现行的许多理论力学教科书中都介绍过一个有关如何建立复摆运动微分方程的例子,然而在该例的分析和推导当中,并没有考虑轴承摩擦对复摆运动的影响。本文旨在考虑这一影响因素的基础上,建立复摆的运动微分方程,并与未考虑轴承摩擦影响的复摆运动微分方程进行比较。最后,分别对考虑和不考虑轴承摩擦的两种情形下的复摆运动进行数值仿真,通过对仿真结果的比较,说明了上述两种情形下复摆运动的不同之处。 In many current textbooks on theoretical mechanics, an example of establishing differential equation of motion of a compound pendulum is presented. In this example, however, the influence of bearing friction on motion of the compound pendulum is not taken into consideration. In the present paper, taking into account the influence of bearing friction, the differential equation of motion of a compound pendulum is derived and compared with that without accounting for the influence of bearing friction. Based on these equations, the motion responses of a compound pendulum with and without accounting for the influence of bearing friction are numerically simulated. Finally, the difference between the motion responses is shown.
张劲夫
西北工业大学工程力学系,陕西 西安
收稿日期:2018年2月16日;录用日期:2018年3月1日;发布日期:2018年3月8日
现行的许多理论力学教科书中都介绍过一个有关如何建立复摆运动微分方程的例子,然而在该例的分析和推导当中,并没有考虑轴承摩擦对复摆运动的影响。本文旨在考虑这一影响因素的基础上,建立复摆的运动微分方程,并与未考虑轴承摩擦影响的复摆运动微分方程进行比较。最后,分别对考虑和不考虑轴承摩擦的两种情形下的复摆运动进行数值仿真,通过对仿真结果的比较,说明了上述两种情形下复摆运动的不同之处。
关键词 :摩擦,复摆,运动微分方程
Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
现行的许多理论力学教科书 [
首先画出考虑轴承摩擦的复摆受力图(图2),图中 N 为轴孔表面所受到的压力, F 为轴孔表面所受到的摩擦力。为了应用刚体的定轴转动微分方程,规定通过轴承中心O且垂直纸面向外的方向作为转轴z的正向(图中用“·”表示转轴z的正向),并规定角坐标 φ 的正向与转轴z的正向构成右手旋向(图中逆钟向为角坐标 φ 的正向)。应用刚体的定轴转动微分方程,有
J φ ¨ = − m g b sin φ + M z ( F ) (1)
式中 M z ( F ) 表示摩擦力 F 对转轴z的矩,考虑到摩擦力矩 M z ( F ) 的转向与角速度 的转向相反,故 M z ( F ) 可表达为
M z ( F ) = − sign ( φ ˙ ) F R (2)
式中 R 为轴孔(轴承)半径。将上式代入式(1)后,得到
J φ ¨ = − m g b sin φ − sign ( φ ˙ ) F R (3)
为了进一步应用式(3)写出考虑轴承摩擦的复摆运动微分方程,还须写出摩擦力 F 的表达式。为此,对复摆应用质心运动定理,有
m b φ ˙ 2 = − m g cos φ + N cos θ − sign ( φ ˙ ) F sin θ (4)
和
图1. 复摆
图2. 考虑轴承摩擦的复摆受力图
m b φ ¨ = − m g sin φ + N sin θ + sign ( φ ˙ ) F cos θ (5)
式中 θ 表示压力 N 的方向相对CO线的偏角(图2所示)。注意:在以上两式中,为了反映摩擦力的方向随角速度 转向的变化,引入了符号函数 sign ( φ ˙ ) 。
应用库伦摩擦定律,有
F = N f (6)
式中 f 为轴孔和轴之间的摩擦因数。联立式(4)~(6)后,可解得摩擦力 F 的表达式为
F = m f ( b φ ˙ 2 + g cos φ ) 2 + ( b φ ¨ + g sin φ ) 2 1 + sign 2 ( φ ˙ ) f 2 (7)
将上式代入式(3)后,得到
J φ ¨ = − m g b sin φ − sign ( φ ˙ ) m f R ( b φ ˙ 2 + g cos φ ) 2 + ( b φ ¨ + g sin φ ) 2 1 + sign 2 ( φ ˙ ) f 2 (8)
这就是计入轴承摩擦的复摆运动微分方程。如果令其中的摩擦因数 f = 0 ,则方程(8)退化为
J φ ¨ = − m g b sin φ (9)
式(9)就是理论力学教科书 [
考虑到微分方程(8)为隐式形式(该方程的两端都含有 φ ¨ ),为了便于数值求解(数值积分),从该方程中解出 φ ¨ ,即转变为如下的显式形式:
φ ¨ = − q + sign ( φ ˙ ) q 2 − p r p (10)
式中
p = J 2 + f 2 ( J 2 − m 2 b 2 R 2 ) sign 2 ( φ ˙ ) (11)
q = m g b [ J + f 2 ( J − m R 2 ) sign 2 ( φ ˙ ) ] sin φ (12)
r = m 2 { g 2 b 2 sin 2 φ + f 2 [ g 2 b 2 sin 2 φ − R 2 ( b 2 φ ˙ 4 + 2 g b φ ˙ 2 cos φ + g 2 ) ] sign 2 ( φ ˙ ) } (13)
在给定复摆运动的初始条件后,采用MATLAB ode45算法 [
如图1所示的复摆,其参数如下:复摆的质量 m = 3 .7440 kg ,重心C到转轴中心O的距离 b = 0 .3 m ,复摆对转轴O的转动惯量 J = 0 .4493 kg ⋅ m 2 ,轴孔(轴承)半径 R = 0 .01 m ,轴孔和轴之间的摩擦因数 f = 0 .28 ,重力加速度 g = 9.80 m / s 2 ,复摆的初始摆角 φ ( 0 ) = π / 6 ,初始角速度 φ ˙ ( 0 ) = 0 ,试确定复摆的摆动规律。
在已知上述参数的情况下,采用MATLAB ode45算法 [
图3. 复摆运动规律
从图3可以清楚地看出:两种情况下所获得的复摆运动规律是完全不同的,在考虑轴承摩擦的情况下所获得的复摆运动为减幅摆动(这与实际观察到的情况相一致);而在不考虑轴承摩擦的情况下所获得的复摆运动为等幅摆动。
针对理论力学教科书 [
国家自然科学基金(11672237)资助。
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
知网检索的两种方式:
1. 打开知网页面http://kns.cnki.net/kns/brief/result.aspx?dbPrefix=WWJD
下拉列表框选择:[ISSN],输入期刊ISSN:2333-5394,即可查询
2. 打开知网首页http://cnki.net/
左侧“国际文献总库”进入,输入文章标题,即可查询
投稿请点击:http://www.hanspub.org/Submission.aspx
期刊邮箱:ijm@hanspub.org