本文给出n-cell模糊数近似大于等于关系的定义,并对近似大于等于关系的性质进行了详细的研究,重点讨论了这一关系在加、减、乘、除和数乘下的变化。 In this paper, we introduce the approximately greater than or equal relation on fuzzy n-cell num-bers and investigate its properties. We focus on the variation of this relationship under addition, subtraction, multiplication, division and scalar-multiplication.
刘晓芬,黄 欢
集美大学数学系,福建 厦门
收稿日期:2018年2月7日;录用日期:2018年2月21日;发布日期:2018年2月28日
本文给出n-cell模糊数近似大于等于关系的定义,并对近似大于等于关系的性质进行了详细的研究,重点讨论了这一关系在加、减、乘、除和数乘下的变化。
关键词 :近似大于等于,N-Cell模糊数,模糊数
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在决策中,影响决策对象的因素常具有模糊性。为了对模糊决策对象进行排序,迫切需要考虑模糊数上的近似大于、近似等于以及近似大于等于等基本关系。
Buckley [
本文引入了n-cell模糊数上的近似大于等于关系,并详细讨论了这一关系的性质,我们的结论对n-cell模糊数排序问题的相关理论和应用有着重要的意义。
本节介绍了n维模糊数和n-cell模糊数的基本概念和性质,以及n-cell模糊数的代数运算,详细内容请读者参阅文献 [
设u是 R n 上的模糊集,u可看作 R n → [ 0 , 1 ] 的函数。任取 α ∈ [ 0 , 1 ] ,我们称 [ u ] α 是u的a-截集,当 α > 0 , [ u ] α = { x ∈ R n | u ( x ) ≥ α } ,当 α = 0 , [ u ] 0 = { x ∈ R n | u ( x ) > 0 } ¯ 。 [ u ] 0 也称为u的支集,记作suppu。
若 u : R n → [ 0 , 1 ] 满足以下性质(1)-(4):
1) u是正规的模糊集,即存在 x 0 ∈ R n 使得 u ( x 0 ) = 1 ;
2) u是凸模糊集,即对任意 x , y ∈ R n , λ ∈ [ 0 , 1 ] 有 u ( λ x + ( 1 − λ ) y ) ≥ min { u ( x ) , u ( y ) } ;
3) u是上半连续函数,即 lim sup x → x 0 u ( x ) ≤ u ( x 0 ) ;
4) [ u ] 0 有界。
则称u为n维模糊数,全体n维模糊数记作 E n 。
用 a 表示 R n 中的点 ( a , a , ⋯ , a ) ,用
王桂祥在 [
设 u ∈ L ( E n ) ,若 u i − ( 0 ) > 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n ,则称u为正n-cell模糊数;若 u i + ( 0 ) < 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n ,则称u为负n-cell模糊数。
N-cell模糊数的代数运算如下:对任意 u , v ∈ L ( E n ) , k ∈ R , α ∈ [ 0 , 1 ] ,有:
[ u + v ] α = [ u ] α + [ v ] α = ∏ i = 1 n [ u i − ( α ) + v i − ( α ) , u i + ( α ) + v i + ( α ) ] ,
[ u − v ] α = [ u ] α − [ v ] α = ∏ i = 1 n [ u i − ( α ) − v i + ( α ) , u i + ( α ) − v i − ( α ) ] ,
[ k u ] α = k [ u ] α = { ∏ i = 1 n [ k u i − ( α ) , k u i + ( α ) ] , k ≥ 0 , ∏ i = 1 n [ k u i + ( α ) , k u i − ( α ) ] , k ≤ 0 ,
[ u v ] α = ∏ i = 1 n [ min { u i − ( α ) v i − ( α ) , u i − ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i − ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } , max { u i − ( α ) v i − ( α ) , u i − ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i − ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ] ,
[ u v ] α = [ min { u i − ( α ) v i − ( α ) , u i − ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i − ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } , max { u i − ( α ) v i − ( α ) , u i − ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i − ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ] (其中 v 为正n-cell模糊数或负n-cell模糊数)。
容易看出 u − v = u + ( − v ) 。
Buckley在 [
对任意两个模糊数 u , v ∈ E 1 ,任取 α ∈ ( 0 , 1 ] ,定义 ν ( u ≥ v ) = sup x ≥ y min ( u ( x ) , v ( y ) ) 。
1) 若 ν ( u ≥ v ) = 1 且 ν ( v ≥ u ) < α ,则称 u 在 α 水平下近似大于 v ,记为 u ≻ α v 或 v ≺ α u ;
2) 若 min ( ν ( u ≥ v ) , ν ( v ≥ u ) ) ≥ α ,则称 u 与 v 在 α 水平下近似相等,记为 u ≈ α v ;
3) 若 u ≻ α v 或 u ≈ α v ,则称 u 在 α 水平下近似大于等于 v ,记为 u ≥ α v 或 v ≤ α u 。
本节将引入n-cell模糊数上的近似大于等于关系,并探讨该关系在加、减、乘、除以及数乘运算下的变化。
定义3.1:设 u , v ∈ L ( E n ) , α ∈ ( 0 , 1 ] ,若 u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n ,则称 u 在 α 水平下近似大于等于 v ,记作 u ≥ α v 或 v ≤ α u 。
性质1:设 u , v ∈ L ( E n ) , α ∈ ( 0 , 1 ] 。若 u ≥ α v ,则 u − v ≥ α 0 。
证明:由于
[ u − v ] α = ∏ i = 1 n [ u i − ( α ) − v i + ( α ) , u i + ( α ) − v i − ( α ) ]
由 u ≥ α v 知: u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。则
( u − v ) i + ( α ) = u i + ( α ) − v i − ( α ) ≥ 0 = 0 i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
所以, u − v ≥ α 0 。
性质2:设 u , v ∈ L ( E n ) , α ∈ ( 0 , 1 ] 。若 u ≥ α v ,则
1) 若 v 为正,则 u v ≥ a 1 ;
2) 若 v 为负,则 u v ≤ a 1 。
证明:(1) 因为 v 为正,则 v i − ( α ) > 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。所以,
[ u v ] α = ∏ i = 1 n [ min { u i − ( α ) v i − ( α ) , u i − ( α ) v i + ( α ) } , max { u i + ( α ) v i − ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ]
由 u ≥ α v 知: u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。则
u i + ( α ) v i − ( α ) ≥ 1 = 1 i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
因此,
( u v ) i + ( α ) = max { u i + ( α ) v i − ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ≥ u i + ( α ) v i − ( α ) ≥ 1 i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
所以, u v ≥ a 1 。
(2)证明与(1)类似。
性质3:设 u , v ∈ L ( E n ) , α ∈ ( 0 , 1 ] 。若 u ≥ α v ,则对任意 ω ∈ L ( E n ) 有
1) u + ω ≥ α v + ω ;
2) u − ω ≥ α v − ω 。
证明:(1)由于
[ u + ω ] α = ∏ i = 1 n [ u i − ( α ) + ω i − ( α ) , u i + ( α ) + ω i + ( α ) ]
[ v + ω ] α = ∏ i = 1 n [ v i − ( α ) + ω i − ( α ) , v i + ( α ) + ω i + ( α ) ]
由 u ≥ α v 知: u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。则
u i + ( α ) + ω i + ( α ) ≥ v i − ( α ) + ω i + ( α ) ≥ v i − ( α ) + ω i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
因此,
( u + ω ) i + ( α ) ≥ ( v + ω ) i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
所以, u + ω ≥ α v + ω 。
(2)由于 u − ω = u + ( − ω ) ,结论可从(1)推出。
性质4:设 u , v ∈ L ( E n ) , α ∈ ( 0 , 1 ] 。若 u ≥ α v ,则对任意 ω ∈ L ( E n )
1) 若 ω 为正,则 u ω ≥ α v ω ;
2) 若 ω 为负,则 v ω ≥ α u ω 。
证明:(1)因为 ω 为正,则 ω i − ( α ) > 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。所以,
[ u ω ] α = ∏ i = 1 n [ min { u i − ( α ) ω i − ( α ) , u i − ( α ) ω i + ( α ) } , max { u i + ( α ) ω i − ( α ) , u i + ( α ) ω i + ( α ) } ]
[ v ω ] α = ∏ i = 1 n [ min { v i − ( α ) ω i − ( α ) , v i − ( α ) ω i + ( α ) } , max { v i + ( α ) ω i − ( α ) , v i + ( α ) ω i + ( α ) } ]
由 u ≥ α v 知: u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。则
u i + ( α ) ω i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ω i + ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
因此,
max { u i + ( α ) ω i − ( α ) , u i + ( α ) ω i + ( α ) } ≥ min { v i − ( α ) ω i − ( α ) , v i − ( α ) ω i + ( α ) } , i = 1 , 2 , ⋯ , n
即,
( u ω ) i + ( α ) ≥ ( v ω ) i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
所以, u ω ≥ α v ω 。
(2)证明与(1)类似。
性质5:设 u , v , ω ∈ L ( E n ) , α ∈ ( 0 , 1 ] 。若 u ≥ α v ,则
1) 若 ω 为正,则 u ω ≥ α v ω ;
2) 若 ω 为负,则 v ω ≥ α u ω 。
证明:1) 因为 ω 为正,则 ω i − ( α ) > 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。所以,
[ u ω ] α = ∏ i = 1 n [ min { u i − ( α ) ω i − ( α ) , u i − ( α ) ω i + ( α ) } , max { u i + ( α ) ω i − ( α ) , u i + ( α ) ω i + ( α ) } ]
[ v ω ] α = ∏ i = 1 n [ min { v i − ( α ) ω i − ( α ) , v i − ( α ) ω i + ( α ) } , max { v i + ( α ) ω i − ( α ) , v i + ( α ) ω i + ( α ) } ]
由 u ≥ α v 知: u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。则
u i + ( α ) ω i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ω i + ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
因此,
max { u i + ( α ) ω i − ( α ) , u i + ( α ) ω i + ( α ) } ≥ min { v i − ( α ) ω i − ( α ) , v i − ( α ) ω i + ( α ) } , i = 1 , 2 , ⋯ , n
即,
( u ω ) i + ( α ) ≥ ( v ω ) i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
所以, u ω ≥ α v ω 。
(2)证明与(1)类似。
性质6:设 u , v , ω ∈ L ( E n ) , α ∈ ( 0 , 1 ] 。若 u v ≥ α ω ,则
1) 若 v 为正,则 u ≥ α ω v ;
2) 若 v 为负,则 ω v ≥ α u 。
证明:(1)因为 v 为正,则 v i − ( α ) > 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。所以,
[ u v ] α = ∏ i = 1 n [ min { u i − ( α ) v i − ( α ) , u i − ( α ) v i + ( α ) } , max { u i + ( α ) v i − ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ]
[ ω v ] α = ∏ i = 1 n [ min { ω i − ( α ) v i − ( α ) , ω i − ( α ) v i + ( α ) } , max { ω i + ( α ) v i − ( α ) , ω i + ( α ) v i + ( α ) } ]
由 u v ≥ α ω 知:
max { u i + ( α ) v i − ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ≥ ω i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
因此,
u i + ( α ) ≥ min { ω i − ( α ) v i − ( α ) , ω i − ( α ) v i + ( α ) } = ( ω v ) i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
所以, u ≥ α ω v 。
(2)证明与(1)类似。
性质7:设 u , v ∈ L ( E n ) , α ∈ ( 0 , 1 ] 。若 u ≥ α v ,则对任意 k ∈ R 有
1) 若 k > 0 ,则 k u ≥ α k v ;
2) 若
证明:1) 因为 k > 0 ,所以,
[ k u ] α = ∏ i = 1 n [ k u i − ( α ) , k u i + ( α ) ]
[ k v ] α = ∏ i = 1 n [ k v i − ( α ) , k v i + ( α ) ]
由 u ≥ α v 知: u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。则
k u i + ( α ) ≥ k v i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
因此,
( k u ) i + ( α ) ≥ ( k v ) i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
所以, k u ≥ α k v 。
(2)证明与(1)类似。
性质8:设 u , v ∈ L ( E n ) , α ∈ ( 0 , 1 ] , k ∈ R 。若 k u ≥ α v ,则
1) 若 k > 0 ,则 u ≥ α v k ;
2) 若 k < 0 ,则 v k ≥ α u 。
证明:(1)因为 k > 0 ,所以,
[ k u ] α = ∏ i = 1 n [ k u i − ( α ) , k u i + ( α ) ]
[ v k ] α = ∏ i = 1 n [ v i − ( α ) k , v i + ( α ) k ]
由 k u ≥ α v 知:
k u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
因此,
u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) k = ( v k ) i − ( α ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n
所以, u ≥ α v k 。
(2)证明与(1)类似。
福建省自然科学基金(No. 2016J01022)。
刘晓芬,黄 欢. N-Cell模糊数上的近似大于等于关系 Approximately Greater Than or Equal Relation on Fuzzy N-Cell Numbers[J]. 应用数学进展, 2018, 07(02): 224-230. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2018.72027