本文利用弱链对角占优 M-矩阵逆矩阵无穷范数上界的估计式,结合不等式放缩技术,给出弱链对角占优 B-矩阵线性互补问题误差界的一个新估计式。数值算例表明,新估计式改进了现有的几个结果。 In this paper, by the infinity norm bound of inverse matrix of weakly chained diagonally dominant M-matrices, we give a new error bound for the linear complementarity problem when the matrix involved is a weakly chained diagonally dominant B-matrix, which improves some existing ones. Numerical examples are given to show the corresponding results.
井霞,高磊
宝鸡文理学院,数学与信息科学学院,陕西 宝鸡
收稿日期:2017年10月2日;录用日期:2017年10月16日;发布日期:2017年10月24日
本文利用弱链对角占优M-矩阵逆矩阵无穷范数上界的估计式,结合不等式放缩技术,给出弱链对角占优B-矩阵线性互补问题误差界的一个新估计式。数值算例表明,新估计式改进了现有的几个结果。
关键词 :P-矩阵,弱链对角占优B-矩阵,线性互补问题,误差界
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线性互补问题在力学、交通、经济、金融和控制等诸多领域具有广泛应用,如市场均衡问题、最优停止问题、期权定价问题、弹性接触问题和自由边界问题等 [
x ≥ 0 , M x + q ≥ 0 , ( M x + q ) T x = 0
其中 M ∈ R n × n 为实矩阵,实向量 q ∈ R n 。众所周知,当矩阵M为P-矩阵(所有主子式都是正的 [
‖ x − x * ‖ ∞ ≤ max d ∈ [ 0 , 1 ] n ‖ ( I − D + D M ) − 1 ‖ ∞ ‖ r ( x ) ‖ ∞ (1)
其中 r ( x ) = min { x , M x + q } 为向量 x 与 M x + q 对应位置分量最小值, D = d i a g ( d i ) 。不难发现,求解误差界(1)中的最小化问题 max d ∈ [ 0 , 1 ] n ‖ ( I − D + D M ) − 1 ‖ ∞ 十分困难。因此,近年来有众多专家和学者关注于误差界的估计问题,并给出了一些简单易算的估计式 [
令 C n × n ( R n × n )表示所有n阶复矩阵(实矩阵)构成的集合,指标集 N = { 1 , 2 , ⋯ , n } 。设 A = [ a i j ] ∈ R n × n ,对任意的 i , j , k ∈ N , i ≠ j ,记
R i ( A ) = ∑ j ≠ i | a i j | , u i ( A ) = 1 | a i i | ∑ j = i + 1 n | a i j | ,
h l ( k − 1 ) = ∑ j = k l − 1 | a l j | ⋅ h j ( k − 1 ) | a j j | + ∑ j = i + 1 n | a i j | (2)
c k = max k ≤ i ≤ n { h i ( k − 1 ) | a i i | } , k = 1 , 2 , ⋯ , n ,
q k ( A ) = max 1 ≤ i ≤ n − k { | a i + k , k | + ∑ h = k + 1 , h ≠ i + k n | a i + k , k | c k | a i + k , i + k | } , k = 1 , 2 , ⋯ , n .
定义1 [
| a i i | ≥ R i ( A ) ,
且对每个 i ∉ J ( A ) = { i ∈ N : | a i i | > R i ( A ) } ≠ ϕ 存在非零元素链 a i i 1 , a i 1 i 2 , ⋯ , a i r j 满足 j ∈ J ( A ) ,则称A为弱链对角占优矩阵。
定义2 [
B + = [ b i j ] = ( m 11 − r 1 + … m 1 n − r 1 + ⋮ ⋱ ⋮ m n 1 − r n + ⋯ m n n − r n + ) , r i + = max { 0 , m i j | j ≠ i } , (3)
若 B + 为弱链对角占优矩阵且所有的主对角元素皆为正,则称 A 为弱链对角占优矩阵。
文献 [
max d ∈ [ 0 , 1 ] n ‖ ( I − D + D M ) − 1 ‖ ∞ ≤ ∑ i = 1 n n − 1 min { β ¯ i , 1 } ∏ j = 1 i − 1 b j j β ¯ j , (4)
其中 β ¯ i = b i i − ∑ j = i + 1 n | b i j | > 0 且 ∏ j = 1 0 b j j β ¯ j = 1 。
为了给出本文结论,先介绍几个预备引理:
引理1 [
‖ A − 1 ‖ ∞ ≤ max { 1 a 11 ( 1 − u 1 q 1 ) + ∑ i = 2 n [ 1 a i i ( 1 − u i q i ) ∏ j = 1 i − 1 u j ( A ) 1 − u j ( A ) q j ( A ) ] , ∑ i = 2 n q 1 a 11 ( 1 − u 1 q 1 ) + ∑ i = 2 n [ q i a i i ( 1 − u i q i ) ∏ j = 1 i − 1 1 1 − u j q j ] } ,
其中 u j ( A ) , q j ( A ) 如(2)式所定义。
引理2 [
1 1 − x − γ x ≤ 1 min { γ , 1 } , η x 1 − x + γ x ≤ η γ .
本节给出弱链对角占优B-矩阵线性互补问题误差界新的上界估计式,并和现有结果进行比较。首先给出一个引理:
引理3:设矩阵 M = [ m i j ] ∈ R n × n 主对角元全为正,记 M = B + + C ,其中 B + 形如(3)式。令 B D = I − D + D B + = [ b ¯ i j ] ,则对任意的 k = 1 , 2 , ⋯ , n , l = k , k + 1 , ⋯ , n 有
h l ( k − 1 ) ( B D + ) | b ¯ l l | ≤ h l ( k − 1 ) ( B + ) | b l l | ,(5)
其中 h l ( k − 1 ) 如(2)式所定义。
证明:下面利用数学归纳法证明(5)式成立。
情形一:k = 1,此时 l = 1 , 2 , ⋯ , n 。
当l = 1时,
h 1 ( 0 ) ( B D + ) | b ¯ 11 | = d 1 ∑ j = 2 n | b 1 j | 1 − d 1 + d 1 b 11 ≤ ∑ j = 2 n | b 1 j | b 11 = h 1 ( 0 ) ( B + ) | b 11 | ,
假设当 l = i ( 2 < i < n ) 时, h i ( 0 ) ( B D + ) | b ¯ i i | ≤ h i ( 0 ) ( B + ) | b ¯ i i | 式成立,现证 l = i + 1 时(5)式也成立,利用引理2易证
h i + 1 ( 0 ) ( B D + ) | b ¯ i + 1 , i + 1 | = ∑ j = k n | b ¯ i + 1 , j | | b ¯ j j | ⋅ h j ( 0 ) ( B D + ) + ∑ j = i + 2 n | b ¯ i + 1 , j | | b ¯ i + 1 , i + 1 | ≤ h i + 1 ( 0 ) ( B + ) | b i + 1 , i + 1 | .
因此,对于 l = 1 , 2 , ⋯ , n ,有 h l ( 0 ) ( B D + ) | b ¯ l l | ≤ h l ( 0 ) ( B + ) | b 11 | 。
情形二:当 k = 2 , 3 , ⋯ , n 时,同理可证(5)式成立。
综合情形一与情形二,结论成立。
定理1:设 M ∈ R n × n 是弱链对角占优B-阵, M = B + + C ,其中 B + = [ b i j ] 形如(3)式。若 u k ( B + ) q k ( B + ) < 1 , k = 1 , ⋯ , n ,则
max d ∈ [ 0 , 1 ] n ‖ ( I − D + D M ) − 1 ‖ ∞ ≤ ( n − 1 ) ⋅ max { 1 min { α 1 ( B + ) , 1 } + ∑ i = 2 n [ 1 min { α i ( B + ) , 1 } ⋅ ∏ j = 1 n b j j ⋅ u j ( B + ) α i ( B + ) ] , q 1 ( B + ) min { α 1 ( B + ) , 1 } + ∑ i = 2 n [ q i ( B + ) min { α i ( B + ) , 1 } ⋅ ∏ j = 1 i − 1 b j j α j ( B + ) ] } (6)
其中 α i ( B + ) = b i i − ∑ j = i + 1 n | b i j | ⋅ q i ( B + ) , q i ( B + ) 由(2)式所给。
证明:令 M D = I − D + D M ,则
M D = I − D + D M = I − D + D ( B + + C ) = B D + + C D ,其中 B D + = I − D + D B + , C D = D C 。由文献 [
‖ M D − 1 ‖ ∞ ≤ ( n − 1 ) ⋅ ‖ ( B D + ) − 1 ‖ ∞ . (7)
由引理1知
‖ ( B D + ) − 1 ‖ ∞ ≤ max { 1 b ¯ 11 [ 1 − u 1 ( B D + ) q 1 ( B D + ) ] + ∑ i = 2 n [ 1 b ¯ i i [ 1 − u i ( B D + ) q i ( B D + ) ] ⋅ ∏ j = 1 n u j ( B D + ) 1 − u j ( B D + ) q j ( B D + ) ] , q 1 ( B D + ) b ¯ 11 [ 1 − u 1 ( B D + ) q 1 ( B D + ) ] + ∑ i = 2 n [ q i ( B D + ) b ¯ i i [ 1 − u i ( B D + ) q i ( B D + ) ] ⋅ ∏ j = 1 i − 1 1 1 − u j ( B D + ) q j ( B D + ) ] } .
由引理2和引理3,得
u i ( B D + ) = ∑ j = i + 1 n | b i j | d i 1 − d i + b i i d i ≤ ∑ j = i + 1 n | b i j | b i i = u i ( B + ) ,
q k ( B D + ) = max 1 ≤ i ≤ n − k { | b ¯ i + k , k | + ∑ h = k + 1 , h ≠ i + k n | b ¯ i + k , h | ⋅ c ¯ k | b ¯ i + k , i + k | } ≤ max 1 ≤ i ≤ n − k d i + k [ | b i + k , k | + ∑ h = k + 1 , h ≠ i + k n | b i + k , h | ⋅ c k ] 1 − d i + k , i + k + d i + k , i + k | b i + k , i + k | ≤ max 1 ≤ i ≤ n − k { | b i + k , k | + ∑ h = k + 1 , h ≠ i + k n | b i + k , h | ⋅ c k | b i + k , i + k | } = q k ( B + ) ,
1 b ¯ i i [ 1 − u i ( B D + ) ⋅ q i ( B D + ) ] = 1 b ¯ i i − b ¯ i i ⋅ u i ( B D + ) ⋅ q i ( B D + ) ≤ 1 b ¯ i i − ∑ j = i + 1 n | b ¯ i j | ⋅ q i ( B + ) ≤ 1 min { b i i − ∑ j = i + 1 n | b i j | ⋅ q i ( B + ) , 1 } = 1 min { α i ( B + ) , 1 } ,
及
1 1 − u j ( B D + ) ⋅ q j ( B D + ) ≤ b j j b j j − ∑ k = j + 1 n | b j k | ⋅ q j ( B + ) = b j j α j ( B + ) .
则
‖ ( B D + ) − 1 ‖ ∞ ≤ max { 1 min { α 1 ( B + ) , 1 } + ∑ i = 2 n [ 1 min { α i ( B + ) , 1 } ⋅ ∏ j = 1 n b j j ⋅ u j ( B + ) α i ( B + ) ] , q 1 ( B + ) min { α 1 ( B + ) , 1 } + ∑ i = 2 n [ q i ( B + ) min { α i ( B + ) , 1 } ⋅ ∏ j = 1 i − 1 b j j α j ( B + ) ] } .(8)
由(7)式和(8)式可知,(6)式成立。
例:考虑弱链对角占优B-矩阵 [
M = [ 1. 5 0. 2 0. 4 0. 5 − 0 .1 1.5 0.5 0.1 0.5 − 0.1 1.5 0.1 0.4 0.4 0.8 1.8 ] ,
令 M = B + + C ,其中
B + = [ 1 − 0. 3 − 0.1 0 − 0.6 1 0 − 0.4 0 − 0.6 1 − 0.4 − 0.4 − 0.4 0 1 ] .
由(4)式得
max d ∈ [ 0 , 1 ] 4 ‖ ( I − D + D M ) − 1 ‖ ∞ ≤ 41 .1111 ,
由文献 [
max d ∈ [ 0 , 1 ] 4 ‖ ( I − D + D M ) − 1 ‖ ∞ ≤ 38 .6334 ,
由应用定理1中的(6)式得
max d ∈ [ 0 , 1 ] 4 ‖ ( I − D + D M ) − 1 ‖ ∞ ≤ 10 .4724 .
显然,(7)式优于(4)式和文献 [
陕西省自然科学基础研究计划项目(2017JQ3020);陕西省高校科协青年人才托举基金(20160234);宝鸡文理学院重点项目(ZK2017095, ZK2017021)。
井霞,高磊. 弱链对角占优B-矩阵线性互补问题误差界的新估计式A New Error Bound for Linear Complementarity Problems for Weakly Chained Diagonally Dominant B-Matrices[J]. 应用数学进展, 2017, 06(07): 850-856. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.67102