利用微分求积法对受横向载荷和轴向载荷联合作用的粘弹性悬臂梁的非线性动力学偏微分控制方程直接离散求解,并提出了一种新的边界条件施加方法处理悬臂梁的边界条件。在数值结果的基础上结合非线性动力学理论,利用分叉图,时间历程图,相图等对受横向载荷和轴向载荷联合作用的粘弹性悬臂梁的非线性动力学特性进行了分析。由以上图形得到的其非线性动力学性质是一样的,因而表明微分求积法以及施加边界条件的新方法能够有效地用来分析悬臂梁结构的非线性动力学性质。 In this paper, a differential quadrature method (DQM) is developed to study the nonlinear dy-namic behaviors of a viscoelastic cantilever beam subjected to transverse loads and axial loads. The partial differential nonlinear governing equation of the cantilever beam is discretized in space region using DQM. For the boundary conditions of the cantilever beam, a new method is proposed to deal with the boundary conditions. Based on the numerical results, the nonlinear dynamical behaviors, such as the bifurcations and chaotic motions of the viscoelastic cantilever beam, are investigated by using the bifurcation diagrams, Poincare maps and phase portraits. It is drawn the conclusion from numerical simulation results that the DQM and a new method of applying the boundary conditions can be effectively used to analyze the nonlinear dynamics properties of cantilever beam structures.
吴鹦泽,王冬梅
天津科技大学理学院,天津
收稿日期:2018年1月17日;录用日期:2018年1月31日;发布日期:2018年2月7日
利用微分求积法对受横向载荷和轴向载荷联合作用的粘弹性悬臂梁的非线性动力学偏微分控制方程直接离散求解,并提出了一种新的边界条件施加方法处理悬臂梁的边界条件。在数值结果的基础上结合非线性动力学理论,利用分叉图,时间历程图,相图等对受横向载荷和轴向载荷联合作用的粘弹性悬臂梁的非线性动力学特性进行了分析。由以上图形得到的其非线性动力学性质是一样的,因而表明微分求积法以及施加边界条件的新方法能够有效地用来分析悬臂梁结构的非线性动力学性质。
关键词 :微分求积法,偏微分控制方程,悬臂梁,分叉,混沌
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许多机械、航空航天等工程结构都可以简化为悬臂梁结构模型,如机器人柔性机械臂、卫星天线、压电能源采集器、飞机的机翼、叶轮机和涡轮发动机叶片、直升机旋翼以及太阳能帆板等。随着科学技术的发展,现代工程结构向大型、高速、轻结构等方向发展。因此,研究悬臂结构的非线性动力学性质具有重大意义。
悬臂梁的非线性动力学控制方程大多是多个非线性项耦合的高阶非线性偏微分方程(组),众所周知对于大多数的偏微分方程是很难求出精确解的,尤其是非线性的。由于实际的需要,必须采用近似方法。中外学者采用各种近似方法对悬臂梁结构的非线性动力学性质作了大量的研究。Nayfeh和Pai用Galerkin方法和多尺度方法 [
以上文献大部分采用Galerkin方法研究悬臂梁结构的非线性动力学特性,而很少有学者用微分求积(DQ)法对悬臂梁的非线性动力学性质进行分析。Galerkin方法是基于变分原理将原问题转化为求泛函的极小值的一种近似方法。用Galerkin方法求解会遇到许多原则性的困难,主要有:1) 试函数的选取,也就是我们常说的取模态;2) Galerkin方程的形成需要大量的积分,当取的项较多时,非线性项的显式表达式很难求出。因此大部分非线性动力学问题用伽辽金方法分析时仅提取有限的低阶振型函数近似处理,因而具有一定的局限性。微分求积法是近几十年发展起来的一种求解偏微分方程的数值近似方法,其基本原理是由美国学者 [
1987年Bert首次 [
粘弹性悬臂梁的动力学模型如图1所示,粘弹性悬臂梁受到横向载荷 F = F 0 sin ω t 和轴向载荷 P 的联合作用。假设梁的长度为 L ,截面积为 A ,密度为 ρ 。 η 是粘弹系数, E 是杨氏模量, J y 是截面惯性矩。假设轴向载荷 P 在常态 P 0 上有一小的扰动
根据Kelvin粘弹本构关系和哈密顿原理,建立粘弹性梁悬臂梁的横向振动控制方程如下:
ρ A v , t t + J y ( E v , x x x x + η v , x x x x t ) = P A v , x x + 3 2 E A v , x 2 v , x x + η A ( 2 v , x v , x t v + , x x v , x 2 v , x x t ) + F 0 sin ω t (1)
边界条件
x = 0 : v ( 0 , t ) = 0 , ∂ v ∂ x ( 0 , t ) = 0 , (2a)
x = L : ∂ 2 v ∂ x 2 ( L , t ) = 0 , ∂ 3 v ∂ x 3 ( L , t ) = 0 .(2b)
图1. 粘弹性悬臂梁模型
微分求积法的基本原理是将函数在求解区域内的每个网格点处的导数值用域内全部网格点上的函数值的加权线性和近似表示。关于微分求积法的理论在文献 [
假设梁的长度 = 1 m,则方程(1)的求解区间为 [ 0 , 1 ] 。在区间 [ 0 , 1 ] 上取 N 个互异节点 0 = x 1 < x 2 < ⋯ < x N − 1 < x N = 1 。取 N = 11 ,节点坐标如下
x i = ( 1 2 ) [ 1 − cos ( i − 1 ) π N − 1 ] , ( i = 1 , 2 , ⋯ , N ) . (3)
利用微分求积法则,方程中的未知函数在各节点处的各阶导数值表示如下
v , x ( x i , t ) = ∑ j = 1 N a i j ( 1 ) v ( x j , t ) , v , x x ( x i , t ) = ∑ j = 1 N a i j ( 2 ) v ( x j , t ) , v , x x x ( x i , t ) = ∑ j = 1 N a i j ( 3 ) v ( x j , t ) v , x x x x ( x i , t ) = ∑ j = 1 N a i j ( 4 ) v ( x j , t ) , v , x t ( x i , t ) = ∑ j = 1 N a i j ( 1 ) v ˙ ( x j , t ) , v , x x t ( x i , t ) = ∑ j = 1 N a i j ( 2 ) v ˙ ( x j , t ) , v , x x x x t ( x i , t ) = ∑ j = 1 N a i j ( 4 ) v ˙ ( x j , t ) (4)
其中 a i j ( 1 ) , a i j ( 2 ) , a i j ( 3 ) , a i j ( 4 ) 分别是微分求积法中一阶导数、二阶导数、三阶导数、四阶导数的权系数, v ˙ ( x i , t ) 表示函数 v ( x , t ) 在各节点处对时间 t 的一阶导数。(4)式写成矩阵的形式如下
[ v , x ( x 1 , t ) v , x ( x 2 , t ) ⋮ v , x ( x N − 1 , t ) v , x ( x N , t ) ] = [ a 11 ( 1 ) a 12 ( 1 ) ⋯ a 1 , N − 1 ( 1 ) a 1 , N ( 1 ) a 21 ( 1 ) a 22 ( 1 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 1 ) a 2 , N ( 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 1 ( 1 ) a N − 1 , 2 ( 1 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 1 ) a N − 1 , N ( 1 ) a N , 1 ( 1 ) a N , 2 ( 1 ) ⋯ a N , N − 1 ( 1 ) a N , N ( 1 ) ] ︸ A ( 1 ) × [ v ( x 1 , t ) v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] (5a)
[ v , x x ( x 1 , t ) v , x x ( x 2 , t ) ⋮ v , x x ( x N − 1 , t ) v , x x ( x N , t ) ] = [ a 11 ( 2 ) a 12 ( 2 ) ⋯ a 1 , N − 1 ( 2 ) a 1 , N ( 2 ) a 21 ( 2 ) a 22 ( 2 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 2 ) a 2 , N ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 1 ( 2 ) a N − 1 , 2 ( 2 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 2 ) a N − 1 , N ( 2 ) a N , 1 ( 2 ) a N , 2 ( 2 ) ⋯ a N , N − 1 ( 2 ) a N , N ( 2 ) ] ︸ A ( 2 ) × [ v ( x 1 , t ) v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] (5b)
[ v , x x x ( x 1 , t ) v , x x x ( x 2 , t ) ⋮ v , x x x ( x N − 1 , t ) v , x x x ( x N , t ) ] = [ a 11 ( 3 ) a 12 ( 3 ) ⋯ a 1 , N − 1 ( 3 ) a 1 , N ( 3 ) a 21 ( 3 ) a 22 ( 3 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 3 ) a 2 , N ( 3 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 1 ( 3 ) a N − 1 , 2 ( 3 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 3 ) a N − 1 , N ( 3 ) a N , 1 ( 3 ) a N , 2 ( 3 ) ⋯ a N , N − 1 ( 3 ) a N , N ( 3 ) ] ︸ A ( 3 ) × [ v ( x 1 , t ) v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] (5c)
[ v , x x x x ( x 1 , t ) v , x x x x ( x 2 , t ) ⋮ v , x x x x ( x N − 1 , t ) v , x x x x ( x N , t ) ] = [ a 11 ( 4 ) a 12 ( 4 ) ⋯ a 1 , N − 1 ( 4 ) a 1 , N ( 4 ) a 21 ( 4 ) a 22 ( 4 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 4 ) a 2 , N ( 4 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 1 ( 4 ) a N − 1 , 2 ( 4 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 4 ) a N − 1 , N ( 4 ) a N , 1 ( 4 ) a N , 2 ( 4 ) ⋯ a N , N − 1 ( 4 ) a N , N ( 4 ) ] ︸ A ( 4 ) × [ v ( x 1 , t ) v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] (5d)
[ v , x t ( x 1 , t ) v , x t ( x 2 , t ) ⋮ v , x t ( x N − 1 , t ) v , x t ( x N , t ) ] = [ a 11 ( 1 ) a 12 ( 1 ) ⋯ a 1 , N − 1 ( 1 ) a 1 , N ( 1 ) a 21 ( 1 ) a 22 ( 1 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 1 ) a 2 , N ( 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 1 ( 1 ) a N − 1 , 2 ( 1 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 1 ) a N − 1 , N ( 1 ) a N , 1 ( 1 ) a N , 2 ( 1 ) ⋯ a N , N − 1 ( 1 ) a N , N ( 1 ) ] ︸ A ( 1 ) × [ v ˙ ( x 1 , t ) v ˙ ( x 2 , t ) ⋮ v ˙ ( x N − 1 , t ) v ˙ ( x N , t ) ] (5e)
[ v , x x t ( x 1 , t ) v , x x t ( x 2 , t ) ⋮ v , x x t ( x N − 1 , t ) v , x x t ( x N , t ) ] = [ a 11 ( 2 ) a 12 ( 2 ) ⋯ a 1 , N − 1 ( 2 ) a 1 , N ( 2 ) a 21 ( 2 ) a 22 ( 2 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 2 ) a 2 , N ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 1 ( 2 ) a N − 1 , 2 ( 2 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 2 ) a N − 1 , N ( 2 ) a N , 1 ( 2 ) a N , 2 ( 2 ) ⋯ a N , N − 1 ( 2 ) a N , N ( 2 ) ] ︸ A ( 2 ) × [ v ˙ ( x 1 , t ) v ˙ ( x 2 , t ) ⋮ v ˙ ( x N − 1 , t ) v ˙ ( x N , t ) ] (5f)
[ v , x x x x t ( x 1 , t ) v , x x x x t ( x 2 , t ) ⋮ v , x x x t ( x N − 1 , t ) v , x x x t ( x N , t ) ] = [ a 11 ( 4 ) a 12 ( 4 ) ⋯ a 1 , N − 1 ( 4 ) a 1 , N ( 4 ) a 21 ( 4 ) a 22 ( 4 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 4 ) a 2 , N ( 4 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 1 ( 4 ) a N − 1 , 2 ( 4 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 4 ) a N − 1 , N ( 4 ) a N , 1 ( 4 ) a N , 2 ( 4 ) ⋯ a N , N − 1 ( 4 ) a N , N ( 4 ) ] ︸ A ( 4 ) × [ v ˙ ( x 1 , t ) v ˙ ( x 2 , t ) ⋮ v ˙ ( x N − 1 , t ) v ˙ ( x N , t ) ] (5g)
由于在端点 x = 0 处,未知函数的一阶导数为0,即 v , x ( x 1 , t ) = 0 ,因此 A ( 1 ) 的第一行为0。同理,在端点 x = l 处,未知函数的二阶导数为0,即 v , x x ( x N , t ) = 0 ,因此 A ( 2 ) 的最后一行为0。一阶导数和二阶导数的权系数矩阵分别修正 [
[ 0 v , x ( x 2 , t ) ⋮ v , x ( x N − 1 , t ) v , x ( x N , t ) ] = [ 0 0 ⋯ 0 0 a 21 ( 1 ) a 22 ( 1 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 1 ) a 2 , N ( 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 1 ( 1 ) a N − 1 , 2 ( 1 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 1 ) a N − 1 , N ( 1 ) a N , 1 ( 1 ) a N , 2 ( 1 ) ⋯ a N , N − 1 ( 1 ) a N , N ( 1 ) ] ︸ A ˜ ( 1 ) × [ v ( x 1 , t ) v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] (6)
[ v , x x ( x 1 , t ) v , x x ( x 2 , t ) ⋮ v , x x ( x N − 1 , t ) 0 ] = [ a 11 ( 2 ) a 12 ( 2 ) ⋯ a 1 , N − 1 ( 2 ) a 1 , N ( 2 ) a 21 ( 2 ) a 22 ( 2 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 2 ) a 2 , N ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 1 ( 2 ) a N − 1 , 2 ( 2 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 2 ) a N − 1 , N ( 2 ) 0 0 ⋯ 0 0 ] ︸ A ˜ ( 2 ) × [ v ( x 1 , t ) v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] (7)
在计算三阶导数矩阵和四阶导数矩阵时,可以用矩阵乘积得到,即
A ( 3 ) = A ˜ ( 1 ) × A ˜ ( 2 ) , A ( 4 ) = A ˜ ( 1 ) × A ( 3 ) (8)
这样就引入了这两个边界条件。又由于端点 x = 0 处,函数值也为0,即 v ( x 1 , t ) = 0 ,因而不用求,只求内部节点及端点 x = l 处的函数值即可,因此权系数矩阵的第一行,最后一行,第一列及最后一列划掉。此时只剩边界条件
x = l , ∂ 3 v ∂ x 3 ( l , t ) = 0 . (9)
内部节点及端点 x = l 处的各阶导数表达式用矩阵可以表示为
[ v , x ( x 2 , t ) ⋮ v , x ( x N − 1 , t ) ] = [ a 22 ( 1 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 1 ) a 2 , N ( 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 2 ( 1 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 1 ) a N − 1 , N ( 1 ) ] ︸ A ¯ ( 1 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] , (10a)
[ v , x x ( x 2 , t ) ⋮ v , x x ( x N − 1 , t ) ] = [ a 22 ( 2 ) ⋯ a 2 , N − 1 ( 2 ) a 2 , N ( 2 ) ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a N − 1 , 2 ( 2 ) ⋯ a N − 1 , N − 1 ( 2 ) a N − 1 , N ( 2 ) ] ︸ A ¯ ( 2 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] , (10b)
类似地
[ v , x x x x ( x 2 , t ) ⋮ v , x x x x ( x N − 1 , t ) ] = A ¯ ( 4 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] , [ v , x t ( x 2 , t ) ⋮ v , x t ( x N − 1 , t ) ] = A ¯ ( 1 ) × [ v ˙ ( x 2 , t ) ⋮ v ˙ ( x N − 1 , t ) v ˙ ( x N , t ) ] , (10c)
[ v , x x t ( x 2 , t ) ⋮ v , x x t ( x N − 1 , t ) ] = A ¯ ( 2 ) × [ v ˙ ( x 2 , t ) ⋮ v ˙ ( x N − 1 , t ) v ˙ ( x N , t ) ] , [ v , x x x x t ( x 2 , t ) ⋮ v , x x x x t ( x N − 1 , t ) ] = A ¯ ( 4 ) × [ v ˙ ( x 2 , t ) ⋮ v ˙ ( x N − 1 , t ) v ˙ ( x N , t ) ] , (10d)
w , x x x ( x N , t ) = [ a N , 2 ( 3 ) ⋯ a N , N − 1 ( 3 ) a N , N ( 3 ) ] ︸ A ¯ ( 3 ) × [ w ( x 2 , t ) ⋮ w ( x N − 1 , t ) w ( x N , t ) ] . (10e)
将(10)代入控制方程及边界方程得
ρ A [ v ¨ ( x 2 , t ) ⋮ v ¨ ( x N − 1 , t ) ] + J y η A ¯ ( 4 ) × [ v ˙ ( x 2 , t ) ⋮ v ˙ ( x N − 1 , t ) v ˙ ( x N , t ) ] + ( J y E A ¯ ( 4 ) − P A A ¯ ( 2 ) ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] = 3 2 E A ( A ¯ ( 1 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] ) • ( A ¯ ( 1 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] ) • ( A ¯ ( 2 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] ) + 2 η A ( A ¯ ( 1 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] ) • ( A ¯ ( 1 ) × [ v ˙ ( x 2 , t ) ⋮ v ˙ ( x N − 1 , t ) v ˙ ( x N , t ) ] ) • ( A ¯ ( 2 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] ) + η A ( A ¯ ( 1 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] ) • ( A ¯ ( 1 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] ) • ( A ¯ ( 2 ) × [ v ˙ ( x 2 , t ) ⋮ v ˙ ( x N − 1 , t ) v ˙ ( x N , t ) ] ) + F 0 sin ω t (11)
v , x x x ( x N , t ) = [ a N , 2 ( 3 ) ⋯ a N , N − 1 ( 3 ) a N , N ( 3 ) ] ︸ A ¯ ( 3 ) × [ v ( x 2 , t ) ⋮ v ( x N − 1 , t ) v ( x N , t ) ] = 0 .(12)
其中 • 表示两向量对应元素的乘积。(11)是一常微分方程组,含有 N − 2 个方程, N − 1 个未知量
v ( x 2 , t ) , ⋯ , v ( x N − 1 , t ) , v ( x N , t ) ,要求解该方程,还需一个条件,而(12)是一代数方程,可以通过(12)得到
一个未知量的表达式 [
这个代入求解过程需要非常大的计算量且不利于编制程序。因为 a N , N ( 3 ) ≠ 0 ,因此方程组(11)、(12)联合
组成指标 [
本文给定参数和初始条件 ρ = 1000 kg / m 3 , E = 1.5 × 10 8 N / m 2 , A = 1 × 10 − 4 m 2 , P 0 = P 1 = 100 N , J y = 1 6 × 10 − 8 m , v ( x , 0 ) = 0.05 m 4 , v t ( x , 0 ) = 0 ,应用隐式龙格库塔方法对微分代数方程组(11)、(12)进行
求解。在数值结果的基础上以梁中点处的位移代表梁横向振动的位移,分别作出了横向振动位移随横向载荷幅值及频率变化的分叉图、研究了二者对粘弹性悬臂梁横向振动的非线性动力学行为的影响。并作出了由分叉图得出的一些典型的相同参数下的周期运动和混沌运动的时间历程图、相图及庞加莱截面。
图2是粘弹性悬臂梁横向振动位移随横向载荷幅值 F 0 在区间 [ 100 , 1000 ] N 上变化,横向载荷频率 ω = 20 Hz 时的分叉图。从图2可以看出当 F 0 在区间 [ 100 , 820 ] N 上变化时,运动是周期的;由100 N变化到780 N时,系统运动是单倍周期的;随着 F 0 的增大,出现了一个小的2倍周期窗口;当 F 0 由820 N
增大直到最后,周期运动分叉为混沌运动了。
图3是粘弹性悬臂梁面内振动横向位移随横向载荷频率 ω 在区间 [ 10 , 90 ] N 上变化,横向载荷幅值 F 0 = 500 N 时的分叉图。从图3可以看出当频率 ω 较小时,系统运动是单倍周期的,随着 ω 的增大,大约在22 Hz时,运动由周期变为混沌。当频率 ω 继续增大到40 Hz时,混沌运动消失,又出现单倍周期运动,而且单倍周期的窗口较大,直到 ω 增大到72 Hz时,单倍周期运动分叉为混沌运动直到最后。在混沌窗口存在一些多倍周期运动。
图4~图8是一些典型的周期运动和混沌运动的相图、时间历程图以及庞加莱截面。其中:a) 是以梁的速度,梁中心位移、以及梁另外一点位移为横、纵、竖坐标的三维相图,b) 是以梁的速度、梁中心位移为横纵坐标的二维相图,c) 是以梁的速度、梁中心位移为横纵坐标的庞加莱截面图,d) 是梁的横向振动位移随时间变化的时间波形图。从这些图形中可以看出,在相同参数下,无论是从相图,还是时间历程图所得的粘弹性悬臂梁横向非线性振动的动力学性质是相同的。
本文的创新之处1) 将微分求积法应用到悬臂梁结构的非线性动力学研究中,针对悬臂梁结构的边界条件,提出了一种微分求积处理边界条件的新方法,也就是将离散的常微分方程组和边界代数方程联合组成微分代数方程组,再利用隐式龙格库塔法进行求解;2) 利用微分求积法以及新的施加边界方法分析了受横向载荷和轴向载荷联合作用的粘弹性悬臂梁的非线性动力学行为。利用分叉图,研究了横向载荷
图2. 横向载荷幅值的影响
图3. 横向载荷频率值的影响
图4. F = 1000 N,ω = 20 Hz时粘弹性悬臂梁的混沌运动
图5. F0 = 500 N,ω = 13.6 Hz时粘弹性悬臂梁的1倍周期运动
图6. F0 = 500 N,ω = 25 Hz时粘弹性悬臂梁的2倍周期运动
图7. F0 = 500 N,ω = 26.2 Hz时粘弹性悬臂梁的3倍周期运动
图8. F0 = 500 N,ω = 32.4 Hz时粘弹性悬臂梁的6倍周期运动
幅值及频率对其非线性动力学性质的影响。为了验证由分叉图得出的结论,作出了一些周期和混沌运动的相图、庞加莱截面以及时间历程图,从这些图形得到的在相同参数下粘弹性悬臂梁的动力学性质是一致的。以上研究结果表明微分求积法以及新的边界条件施加方法可以用来分析悬臂梁结构的的非线性动力学性质,但是微分求积法及新的施加边界条件新方法的有效性还需要做进一步的研究,从理论上论证以及和其它近似方法结果相比较,将是我们下一步的工作。
国家自然科学基金(11502165)。
吴鹦泽,王冬梅. 微分求积法在悬臂梁结构非线性动力学中的应用研究Application of Differential Quadrature Method to Nonlinear Dynamics of Cantilever Beam Structures[J]. 力学研究, 2018, 07(01): 1-13. http://dx.doi.org/10.12677/IJM.2018.71001