控制数是刻画容错网络中资源共享可靠性的一个参数。确定网络的控制数是NPC问题。Lakshmivarahan, Dhall提出了著名的互连网络—广义b-基超立方体网络。该文给出了当b=3,n=2,3,4 时广义b-基超立方体网络控制数的具体值,以及当5≤n≤8 时控制数的界;进一步提出了两个问题和与该问题相对应的两个猜想。 Domination number is a parameter to describe the reliability of resource sharing in a fault-tole- rant network. Determining the domination numbers of a graph is a NPC problem. Generalized base-b hypercube has been put forward by Lakshmivardhan and Dhall, which is a famous inter-connection network. In this paper, we study the exact values of the domination numbers of generalized base-b hypercube for b=3,n=2,3,4 and the bounds of the domination numbers for 5≤n≤8. Furthermore, two problems and two conjectures with the problems are proposed.
师海忠,杨进霞
西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州
收稿日期:2017年8月5日;录用日期:2017年8月21日;发布日期:2017年8月31日
控制数是刻画容错网络中资源共享可靠性的一个参数。确定网络的控制数是NPC问题。Lakshmivarahan, Dhall提出了著名的互连网络—广义b-基超立方体网络。该文给出了当时广义b-基超立方体网络控制数的具体值,以及当时控制数的界;进一步提出了两个问题和与该问题相对应的两个猜想。
关键词 :广义b-基超立方体网络,NPC问题,控制数
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互连网络是超级计算机的重要组成部分。互连网络可以模型化为一个图。图的顶点表示系统中的处理机,图的边表示处理机之间的通信链路,其中有向边表示单工通信链路,无向边表示半双工通信链路 [
图的控制理论是图论的重要分支,美国图论学者W. T. Haynes等 [
定义1 [
显然,广义b-基超立方体网络是2元超立方体的一种推广。
定义
置换
设
因此,我们将
1)
2)
3)
定义2 [
当
当
定理1:当
证明:当
为了证明以下定理,我们给出以下记号。
我们用
定理2:当
证明:当
图1.
图2.
情况1:
若
若
若
情况2:
根据对称性,证明跟 情况1类似。
情况3:
根据对称性,证明跟 情况1类似。
情况4:
若
若
若
情况5:
根据对称性,证明跟 情况4类似。
情况6:
若
若
若
若
因此在所有的情况下
所以
定理3:当
由于图过于复杂,我们在此给出顶点
0000, 0001, 0002, 0010, 0011, 0012, 0020, 0021, 0022
0100, 0101, 0102, 0110, 0111, 0112, 0120, 0121, 0122
0200, 0201, 0202, 0210, 0211, 0212, 0220, 0221, 0222
1000, 1001, 1002, 1010, 1011, 1012, 1020, 1021, 1022
1100, 1101, 1102, 1110, 1111, 1112, 1120, 1121, 1122
1200, 1201, 1202, 1210, 1211, 1212, 1220, 1221, 1222
2000, 2001, 2002, 2010, 2011, 2012, 2020, 2021, 2022
2100, 2101, 2102, 2110, 2111, 2112, 2120, 2121, 2122
2200, 2201, 2202, 2210, 2211, 2212, 2220, 2221, 2222
证明
为了得出以下定理,我们给出如下引理:
引理1 [
由以上引理我们可以推出:
推论1:图
但是以上推论中得出的控制数的界范围过大,从而我们进一步细化,得出以下定理:
定理4:当
证明:令
定理5:当
证明:根据定理4得证
下证
即
问题1:广义3-基n-立方体的控制数是多少?
猜想1:若
更一般地,我们有
问题2:广义b-基n-立方体的控制数是多少?
猜想2:
广义b-基超立方体网络是一种非常重要的互连网络,通过分析与研究,给出了低维的控制数,以及其他维的控制数的界,但是广义b-基超立方体网络的很多其他性质还有待于研究。
师海忠,杨进霞. 广义b-基超立方体网络的控制数Domination Numbers for Generalized Base-b Hypercube Networks[J]. 计算机科学与应用, 2017, 07(09): 814-819. http://dx.doi.org/10.12677/CSA.2017.79093