本文借助基本解方法通过MATLAB编程实现了二维不规则区域上Laplace方程的无网格数值求解,数值实验的结果表明了该方法的可行性和精确性。 In this paper, Laplace equation on irregular domain is solved by MATLAB programming, which is the method of fundamental solutions. The result of numerical experiment shows the feasibility and accuracy of the meshless method.
单康,谢焕田*,王文祥,段永康,劳红月
临沂大学数学与统计学院,山东 临沂
收稿日期:2017年6月14日;录用日期:2017年7月3日;发布日期:2017年7月6日
本文借助基本解方法通过MATLAB编程实现了二维不规则区域上Laplace方程的无网格数值求解,数值实验的结果表明了该方法的可行性和精确性。
关键词 :不规则区域,Laplace方程,基本解方法,无网格方法
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众所周知,Laplace方程 [
是最典型的椭圆型偏微分方程之一,它具有广泛的应用背景,例如静电学中的电势及牛顿万有引力理论中的引力势均满足该方程。传统上人们认为有限元法擅长计算复杂区域上椭圆型偏微分方程的适定问题 [
首先利用Laplace算子的基本解作为基函数构造近似解,进而通过配置法利用边界条件得到数值解,数值实验的结果表明了此方法的可行性和精确性。
基本解方法是一种数值求解椭圆型方程边值问题的边界型方法,它用微分算子的基本解的线性组合来逼近问题的解。由于基本解满足偏微分方程,只须考虑边界条件,因此属于边界型方法 [
考虑边值问题
其中
假设
1) 选取中心点
2) 构造
3) 选择边界点
特别地,当
4) 求解上述方程组得到数值解。
当微分算子
由文献 [
其中
此时,为求数值解
其中
附录中给出了具体的MATLAB求解程序。
考虑二维不规则区域上Laplace方程的边值问题
其中
为衡量数值解的精度,定义最大绝对误差如下
实验过程中,中心点的选择采用如下两种方案
方案I:在外边界(大椭圆)外部选择中心点如图1所示;
方案II:在内边界(两个小圆)的内部和外边界(大椭圆)外部分别选择中心点如图2所示。
为了考察中心点个数对数值解精度的影响,表1和表2分别列出了两种方案下不同中心点个数对应的最大绝对误差,从表中数据可以看出随着中心点个数的增加,数值解精度在不断提高,并且方案I的精度明显优于方案II。
图1. 标方案I的选点、数值解及误差情况
图2. 标方案II的选点、数值解及误差情况
中心点个数 | ABE |
---|---|
8 | 0.0589 |
16 | 1.1669e−04 |
32 | 1.4130e−08 |
64 | 2.4838e−11 |
128 | 1.5969e−12 |
表1. 方案I的最大绝对误差比较
中心点个数 | ABE |
---|---|
8 | 0.6957 |
16 | 0.0905 |
32 | 4.2826e−04 |
64 | 1.5146e−07 |
128 | 8.8548e−12 |
表2. 方案II的最大绝对误差比较
通过本文结果可以知道,对于不规则区域上椭圆型偏微分方程的边值问题,采用基本解方法求解是方便可行的,同时启示我们构造高精度的无网格方法是值得研究的。
大学生创新创业训练计划项目(201610452005),山东省自然科学基金项目 (BS2015DX012)。
单康,谢焕田,王文祥,段永康,劳红月. 不规则区域上Laplace方程基本解方法的MATLAB实现 The Method of Fundamental Solutions for Laplace Equation on Irregular Domain by Using MATLAB[J]. 应用数学进展, 2017, 06(04): 468-473. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.64055