本文用初等方法考虑一元多项式环 Z[x]上的素理想、极大理想。进而得到 Z[x]的Krull维数为2。 Using elementary method, we get all the prime ideals of integral domain Z[x] , which give an ex-plicit proof of a result in Mumford’s red book. We get the Krull dimension 2 of Z[x] by direct computation as a by-product.
焦荣政
扬州大学数学科学学院,江苏 扬州
收稿日期:2017年11月4日;录用日期:2017年11月17日;发布日期:2017年11月23日
本文用初等方法考虑一元多项式环 ℤ [ x ] 上的素理想、极大理想。进而得到 ℤ [ x ] 的Krull维数为2。
关键词 :整环,素理想,极大理想,Krull维数,欧几里得整环
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有理整系数上一元多项式环 ℤ [ x ] 上的所有素理想是一个很有意思的问题。一个整系数多项式在 ℤ [ x ] 上生成的理想是不是 ℤ [ x ] 上的素理想有一些判别法则。如标准的Eisenstein判别法
定理1: f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 是一个整系数多项式。如果满足:
1) p 不是 a n 的因子;2) p 是 a n − 1 , a n − 2 , ⋯ , a 1 , a 0 的因子;3) p 2 不是 a 0 的因子。
则 f ( x ) 是 ℤ [ x ] 中的不可约多项式。
再列举其它一些看上去比较简洁的判别准则。
A. Cohn也有一个经典判别准则:
定理2:如果将素数 p 表示成十进制则 p = a m 10 m + a m − 1 10 m − 1 + ⋯ + a 0 ,则
则 f ( x ) = a m x m + a m − 1 x m − 1 + ⋯ + a 0 在 ℤ [ x ] 上不可约。(文献 [
1981年Brillhart, Filaseta, Odlyzko [
定理3:如果将素数 p 表示成 b -进制 p = a m b m + a m − 1 b m − 1 + ⋯ + a 0 ,则
则 f ( x ) = a m x m + a m − 1 x m − 1 + ⋯ + a 0 在 ℤ [ x ] 上不可约。
M. R. Murty [
2000年M. Cavachi [
定理4: f ( x ) , g ( x ) 是 ℤ [ x ] 中互素的多项式,且 deg f ( x ) < deg g ( x ) ,则
f ( x ) + p g ( x ) 在 ℤ [ x ] 上除了有限个素数 p 外不可约。
2006年A. I. Bonciocat 与N. C. Bonciocat [
定理5:设 f ( x ) = p m a n x n + p e a n − 2 x n − 2 + a n − 3 x n − 3 + ⋯ + a 0 是整系数多项式。
其中 p 是素数, n ≥ 3 。且 a 0 , a n − 2 , a n 均不是0;而 a n − 2 , a n 都不是 p 的倍数。如果
p m > | a n a n − 2 | p 3 e + ∑ i = 3 n | a n i − 1 a n − i | p i e ,且 m 与 e 的奇偶性不同。则 f ( x ) 在 ℤ [ x ] 上不可约。
2013年J. Harrington与L. Jones [
定理6:设 f ( x ) = x n + k n − 1 x n − 1 + ⋯ + k 1 x + k 0 是整系数多项式。这里 3 ≤ k n − 1 ≤ k n − 2 ≤ k 1 ≤ k 0 ≤ 2 k n − 1 − 3 。则 f ( x ) 与 f ( x 2 ) 在 ℤ [ x ] 上不可约。
由这些判别准则中任何一个,我们都可以造出 ℤ [ x ] 中有无穷多个不可约多项式。
如果 g ( x ) 是 ℤ [ x ] 中的不可约多项式,容易知道由 g ( x ) 在 ℤ [ x ] 中生成的主理想 ( g ( x ) ) 是 ℤ [ x ] 中的素理想,也就有商环 Z [ x ] / ( g ( x ) ) 是整环。但我们知道,整环 ℤ [ x ] 不是主理想环,比如容易验证 ℤ [ x ] 中由2和一个整系数多项式 x 3 + 2 x + 1 生成的理想 ( 2 , x 3 + 2 x + 1 ) 就不是由一个整系数多项式生成的主理想。另一个有意思的问题, ℤ [ x ] 中所有的素理想是些什么样子?
1) ℤ ⊂ ℤ [ x ] , ℤ 中的素数 p 是其中的素元,当然是 中不可约的。看成 ℤ [ x ] 中的元素时,在 ℤ [ x ] 中也是不可约的。所以其生成的理想看成 ℤ [ x ] 的理想时也是 ℤ [ x ] 中的素理想。所以{(p)│p是素数}是 ℤ [ x ] 中的素理想。
另外,由于 ℤ [ x ] 是整环,所以零理想是 ℤ [ x ] 中的素理想。代数几何中将 ℤ [ x ] 中的零理想看成 ℤ [ x ] 的广点(generic point)。
2) 如果 g ( x ) 是 ℤ [ x ] 中的不可约多项式,则由它生成的主理想 ( g ( x ) ) 是 ℤ [ x ] 中的素理想。
再来细究 ℤ [ x ] 中的极大理想 M ,也就是在什么情形下,商环 F = ℤ [ x ] / ( M ) 是一个域。我们先来考虑域F的特征char(F)。熟知一个域的特征是0或者一个素数q。首先我们来说明域 F = ℤ [ x ] / ( M ) 的特征char(F)不可能是0。这是因为 ℤ ⊂ ℤ [ x ] ,如果 char ( F ) = 0 ,则有 F ⊃ ℚ ,这显然不对,因为分数跑到整数之外了,故域F的特征只能是素数q。
可以做作自然同态映射 F = ℤ [ x ] / ( M ) 到 F ¯ = ℤ q [ x ] / ( M ¯ ) ,实际上就是通常的整系数一元多项式模q映射,其中 M ¯ 是 M 在 ℤ q [ x ] 中的系数模q的自然像。显然域 F 到 F ¯ 的自然同态是满同态。由于 ℤ q [ x ] / ( M ¯ ) 是域,这样理想 M ¯ 是整环 ℤ q [ x ] 的极大理想,因而是素理想。顺便说一句,因为有限整环是域,所以整环 ℤ q [ x ] 的素理想与极大理想本质上是一回事。注意到 ℤ q [ x ] 是有限域 ℤ q 上的一元多项式环,抽象代数里基本结果告诉我们,域上一元多项式环是欧几里得整环,从而是主理想整环,也就是 M ¯ 是整环 ℤ q [ x ] 中的一个不可约多项式。任取此多项式在自然同态下的一个原像,容易用反证法证明该原像是 ℤ [ x ] 中的一个不可约多项式,至此我们已经证明了 ℤ [ x ] 中的极大理想 M = ( q , f ( x ) ) 。
3) ℤ [ x ] 中的极大理想形如 M = ( q , f ( x ) ) ,其中了 q 是素数, f ( x ) 是 ℤ [ x ] 中的一个不可多项式,且 f ( x ) 模q是 ℤ q [ x ] 中的不可约多项式。
上面实际就给出D. Munford名著 [
十九世纪末德国学派将代数集的维数定义为其函数域的超越次数,而上世纪40年代以来至今代数几何里采用的Krull维数:即函数环中素理想列的最大长度。
设P是环R的素理想,则素理想列 P = P 0 ⊋ P 1 ⊋ ⋯ 的长度上界称为P的高度,记为 h t ( P ) 。对任一个理想 I ⊊ R ,称 inf I ⊂ P h t ( P ) 为理想I的高度 这里的P是R中素理想。R中素理想列的长度的上界称为环R的Krull维数,记为dim(R)。
由上节直接的讨论,我们知道 ℤ [ x ] 中的素理想列长度达到上确界2的链为 0 ⊊ ( q ) ⊊ ( q , f ( x ) ) ,这里 是 ℤ [ x ] 中的不可约多项式,且多项式 f ( x ) 模 q 后是 ℤ q [ x ] 中的一个不可约多项式。这样就有 ℤ [ x ] 的素理想列长度上确界为2。也就是整环 ℤ [ x ] 的Krull维数是2。我们这里给出的是最直接的方法来计算 ℤ [ x ] 的Krull维数。交换代数里面有更一般的结果,那涉及很专业的交换代数方法与技巧,有兴趣的可参看 [
本工作得到江苏高校品牌专业工程资助(No. PPZY2015B109)。并感谢审稿人提出有益的修改意见。
焦荣政. Z[x]的素理想与Krull维数Prime Ideals and Krull Dimension of Z[x][J]. 应用数学进展, 2017, 06(08): 942-945. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.68113