本文主要是引入一个参数α ( α>0),将Fock空间F2 上的关于两个自伴算子的测不准原理推广到α-Fock空间Fα2 上,并对a,b 为任意复数的情形做了完善的证明。 In this paper, we mainly introduce a positive parameter α and results about uncertainty principle of two self-adjoint operators for the Fock Space F2 are generalized to the α-Fock Space Fα2 in the complex plane. In particular, we also do a perfect proof for the case of a,b which are complex parameters.
潘维烨*,杨丛丽,赵健
贵州师范大学数学科学学院,贵州 贵阳
收稿日期:2018年2月23日;录用日期:2018年3月10日;发布日期:2018年3月20日
本文主要是引入一个参数 α ( α > 0 ),将Fock空间 F 2 上的关于两个自伴算子的测不准原理推广到a-Fock空间 F α 2 上,并对 a , b 为任意复数的情形做了完善的证明。
关键词 :a-Fock空间,测不准原理,量子力学,Gaussian测度,自伴算子
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海森堡测不准原理是量子力学的一个重要基本原理,它指出在一个量子力学系统中,一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置的不确定性 Δ x 和动量的不确定性 Δ p 一定满足不等式 Δ x Δ p ≥ h / 2 ,其中 h 是约化普朗克常数。类似的不确定性也存在于能量和时间、角动量和角度等许多物理量之间。因此在Fock空间及其推广的a-Fock空间上研究测不准原理是有意义的。早在文献 [
下面对本文所用到的符号加以说明:
记 ℂ 为一维复平面, ℝ 为一维实平面,对任意的正实参数 α ,我们定义:
d λ α ( z ) = α π e − α | z | 2 d A (z)
为 ℂ 上的Gaussian测度,其中 d A = d x d y 为 ℂ 上的Lebesgue面积测度。
定义a-Fock空间 F α 2 为:
F α 2 = L 2 ( ℂ , d λ α ) ∩ H (ℂ)
其中 H ( ℂ ) 为 ℂ 上整函数全体。显然 F α 2 是 L 2 ( ℂ , d λ α ) 的闭子空间,因此 F α 2 是Hilbert空间,其上的內积和范数分别定义为:
〈 f , g 〉 = ∫ ℂ f ( z ) g ( z ) ¯ d λ α ( z ) (1.1)
‖ f ‖ 2 , α = ( ∫ ℂ | f ( z ) | 2 d λ α ( z ) ) 1 2 (1.2)
注:本文的所有结果都是在复平面 ℂ 上讨论的,下文不再作说明。
文献 [
定理1:设 A 和 B 为Hilbert空间 H 上的可能无界的自伴算子,则对于任意的 f ∈ D o m ( A B ) ∩ D o m ( B A ) 和任意 a , b ∈ ℝ 有
‖ ( A − a ) f ‖ ‖ ( B − b ) f ‖ ≥ 1 2 | 〈 [ A , B ] f , f 〉 | (2.1)
其中 [ A , B ] = A B − B A 为 A 和 B 的换位子。等式成立当且仅当 ( A − a ) f 和 ( B − b ) f 相差一个纯虚数倍。
证明:详见 [
在文献 [
定理2:令 f ∈ F 2 ,则对所有 a , b ∈ ℝ 有
‖ f ′ + z f − a f ‖ ‖ f ′ − z f + i b f ‖ ≥ ‖ f ‖ 2
等式成立当且仅当存在正实数 c 和复数 C 1 使得
f ( z ) = C 1 exp ( c − 1 2 ( c + 1 ) z 2 + a − i b c c + 1 z )
证明:详见 [
定理2中主要讨论了空间 F 2 上的由甄灭算子和产生算子构造的两个自伴算子,而这在 F α 2 上不再适用,因为在 F α 2 中,甄灭算子的对偶算子不再是产生算子了,稍作改变,我们得到:
引理1:对任意的 α > 0 ,令 T : F α 2 → F α 2 为微分算子的常数倍,即 T f = 1 α f ′ 。则其对偶算子 T * 为 ( T * f ) ( z ) = z f ( z ) 。
证明:设 F α 2 中的标准正交基为
e n ( z ) = α n n ! z n , n = 0 , 1 , 2 , ⋯
可设 F α 2 中稠密的两个多项式分别为
f = ∑ n = 0 ∞ a n e n , g = ∑ n = 0 ∞ b n e n
则
T f ( z ) = 1 α d d z ∑ n = 0 ∞ a n α n n ! z n = 1 α ∑ n = 1 ∞ a n α n n ! n z n − 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 α n + 1 a n + 1 e n (z)
另外
z g ( z ) = ∑ n = 0 ∞ b n α n n ! z n + 1 = ∑ n = 1 ∞ b n − 1 α n − 1 ( n − 1 ) ! z n = ∑ n = 1 ∞ n α b n − 1 e n (z)
于是
〈 T f , g 〉 = ∑ n = 0 ∞ 1 α n + 1 a n + 1 b ¯ n = ∑ n = 1 ∞ a n n α b n − 1 ¯ = 〈 f , z g 〉 = 〈 f , T * g 〉
证毕。
从定理1我们知道,如果有两个自伴算子 A 和 B 使得 [ A , B ] 为恒等算子的常数倍,则可得到测不准原理。故我们考虑利用引理1中的算子 T 和 T * 来构造这样两个自伴算子。
直接计算可知,对所有 f ∈ F α 2 有:
[ T , T * ] f = ( T T * − T * T ) f = ( z f ) ′ α − z f ′ α = f α
因此我们考虑 F α 2 上的如下两个自伴算子:
A = T + T * , B = i ( T − T * )
即
A f ( z ) = 1 α f ′ ( z ) + z f ( z ) , B f ( z ) = i ( 1 α f ′ ( z ) − z f ( z ) ) (2.2)
由 [
引理2:对任意的 α > 0 ,对上述定义的自伴算子 A 和 B ,有 [ A , B ] = − 2 α i I ,其中 I 为 F α 2 上的恒等算子, i 为虚数单位。
证明:对所有 f ∈ F α 2 ,由(2.2)式可得
A B − B A = i [ ( T + T * ) ( T − T * ) − ( T − T * ) ( T + T * ) ] = 2 i [ T * T − T T * ] = − 2 α i I
证毕。
下面将给出a-Fock空间 F α 2 上的第一个测不准原理形式。
定理3:对任意的 α > 0 ,令 f ∈ F α 2 ,则对所有 a , b ∈ ℝ 有
‖ 1 α f ′ + z f − a f ‖ 2 , α ‖ 1 α f ′ − z f + i b f ‖ 2 , α ≥ 1 α ‖ f ‖ 2 , α 2 (2.3)
等式成立当且仅当存在正实数 c 和复数 C ′ 使得
f ( z ) = C ′ exp ( α ( c − 1 ) 2 ( c + 1 ) z 2 + α ( a − i b c ) c + 1 z )
证明:因为 a , b ∈ ℝ ,则由定理1可知
‖ ( A − a ) f ‖ 2 , α ‖ ( B − b ) f ‖ 2 , α ≥ 1 2 | 〈 [ A , B ] f , f 〉 |
又因为
‖ i ( 1 α f ′ − z f ) − b f ‖ 2 , α = ‖ 1 α f ′ − z f + i b f ‖ 2 , α
结合引理2可得
‖ 1 α f ′ + z f − a f ‖ 2 , α ‖ 1 α f ′ − z f + i b f ‖ 2 , α ≥ 1 α ‖ f ‖ 2 , α 2
另外,由定理1可知(2.3)中等式成立当且仅当存在正实数 c 使得
1 α f ′ + z f − a f = i c [ i ( 1 α f ′ − z f ) − b f ] (2.4)
或
i ( 1 α f ′ − z f ) − b f = i c ( 1 α f ′ + z f − a f ) (2.5)
这里,我们先计算(2.4)式有:
1) 若
2) 若
其中
由 [
因此函数(2.7)在空间
取
对(2.5)式,同理可以讨论,证毕。
为了给出
由定理3我们知道函数(2.7)在空间
显然
为了方便书写,我们将函数(2.9)简记为
其中
由于
我们令
1) 对函数(2.9)计算
由(1.2)、(2.10)式得:
因为
则进一步计算(2.12)得:
其中
因为
则
最后联立(2.11)、(2.13)和(2.15)式得:
2) 对函数(2.9)直接计算
由(1.1)式和(1)的计算过程可得:
先计算
因为
于是
同理
最后联立(2.11)、(2.17)和(2.18)式有
3) 对函数(2.9)直接计算
由(1.2)式和(2)的计算过程可得:
先计算
因为
进一步计算
因为
综上
同理
联立(2.11)、(2.20)和(2.21)式得:
4) 对函数(2.9)直接计算
因为
同理
由(2.11)、(2.19)和(2.22)得
同理
5) 对函数(2.9)直接计算
由(2.23)和(2.24)直接计算可得:
6) 对函数(2.9)直接计算
因为
所以由(2.16)、(2.19)式有:
同理
直接计算可验证,当
7) 最后给出最小值讨论。
对任意的
即可得
其中等号成立当且仅当
同理
且最小值当
若
推论1对任意的
等式成立当且仅当
其中
证明:由(2.16)式可得函数(2.31)的范数为:
因为
又因为
结合(2.29)和(2.30)对最小值的讨论得:
下面给出等号成立情形的详细证明:
1) 若
特别的我们令:
则由最小值讨论可得:
此时等号不成立。
2) 若
利用(2.27)和(2.28)直接计算内积可以得到
即当
即不等式等号成立,证毕。
推论2:若
等号成立当且仅当存在正实数
证明:在定理3中令
推论3:若
其中
证明:由推论2可得
等号成立当且仅当
由(2.25)、(2.26)式及
证毕。
除了以上几种测不准原理的推论形式外,我们还可以给出一些关于角和距离的几何形式的测不准原理如下:
推论4:对任意的
等式成立当且仅当
其中
证明:由于
即
则由推论1知结论成立,证毕。
联立(2.35)、(2.36)、(2.23)、(2.24)、(2.27)、(2.28)式可分别计算得:
由此可求出此时两夹角
推论5:对任意的
等号成立当且仅当
证明:由推论4得
再由推论3的证明方法有
等号成立当且仅当
由(2.25)、(2.26)式知此等价于
证毕。
推论6:对任意的
等成立当且仅当
证明:由推论5中取
推论7:对任意的
其中
其中
证明:因为
同理
注:上述结论中的函数
注意到上面所讨论的测不准原理中
定理4:对任意的
等式成立当且仅当
证明:记
同理记
以上所有结果均是对
定理5:对任意的
等号成立当且仅当
证明:同定理3的证法一致,证毕。
定理6:对任意的
等号成立当且仅当
证明:同定理4的证法一致,证毕。
潘维烨,杨丛丽,赵 健. α-Fock空间Fα2 上的测不准原理 Uncertainty Principle for the α-Fock Space Fα2[J]. 理论数学, 2018, 08(02): 149-163. https://doi.org/10.12677/PM.2018.82019