本文对相交形式为E8⊕E8⊕E8⊕E8 的四维流形上的周期为3的自同构进行研究,利用G-符号差定理,考察其上周期为3的自同构作用含二维不动分支的情形,给出不可实现为局部线性作用的整表示,并给出同调平凡以及其他整表示的不动点类型的例子。 In this essay, we concentrate on the automorphisms on the E8⊕E8⊕E8⊕E8 4-manifold with period 3. Using G-signature theorem, we investigate possible integral representations of fixed point set with two-dimensional components under such automorphisms. We eliminate some re-presentations that cannot be realized, and study some examples of the homologically trivial and others cases about the possible datum of fixed point sets.
吴语来
海南大学,海南 海口
收稿日期:2017年10月27日;录用日期:2017年11月11日;发布日期:2017年11月17日
本文对相交形式为 E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 的四维流形上的周期为3的自同构进行研究,利用G-符号差定理,考察其上周期为3的自同构作用含二维不动分支的情形,给出不可实现为局部线性作用的整表示,并给出同调平凡以及其他整表示的不动点类型的例子。
关键词 :四维流形,自同构,群表示,不动点
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E 8 格点是李代数和拓扑一个非常特殊和神秘的例子。Edmonds [
定理2.1:(Curtis and Reiner [
1) 平凡部分(1维):Z,G作用平凡;
2) 割圆部分( p − 1 维): Z [ μ p ] ,G在 Z [ μ p ] 任意非零理想J上的作用为 μ p 的乘法;
3) 正则部分( p 维): Z [ Z p ] ,G作用为对基向量的置换,即 Z [ μ p ] 中非零理想J的原像, Z [ G ] 的 J ˜ 上作用为 Z [ G ] → Z [ μ p ] 自然映射 g → μ p 。
这里 μ p ≡ exp ( 2 π i / p ) 为 p 重单位根。
定理2.1源于Curtis 和Reiner 的论述(见 [
简言之,G在M上的作用对应的二阶上同调整表示可以直和分解为:
H 2 ( M ) = Z [ Z p ] r ⊕ Z [ μ p ] c ⊕ Z t ( r , c , t 为非负整数)。
定理2.2:当 p = 3 时, M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上所有可能的素自同构的表示为:
Z [ Z 3 ] ⊕ Z 29 , Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z 26 , Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z 23 , Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z 20 , Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z 17 , Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z 14 , Z [ Z 3 ] 7 ⊕ Z 11 ,
Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z 8 ; Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 28 , Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 25 , Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 22 , Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 19 ,
Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 16 , Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 13 , Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 10 , Z [ Z 3 ] 7 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 7 ,
Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 4 ; Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 24 , Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 21 , Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 18 ,
Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 15 , Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 12 , Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 9 , Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 6 ,
Z [ Z 3 ] 7 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 3 , Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ; Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 20 , Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 17 , Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 14 ,
Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 11 , Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 8 , Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 5 , Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 2 ;
Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 16 , Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 13 , Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 10 , Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 7 ,
Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 4 , Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z ; Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 12 , Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 9 ,
Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 6 , Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 3 , Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ; Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 8 ,
Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 5 , Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 2 ; Z [ μ 3 ] 14 ⊕ Z 4 , Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 14 ⊕ Z ; Z [ μ 3 ] 16 。
证明:由整表示的直和分解,设 H 2 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) = Z [ Z 3 ] r ⊕ Z [ μ 3 ] c ⊕ Z t ,有 3 r + 2 c + t = 32 。又由 E 8 不可分,排除 Z [ Z 3 ] 9 ⊕ Z 5 , Z [ Z 3 ] 10 ⊕ Z 2 , Z [ Z 3 ] 9 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 的情形即证。
定理2.3:(Edmonds 和Ewing) [
由定理2.2,观察 E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 的素自同构,整表示为 Z [ Z 3 ] r ⊕ Z t 型的情形皆不满足上述定理的条件。由此, E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 上 Z [ Z 3 ] r ⊕ Z t 型的整表示不可以由局部线性伪自由的周期为 p = 3 的同构实现。以下重点考虑不动点集 M G 含二维不动分支的整表示的情形。
Edmonds [
1) β 1 ( M G ) = c ;
2) β 0 ( M G ) + β 2 ( M G ) = t + 2 ;
3) χ ( M G ) = t − c + 2 ;
4) 若 c = 0 ,则 M G 中所有的2-维分支皆为2-球面;
5) 若 M G 不是纯2-维的,那么 M G 中的2-维分支代表 H 2 ( M ; Z p ) 上的无关元。若 M G 是纯2-维的,且有k个2-维分支,则2-维分支可以张成 H 2 ( M ; Z p ) 一个维数不低于k − 1的子空间,其中任意k − 1个分支都代表无关元。
由上5)可知,本节考虑的情形中,不动点集中的所有的2-维分支都代表非零的同调类,使得它们都有偶的非负的标准欧拉类。
主要工具有G-符号差公式和Lefchetz不动点定理。
G-符号差公式 [
sign ( T , ( V , Φ ) ) = trace [ T ∗ : H 2 ( M ) → H 2 ( M ) ] = ∑ i ( μ a i + 1 ) ( μ b i + 1 ) ( μ a i − 1 ) ( μ b i − 1 ) − ∑ j 4 η i μ e j ( μ e j − 1 ) 2
三角形式为:
sign ( T , ( V , Φ ) ) = ∑ i − cot ( a i π p ) cot ( b i π p ) + ∑ Y csc 2 ( c Y π p ) ( Y ⋅ Y )
一个较弱版本的G-符号差公式 [
| G | ⋅ sign ( M / G ) = sign ( M ) + ∑ m ∈ M G def m + ∑ Y ∈ M G def Y
这里,符号差的亏值defm和defY为:
def m = ∑ i ( 1 + μ p a i ) ( 1 + μ p b i ) ( 1 − μ p a i ) ( 1 − μ p b i ) , def Y = p 2 − 1 3 ( Y ⋅ Y )
其中, ( a i , b i ) 为m处的不动点类型, ( Y ⋅ Y ) 为二维不动分支Y的自相交数。
定理3.1:(Lefschetz不动点定理 [
L ( T ; M ) = ∑ 0 4 ( − 1 ) k tr ( g ) | H k ( M ; Z )
以下我们对相交形式为 E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 的四维流形上周期为3的自同构作用的整表示类型进行讨论。
定理3.2: M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上没有周期为3的自同构,整表示为
Z [ Z 3 ] 7 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 3 , Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 , Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 8 , Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 5 ,
Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 2 , Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 7 , Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 4 , Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z ,
Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 9 , Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 6 , Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 3 , Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 8 ,
Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 5 , Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 2 , Z [ μ 3 ] 14 ⊕ Z 4 , Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 14 ⊕ Z 。
证明: ,选择适当的生成元,记符号差为 σ , χ 为欧拉数。设(1,1)型的不动点有 x 个,每个贡献亏值为−1/3;(1,2)型的不动点有 y 个,每个贡献亏值为1/3;2维不动分支的欧拉数总和为 e ,个数为 k 。
由G-符号差公式和Lefschetz不动点定理,有
{ σ = − 1 3 x + 1 3 y + 4 3 e χ = x + y + 2 k
σ , χ 在每组整表示中对应的情形不同,则可能的不动点集的情形也不同,以 σ , χ 为变量,得到导出组的基础解系为 ( − 1 , − 1 , 0 , 1 ) T , ( 2 − 2 , 1 , 0 ) T ,特解为
( − 2 σ + χ 2 , 2 σ + χ 2 , 0 , 0 ) T
在通解为
k 1 ( − 1 − 1 0 1 ) + k 2 ( 2 − 2 1 0 ) + ( − 2 σ + χ 2 2 σ + χ 2 0 0 )
整表示中 e 正定,且 e ≥ 2 k ,考察定理2.2的所有整表示类型,得到所有无解的情形,如定理3.2所述。故以上整表示不可实现 M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上周期为3的局部线性作用。
特别的,我们给出同调平凡的例子。
当作用是同调平凡的时候, M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的情形下,适当选取生成元,由符号差定理和不动点公式,有:
{ 32 = − 1 3 x + 1 3 y + 4 3 e 34 = x + y + 2 k
寻找 e ≥ 2 k > 0 ,且 e , k 为整数解, e 为偶数,得到所有的整数解对 { e , k } 如下:
可以看出,这并不是一个同调平凡作用刚性的例子。
以 Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 12 和 Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 4 为例,给出不动点类型。
命题3.3:当表示为 Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 12 时, M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的不动点可能为:
1) 一个欧拉数为2的环面,5个(1,1)型不动点,7个(1,2)型不动点;
2) 一个欧拉数为4的环面,11个(1,1)型不动点,1个(1,2)型不动点;
3) 一个环面和一个球面,欧拉数之和为4,10个(1,1)型不动点。
证明:适当选择生成元,符号差为2,设(1,1)型的不动点有 x 个,每个贡献亏值为−1/3;(1,2)型的不动点有 y 个,每个贡献亏值为1/3;2维不动分支的欧拉数总和为 e ,个数为 k 。由不动点定理, x + y + 2 k = 14 。由G-符号差定理,有
2 = − 1 3 x + 1 3 y + 4 3 e
考察 e ≥ 2 k > 0 ,且 e , k 为整数的所有解,如下
{ e = 2 , k = 1 } , { e = 3 , k = 1 } , { e = 4 , k = 1 } , { e = 4 , k = 2 } , { e = 5 , k = 1 }
注意到 e 为偶数,去掉 e = 3,5 的情形,得到所有的整数解为
e = 2 , k = 1 , x = 5 , y = 7 ; e = 4 , k = 1 , x = 11 , y = 1 ; e = 4 , k = 2 , x = 10 , y = 0
即当表示为 Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 12 的情形时, M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的所有不动点可能为:
1) 一个欧拉数为2的环面,5个(1,1)型不动点,7个(1,2)型不动点;
2) 一个欧拉数为4的环面,11个(1,1)型不动点,1个(1,2)型不动点;
3) 一个环面和一个球面,欧拉数之和为4,10个(1,1)型不动点。
命题3.4:当表示为 Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 4 时, M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的所有不动点可能为:
一个欧拉数为2的环面,亏格为1,以及3个(1,1)型不动点,1个(1,2)型不动点。
证明:适当选择生成元,有符号差为2,由设(1,1)型的不动点有 x 个,每个贡献亏值为−1/3;(1,2)型的不动点有 y 个,每个贡献亏值为1/3;2维不动分支的欧拉数总和为 e ,个数为 k 。且由不动点定理, x + y + 2 k = 6 。由G-符号差定理,有
2 = − 1 3 x + 1 3 y + 4 3 e
得到 e ≥ 2 k > 0 ,且 e , k 为整数的所有解,如下
{ e = 2 , k = 1 } , { e = 3 , k = 1 }
注意到 e 为偶数,去掉 e = 3 的情形,得到所有的整数解为 e = 2 , k = 1 , x = 3 , y = 1 ,即当表示为 Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 4 的情形时, M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的所有不动点可能为:
一个欧拉数为2的环面,亏格为1,以及3个(1,1)型不动点,1个(1,2)型不动点。
其他表示的不动点集情形亦可类似给出。
国家自然科学基金天元专项(No.11526066);海南省自然科学基金(No.20151001)。
吴语来. E8⊕E8⊕E8⊕E8 流形上周期为3的自同构 Automorphisms of the E8⊕E8⊕E8⊕E8 Manifold with Period 3[J]. 理论数学, 2017, 07(06): 464-470. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.76061