本文研究时标上一类具有分布时滞的线性动力方程,利用Lyapunov函数方法,得到了该方程全局吸引性的一个充分条件,并且进一步分析了具有混合时滞的线性动力方程在时标上的全局吸引性。最后文章给出了几个例子予以说明。 In this paper, we consider a linear dynamic equation with a distributed delay on time scales. By using Lyapunov function method, we obtain a novel sufficient condition for global attractivity of the linear delayed dynamic equation. And the linear dynamic equation with mixed delays on time scales is also discussed. Some examples are given to illustrate our results.
舒明春1,黄振坤2
1集美大学 诚毅学院,福建 厦门
2集美大学 理学院,福建 厦门
收稿日期:2017年9月8日;录用日期:2017年9月22日;发布日期:2017年9月28日
本文研究时标上一类具有分布时滞的线性动力方程,利用Lyapunov函数方法,得到了该方程全局吸引性的一个充分条件,并且进一步分析了具有混合时滞的线性动力方程在时标上的全局吸引性。最后文章给出了几个例子予以说明。
关键词 :全局吸引性,时标上分布时滞,混合时滞,线性动力方程
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动力方程模型在从经济到工业各个领域中都发挥了重要作用,比如管道中水的流动变化,一年中鱼群数量的变化,具有有限次出入的交通流量变化等等。这其中有的是连续过程,有的是离散过程,有的兼有连续和离散。连续过程和离散过程在以往要分别利用微分方程和差分方程来进行研究,得出一些相似而又有差异的结果。而如今由Stefan Hilger [
实际上不容忽视的是动力系统往往存在时滞现象,而时滞可能给系统带来不确定的影响,需要给予充分的考虑,Yu, J.S.和Cheng, S.S.曾在 [
现实中,时滞还可能不仅仅来自于过去某一点,而是可表达为过去某一段时间上状态变量的积分,即分布时滞。许多学者在动力系统研究中逐步开始把分布时滞考虑进来(参看文献 [
x Δ ( t ) + q ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) x ( t − u ) Δ u = 0 , t ∈ [ t 0 , + ∞ ) T (1)
受文献 [
x Δ ( t ) + p ( t ) x ( t − ζ ) + q ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) x ( t − u ) Δ u = 0 , t ∈ [ t 0 , + ∞ ) T (2)
其中 T 表示某一无界时标, t ∈ [ t 0 , + ∞ ) T = [ t 0 , + ∞ ) ∩ T , x ( t ) 表示 t 时刻的系统状态,函数 p ( t ) 和 q ( t ) 非负有界并且右密连续, p ¯ = sup t ∈ [ 0 , + ∞ ) T p ( t ) , q ¯ = sup t ∈ [ 0 , + ∞ ) T q ( t ) 。 ζ 和 τ 为非负常数,并且 t ± ζ ∈ T 。 μ ( t ) 是 T 的距离函数, μ ¯ = sup t ∈ T μ ( t ) 。 K ( u ) : [ 0 , τ ] T → [ 0 , + ∞ ) 右连续且满足
∫ 0 τ K ( u ) Δ u = 1 (3)
利用Lyapunov函数方法和引理1,本文得到方程(1)和(2)全局吸引的两个充分条件即定理1和定理2。
首先给出时标上一些基本定义和有关引理(参看文献 [
于任何 t ∈ T ,定义 t 的前跳算子为 σ ( t ) = { s ∈ T : s > t } 。若 σ ( t ) > t ,称t为右扩散;若 σ ( t ) = t 且 t < sup T ,称 t 为右稠密。定义距离函数 μ ( t ) = σ ( t ) − t 。此外集合 T k 定义如下:如果 T 的最大点为左扩散点 T k = T − { m } ;否则, T k = T 。若函数 f : T → R 在每个右稠密点处连续,并且在右稠密点处存在左极限,
则称 f 为右稠密连续,简称右密连续。
定义1:设 f : T → R ,当且仅当对于 ∀ ε > 0 ,存在 t 的一个邻域 U ,使得
| f ( σ ( t ) ) − f ( s ) − f Δ ( t ) ( σ ( t ) − s ) | ≤ ε | σ ( t ) − s | , ∀ s ∈ U ∩ T , t ∈ T k
成立,则称 f 在 t 处delta可导,记为 f Δ ( t ) 。
可以证得:
1) 若 f 在 t 处连续且 t 为右扩散点,则 f Δ ( t ) = f ( σ ( t ) ) − f ( t ) σ ( t ) − t ;
2) 若 f 在 t 处连续且 t 为右稠密点,则 f Δ ( t ) = lim s → t f ( s ) − f ( t ) s − t 。
假设函数 f , g : T → R 在 t ∈ T k 处delta可导,则乘积函数 f g 、和函数 f ± g 也都在 t 处delta可导,即
( f g ) Δ = f Δ ( t ) f ( t ) + f ( σ ( t ) ) g Δ ( t ) = f ( t ) g Δ ( t ) + f Δ ( t ) g ( σ ( t ) )
( f ( t ) ± g ( t ) ) Δ = f Δ ( t ) ± g Δ ( t )
定义2:函数 F : T k → R 被称为 f : T → R 的delta原函数,如果对所有的 t ∈ T k 有 F Δ ( t ) = f ( t ) 成立,于是可以定义 f 的积分为
∫ 0 t f ( s ) Δ s = F ( t ) − F ( a ) , t ∈ T k
∫ t σ ( t ) f ( s ) Δ s = f ( t ) μ ( t ) , t ∈ T k
定义3:对于任一初始值,方程(1)的解 x ( t ) 都有 lim t → + ∞ x ( t ) = x 0 成立,则 x 0 称为方程(1)的全局吸引子,方程(1)的解 x ( t ) 是全局吸引的。
首先证明一个时标上的二重变上限积分的求导公式如下:
引理1:设函数 f : T → R 在 t ∈ T k 处delta可导,则
( ∫ a t ∫ u t f ( s ) Δ s Δ u ) Δ = ∫ 0 t f ( t ) Δ u + ∫ t σ ( t ) f ( s ) Δ s , t ∈ T k
证明:设函数 F : T k → R 是 f 的delta原函数,由定义1和2可得
∫ a t ∫ u t f ( s ) Δ s Δ u = ∫ a t ( F ( t ) − F ( u ) ) Δ u , t ∈ T k
和
( ∫ a t ∫ u t f ( s ) Δ s Δ u ) Δ = ( ∫ a t ( F ( t ) − F ( u ) ) Δ u ) Δ = ( ∫ a t F ( t ) Δ u ) Δ − ( ∫ a t F ( u ) Δ u ) Δ = ( F ( t ) ( t − a ) ) Δ − F ( t ) = f ( t ) ( t − a ) + F ( σ ( t ) ) − F ( t ) = ∫ a t f ( t ) Δ u + ∫ t σ ( t ) f ( s ) Δ s
引理得证。
下面给出方程(1)的全局吸引性的一个充分条件。
定理1:如果
lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 , t ∈ [ t 0 , + ∞ ) T
成立,其中函数 q ( ⋅ ) 非负有界并且右稠密连续, q ¯ = sup t ∈ [ 0 , + ∞ ) T q ( t ) ,函数 K ( u ) : [ 0 , τ ] T → [ 0 , + ∞ ) 右连续且满足 ∫ 0 τ K ( u ) Δ u = 1 ,则方程(1)的解是全局吸引的。
证明:将(1)式变形可得
( x ( t ) − ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u ) Δ = − x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u , t ∈ [ t 0 , + ∞ ) T (4)
设
y ( t ) = x ( t ) − ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u (5)
则有
y Δ ( t ) = − x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u , t ∈ [ t 0 , + ∞ ) T (6)
构造Lyapunov函数 V ( t ) 如下:
V ( t ) = y 2 ( t ) + J ( t )
其中
J ( t ) = ∫ 0 τ q ¯ K ( u ) [ ∫ t − u t ( ∫ s t q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ s ] Δ u
显然 V ( t ) ≥ 0 ,由(5)和(6)式得
( y 2 ( t ) ) Δ = y Δ ( t ) y ( t ) + y ( σ ( t ) ) y Δ ( t ) = μ ( t ) [ y Δ ( t ) ] 2 + 2 y Δ ( t ) y ( t ) = μ ( t ) x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ⋅ ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u
由不等式 2 a b ≤ a 2 + b 2 和(3)式,上式可以推得
( y 2 ( t ) ) Δ ≤ μ ¯ x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( t ) q ¯ Δ u ) 2 − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ⋅ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ( s + u ) ( x 2 ( t ) + x 2 ( s ) ) Δ s ) Δ u ≤ μ ¯ x 2 ( t ) q ¯ 2 − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ( s + u ) ( x 2 ( t ) + x 2 ( s ) ) Δ s ) Δ u
由引理1得
J Δ ( t ) = ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t σ ( t ) q ¯ q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u − ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u σ ( t ) q ¯ q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u = ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u − ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u
而 V Δ ( t ) = ( y 2 ( t ) ) Δ + J Δ ( t ) ,所以有
V Δ ( t ) ≤ μ ¯ x 2 ( t ) q ¯ 2 − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ( s + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u = x 2 ( t ) [ μ ¯ q ¯ 2 − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ( s + u ) Δ s ) Δ u ] + x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( t + u ) Δ s ) Δ u ≤ x 2 ( t ) [ μ ¯ q ¯ 2 − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u ] ≤ x 2 ( t ) [ μ ¯ q ¯ 2 − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 q ¯ 2 τ ]
如果 lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = L > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 ,则 V Δ ( t ) < 0 当 t → + ∞ 。根据单调有界准则(参看 [
令
∫ T * + ∞ V Δ ( t ) Δ t ≤ − ∫ T * + ∞ α x 2 ( t ) Δ t
于是
∫ T * + ∞ α x 2 ( t ) Δ t < V ( T * ) − ρ < + ∞
所以有 lim t → ∞ x ( t ) = 0 ,定理得证。
接下来给出方程(2)的全局吸引性的一个充分条件。
定理2:如果对于 t ∈ [ t 0 , + ∞ ) T 有
lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u > ( μ ¯ + τ + 1 2 ) q ¯ 2 + τ q ¯ 3
lim t → + ∞ p ( t + ζ ) > ( μ ¯ + ζ 2 2 + ζ + τ 2 ) p ¯ 2
成立,其中 p ( ⋅ ) , q ( ⋅ ) 为非负有界函数并且右稠密连续, p ¯ = sup t ∈ [ 0 , + ∞ ) T p ( t ) , q ¯ = sup t ∈ [ 0 , + ∞ ) T q ( t ) 。 ζ 和 τ 为非负常数,并且 t ± ζ ∈ T 。 μ ¯ = sup t ∈ T μ ( t ) 。 K ( u ) : [ 0 , τ ] T → [ 0 , + ∞ ) 右稠密连续且满足 ∫ 0 τ K ( u ) Δ u = 1 ,
则方程(2)的解是全局吸引的。
证明:(2)式变形可得:
( x ( t ) − ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s − ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u ) Δ = − p ( t + ζ ) x ( t ) − x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u , t ∈ [ t 0 , + ∞ ) T (7)
设
y ( t ) = x ( t ) − ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s − ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u (8)
则有
y Δ ( t ) = − p ( t + ζ ) x ( t ) − x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u , t ∈ [ t 0 , + ∞ ) T (9)
构造Lyapunov函数 V ( t ) 如下:
V ( t ) = y 2 ( t ) + R ( t ) + W ( t )
其中
R ( t ) = ( ζ + 1 ) ∫ t − ζ t ∫ s t p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u Δ s
W ( t ) = ∫ 0 τ ( q ¯ + 1 ) K ( u ) [ ∫ t − u t ( ∫ s t q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ s ] Δ u
显然 V ( t ) ≥ 0 ,由(7)和(8)式得
( y 2 ( t ) ) Δ = μ ( t ) [ y Δ ( t ) ] 2 + 2 y Δ ( t ) y ( t ) = μ ( t ) x 2 ( t ) ( p ( t + ζ ) + ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 − 2 x 2 ( t ) p ( t + ζ ) − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 x ( t ) p ( t + ζ ) ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s + 2 x ( t ) p ( t + ζ ) ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u + 2 x ( t ) ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s ⋅ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ⋅ ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u
由不等式 2 a b ≤ a 2 + b 2 和(3)式,上式可以推得
( y 2 ( t ) ) Δ ≤ 2 μ ( t ) x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( t ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + 2 μ ( t ) x 2 ( t ) p 2 ( t + ζ ) − 2 x 2 ( t ) p ( t + ζ ) − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + ∫ t − ζ t ( p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) + p 2 ( s + ζ ) x 2 ( s ) ) Δ s + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t ( p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) + q 2 ( s + u ) x 2 ( s ) ) Δ s ) Δ u + x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + ( ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s ) 2 + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) ( x 2 ( t ) + x 2 ( s ) ) Δ s Δ u
由引理1得
R Δ ( t ) = ( ζ + 1 ) [ ∫ t − ζ t p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) Δ s + ∫ t σ ( t ) p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u − ∫ t − ζ σ ( t ) p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u ] = ( ζ + 1 ) [ ζ p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) − ∫ t − ζ t p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u ]
和
W Δ ( t ) = ( q ¯ + 1 ) [ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q 2 ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t σ ( t ) q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u − ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u σ ( t ) q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u ] = ( q ¯ + 1 ) [ ∫ 0 τ K ( u ) q 2 ( t + u ) x 2 ( t ) u Δ u − ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u ]
同时利用不等式 ( A 1 + A 2 + ⋯ + A n ) 2 ≤ n ( A 1 2 + A 2 2 + ⋯ + A n 2 ) 有
V Δ ( t ) ≤ 2 μ ( t ) x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + 2 μ ( t ) x 2 ( t ) p 2 ( t + ζ ) − 2 x 2 ( t ) p ( t + ζ ) − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + ( ζ 2 + 2 ζ ) p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q 2 ( s + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + ( q ¯ + 1 ) ∫ 0 τ K ( u ) q 2 ( t + u ) x 2 ( t ) u Δ u ≤ x 2 ( t ) [ 2 μ ¯ q ¯ 2 + 2 μ ¯ p ¯ 2 − 2 p ( t + ζ ) − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + ( ζ 2 + 2 ζ ) p ¯ 2 + p ¯ 2 ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u + q ¯ 2 + q ¯ 3 ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u + ( q ¯ 2 + q ¯ 3 ) ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u ] ≤ x 2 ( t ) [ ( 2 μ ¯ + ζ 2 + 2 ζ ) p ¯ 2 + p ¯ 2 ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u − 2 p ( t + ζ ) ] + x 2 ( t ) [ − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 μ ¯ q ¯ 2 + q ¯ 2 + ( 2 q ¯ 3 + q ¯ 2 ) ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u ]
如果 lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = M > ( μ ¯ + τ + 1 2 ) q ¯ 2 + τ q ¯ 3 ,而且 lim t → + ∞ p ( t + ζ ) = N > ( μ ¯ + ζ 2 2 + ζ + τ 2 ) p ¯ 2 则 V Δ ( t ) < 0 当 t → + ∞ 。根据单调有界准则(参看 [
令
∫ T * + ∞ V Δ ( t ) Δ t ≤ − ∫ T * + ∞ α x 2 ( t ) Δ t
于是
∫ T * + ∞ α x 2 ( t ) Δ t < V ( T * ) − ρ < + ∞
所以有 lim t → ∞ x ( t ) = 0 ,定理得证。
在这一部分,文章给出两个例子以验证结论的有效性,并展示了在时标上讨论动力方程的优势。
例1 对方程(1),设 τ = 1 , q ( t ) = 1 3 − 1 t , K ( u ) = 1 ,
1) 考虑 T = R ,则原方程为
x ′ ( t ) + ( 1 3 − 1 t ) ∫ 0 1 x ( t − u ) d u = 0 (10)
显然有 lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = lim t → + ∞ ∫ 0 1 ( 1 3 − 1 t + u ) d u = 1 3 > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 ,根据定理1,(10)的解是全局吸引的。
2) 考虑 T = Z ,在原方程为
x Δ ( t ) + ( 1 3 − 1 t ) ∫ 0 1 x ( t − u ) d u = 0 (11)
显然有 lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = lim t → + ∞ ( 1 3 − 1 t + u ) = 1 3 > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 ,根据定理1,(11)的解是全局吸引的。
例2 对于方程(2),考虑 T = [ 2 k , 2 k + 1 ] , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ ,设 τ = 1 , ζ = 2 , K ( u ) = 1 , p ( t ) = 1 6 − 1 t 2 , q ( t ) = 1 5 − 1 t ,则原方程为
x Δ ( t ) + ( 1 6 − 1 t 2 ) x ( t − ζ ) + ( 1 5 − 1 t ) ∫ 0 1 x ( t − u ) d u = 0 (12)
于是有
lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = { lim t → + ∞ q ( t ) = 1 5 t ∈ [ 2 k + 1 , 2 k + 2 ) lim t → + ∞ ∫ t t + 1 q ( s ) d s = 1 5 t ∈ [ 2 k , 2 k + 1 )
可见 1 5 > ( μ ¯ + τ + 1 2 ) q ¯ + τ q ¯ 3 ,且 lim t → + ∞ p ( t + ζ ) = 1 6 > ( μ ¯ + ζ 2 2 + ζ + τ 2 ) p ¯ 2 ,由定理2,可知(12)是全局吸引的。
本文由福建省中青年教师教育科研项目基金资助(JA15649)。
舒明春,黄振坤. 时标上一类分布时滞线性动力方程的全局吸引性Global Attractivity for a Linear Dynamic Equation with a Distributed Delay on Time Scales[J]. 理论数学, 2017, 07(05): 408-416. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.75053