
且
于是
该高阶形变方程只依赖于向量函数构成的矢量
利用maple,mathematica等数学软件可以求出满足一定精度条件的近似解。
帕德逼近可以应用到同伦分析方法中去,我们把这种改进的方法称为同伦–帕德逼近。从级数(33)出发,我们对嵌入变量
很多时候,
由于级数(34)是收敛的,因此如果我们选取的基函数是
则改进的
下面看一个非线性系统的例子:
满足初始条件
该系统满足初始条件的精确解为
初始猜测解:
辅助线性算子:
非线性算子:
零阶形变方程:
根据初始条件和初始猜测解有:
且
仿照(25)的做法,我们再用mathematica编程,对
再令
在
如图12所示,我们可以看出:当
如图13所示,我们可以看出:同伦Padé逼近求解的近似解和精确解的吻合范围差不多,并没有扩大,即帕德逼近对于用同伦方法求解非线性方程时能加速解的收敛性。
由上述分析结果显示,即使时间历程
图12. 非线性系统同伦分析方法所得x1(t),x2(t),x3(t)
图13. 同伦Padé逼近方法所得x1(t),x2(t),x3(t)
于我们对于数学问题结果的计算和预测 [
感谢国家自然科学基金项目(11572288)的资助!
钱有华,付海霞,沈 梁. 帕德逼近及在求解非线性系统中的应用 Padé Approximation and Its Application in Solving Nonlinear Systems[J]. 动力系统与控制, 2016, 05(04): 161-178. http://dx.doi.org/10.12677/DSC.2016.54018