本文讨论了一类时标上四阶边值问题在自共轭边界条件下的谱问题。通过分割时标,并且使得四阶Sturm-Liouville方程的系数函数在相邻子区间上满足特定的条件,从而得出具有有限谱的结论。 The spectral analysis of a class of fourth order boundary value problems with self-adjoint boundary conditions on time scales is investigated. By partitioning the bounded time scale and making the coefficients of the fourth order Sturm-Liouville equation satisfy certain conditions on the adjacent subintervals, the finite eigenvalue results are obtained.
王娟,敖继军*
内蒙古工业大学理学院,内蒙古 呼和浩特
收稿日期:2018年4月26日;录用日期:2018年5月12日;发布日期:2018年5月21日
本文讨论了一类时标上四阶边值问题在自共轭边界条件下的谱问题。通过分割时标,并且使得四阶Sturm-Liouville方程的系数函数在相邻子区间上满足特定的条件,从而得出具有有限谱的结论。
关键词 :四阶边值问题,时标,有限谱
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经典的Sturm-Liouville (S-L)理论中通常谱都是无穷的,即有无穷多个谱点。1964年,Atkinson提出了二阶的S-L问题在某些条件下可能存在有限谱 [
时标也称为时间标度或测度链,这一概念由德国数学家Stefan Hilger于1988年在他的博士论文中首次提出。时标理论可以将离散系统和连续系统结合起来,以便更好的研究两类不同系统之间的本质差异,并且能够运用于实际问题中两者共存的情形,避免研究的重复性。时标上边值问题的研究是近年来一个新的研究热点。一些学者将时标理论运用到算子谱理论的研究和完善中,并且得到了一些相应的结论 [
对于时标上边值问题的有限谱,2013年,赵娜在文献 [
本文考虑一类时标 T 上的四阶S-L方程:
( p x Δ ∇ ) ∇ Δ + q x = λ w x , t ∈ T , (1.1)
其中系数函数满足条件
r = 1 / p , q , w ∈ C p r d ( T ) , (1.2)
具有自共轭边界条件形如:
A X ( a ) + B X ( b ) = 0 , X = [ x x Δ p x Δ ∇ − ( p x Δ ∇ ) ∇ ] , A , B ∈ M 4 ( ℂ ) , (1.3)
其中 M 4 ( ℂ ) 表示四阶复矩阵组成的集合。
众所周知,四阶边值问题自共轭边界条件(1.3)中,矩阵 A , B 满足 r a n k ( A : B ) = 4 , A E 4 A ∗ = B E 4 B ∗ ,其中 E 4 为四阶单位辛矩阵, E 4 = [ 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 ] 。
本文在文献 [
为了得出主要结论,在本节中我们给出一些时标上的相关概念,以及证明主要结论所需的部分引理。
定义2.1. [
定义2.2. [
函数 f : T → ℂ 为rd连续的,是指它在左稠密的点处极限存在,右稠密的点处连续,rd连续的函数记为 C r d ( T ) ;函数 f : T → ℂ 为prd连续的,是指它在左稠密的点处极限存在,在除有限个右稠密的点处均为连续的,prd连续的函数记为 C p r d ( T ) 。
定义2.3. [
| f ( σ ( t ) ) − f ( s ) − f Δ ( t ) [ σ ( t ) − s ] | ≤ ε | σ ( t ) − s | ,
则称函数 f Δ ( t ) 是函数f在t点的 Δ 导数。
定义2.4. [
∫ a b f ( τ ) Δ τ = F ( b ) − F ( a ) , a , b ∈ T .
同样可定义函数f的 ∇ 导数和 ∇ 积分,由于本文研究过程中未用到,故此处不再罗列。
引理 2.1. 方程(1.1)等价于以下形式:
X Δ = A ( t ) X , (2.1)
其中 X = [ u 1 u 2 u 3 u 4 ] , A ( t ) = [ 0 1 0 0 μ 2 ( t ) p σ ( t ) ( λ w ( t ) − q ( t ) ) 0 1 p σ ( t ) − μ ( t ) p σ ( t ) μ ( t ) ( λ w ( t ) − q ( t ) ) 0 0 − 1 − ( λ w ( t ) − q ( t ) ) 0 0 0 ] 。这里 u 1 ( t ) = x ( t ) , u 2 ( t ) = x Δ ( t ) , u 3 ( t ) = p ( t ) x Δ ∇ ( t ) , u 4 ( t ) = − ( p ( t ) x Δ ∇ ( t ) ) ∇ 。
证明:该引理的证明由文献 [
引理2.2. [
X Δ = A ( t ) X , X ( t 0 ) = x 0 , x 0 ∈ ℂ n ,
存在惟一解 X ∈ C p r d 1 。
证明:该引理的证明参见文献 [
设 Φ ( t , λ ) = [ ϕ i j ( t , λ ) ] , t ∈ [ a , b ] T 为方程(2.1)满足初始条件 Φ ( a , λ ) = I 的基解矩阵,
Φ ( t , λ ) = [ φ 1 ( t , λ ) φ 2 ( t , λ ) φ 3 ( t , λ ) φ 4 ( t , λ ) ( φ 1 Δ ) ( t , λ ) ( φ 2 Δ ) ( t , λ ) ( φ 3 Δ ) ( t , λ ) ( φ 4 Δ ) ( t , λ ) ( p φ 1 Δ ∇ ) ( t , λ ) ( p φ 2 Δ ∇ ) ( t , λ ) ( p φ 3 Δ ∇ ) ( t , λ ) ( p φ 4 Δ ∇ ) ( t , λ ) − ( p φ 1 Δ ∇ ) ∇ ( t , λ ) − ( p φ 2 Δ ∇ ) ∇ ( t , λ ) − ( p φ 3 Δ ∇ ) ∇ ( t , λ ) − ( p φ 4 Δ ∇ ) ∇ ( t , λ ) ] . (2.2)
引理2.3. [
δ ( λ ) = det [ A + B Φ ( b , λ ) ] = det A + det B + ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 4 c i j ϕ i j + ∑ 1 ≤ i , j , k , l ≤ 4 , j ≠ l d i j k l ϕ i j ϕ k l + ∑ 1 ≤ i , j , k , l , m , n ≤ 4 , j ≠ l ≠ n e i j k l m n ϕ i j ϕ k l ϕ m n , (2.3)
其中 c i j , 1 ≤ i , j ≤ 4 , d i j k l , 1 ≤ i , j , k , l ≤ 4 , j ≠ l , e i j k l m n , 1 ≤ i , j , k , l , m , n ≤ 4 , j ≠ l ≠ n 都是由矩阵A和B确定的常数。
证明:该引理通过直接计算可得。
定义2.1. 四阶边值问题(1.1),(1.3)称为是退化的,如果在(2.3)中,对一切的 λ ∈ ℂ ,都有 δ ( λ ) ≡ 0 ,或者对每一个 λ ∈ ℂ ,有 δ ( λ ) ≠ 0 。
假设方程(1.1)定义在时标
a = a 0 < a 1 < a 2 < ⋯ < a 2 m < a 2 m + 1 = b , d = b 0 < b 1 < b 2 < ⋯ < b 2 n < b 2 n + 1 = e , (3.1)
使得系数函数满足以下条件:
在 ( a 2 k , a 2 k + 1 ) 上 , r ( t ) = 1 p ( t ) = 0 , ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ( t ) d t ≠ 0 , ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ( t ) t d t ≠ 0 , ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ( t ) t 2 d t ≠ 0 , k = 0 , 1 , ⋯ , m , 在 ( a 2 k + 1 , a 2 k + 2 ) 上 , q ( t ) = w ( t ) = 0 , ∫ a 2 k + 1 a 2 k + 2 r ( t ) d t ≠ 0 , ∫ a 2 k + 1 a 2 k + 2 r ( t ) t d t ≠ 0 , ∫ a 2 k + 1 a 2 k + 2 r ( t ) t 2 d t ≠ 0 , k = 0 , 1 , ⋯ , m − 1 , (3.2)
在 ( b 2 i , b 2 i + 1 ) 上 , r ( t ) = 1 p ( t ) = 0 , ∫ b 2 i b 2 i + 1 w ( t ) d t ≠ 0 , ∫ b 2 i b 2 i + 1 w ( t ) t d t ≠ 0 , ∫ b 2 i b 2 i + 1 w ( t ) t 2 d t ≠ 0 , k = 0 , 1 , ⋯ , n , 在 ( b 2 i + 1 , b 2 i + 2 ) 上 , q ( t ) = w ( t ) = 0 , ∫ b 2 i + 1 b 2 i + 2 r ( t ) d t ≠ 0 , ∫ b 2 i + 1 b 2 i + 2 r ( t ) t d t ≠ 0 , ∫ b 2 i + 1 b 2 i + 2 r ( t ) t 2 d t ≠ 0 , k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 , (3.3)
由(3.1)~(3.3),令
r k = ∫ a 2 k + 1 a 2 k + 2 r σ ( t ) d t , r k ∧ = ∫ a 2 k + 1 a 2 k + 2 r σ ( t ) t d t , r k ∨ = ∫ a 2 k + 1 a 2 k + 2 r σ ( t ) t 2 d t ≠ 0 , k = 0 , 1 , ⋯ , m − 1 , q k = ∫ a 2 k a 2 k + 1 q ( t ) d t , q k ∧ = ∫ a 2 k a 2 k + 1 q ( t ) t d t , q k ∨ = ∫ a 2 k a 2 k + 1 q ( t ) t 2 d t , w k = ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ( t ) d t , w k ∧ = ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ( t ) t d t , w k ∨ = ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ( t ) t 2 d t , k = 0 , 1 , ⋯ , m ,
r i ~ = ∫ b 2 i + 1 b 2 i + 2 r σ ( t ) d t , r i ~ ∧ = ∫ b 2 i + 1 b 2 i + 2 r σ ( t ) t d t , r k ~ ∨ = ∫ b 2 i + 1 b 2 i + 2 r σ ( t ) t 2 d t ≠ 0 , i = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 , q i ~ = ∫ b 2 i b 2 i + 1 q ( t ) d t , q i ~ ∧ = ∫ b 2 i b 2 i + 1 q ( t ) t d t , q i ~ ∨ = ∫ b 2 i b 2 i + 1 q ( t ) t 2 d t , w i ~ = ∫ b 2 i b 2 i + 1 w ( t ) d t , w i ~ ∧ = ∫ b 2 i b 2 i + 1 w ( t ) t d t , w i ~ ∨ = ∫ b 2 i b 2 i + 1 w ( t ) t 2 d t , i = 0 , 1 , ⋯ , n . (3.4)
那么我们可以得到主基解矩阵的结构并构造迭代矩阵:
引理3.1. 令(3.1)~(3.4)成立。设 Φ ( t , λ ) = [ ϕ i j ( t , λ ) ] 是方程(2.1)满足初始条件 Φ ( a , λ ) = I , λ ∈ ℂ 的基解矩阵,令
F k ( t , λ , a k ) = [ 1 t − a k 0 0 0 1 0 0 ∫ a k t μ ( λ w − q ) Δ x + ∫ a k t ( λ w − q ) ( t − x ) Δ x ∫ a k t μ ( λ w − q ) ( x − a k ) Δ x + ∫ a k t ( λ w − q ) ( t − x ) ( x − a k ) Δ x 1 − ( t − a k ) − ∫ a k t ( λ w − q ) Δ x − ∫ a k t ( λ w − q ) ( x − a k ) Δ x 0 1 ] , k = 0 , 2 , ⋯ , 2 m ; (3.5)
F k ( t , λ , a k ) = [ 1 t − a k ∫ a k t r σ ( t − x ) Δ x − ∫ a k t r σ ( t − x ) ( x − a k ) Δ x − ∫ a k t μ r σ ( t − x ) Δ x 0 1 ∫ a k t r σ Δ x − ∫ a k t r σ ( x − a k ) Δ x − ∫ a k t μ r σ Δ x 0 0 1 − ( t − a k ) 0 0 0 1 ] , k = 1 , 3 , ⋯ , 2 m − 1. (3.6)
那么,对于 1 ≤ k ≤ 2 m + 1 ,有
Φ ( a k , λ ) = F k − 1 ( a k , λ , a k − 1 ) Φ ( a k − 1 , λ ) . (3.7)
为了更加简洁,我们令 T 0 = F 0 ( a 1 , λ , a 0 ) , T k = F 2 k ( a 2 k + 1 , λ , a 2 k ) F 2 k − 1 ( a 2 k , λ , a 2 k − 1 ) , k = 1 , 2 , ⋯ , m 。 Φ ( a 1 , λ ) = F 0 ( a 1 , λ , a 0 ) = T 0 , Φ ( a 2 k + 1 , λ ) = T k Φ ( a 2 k − 1 , λ ) , k = 1 , 2 , ⋯ , m 。进而得到如下递推公式 Φ ( a 2 k + 1 , λ ) = T k T k − 1 ⋯ T 0 , k = 0 , 1 , ⋯ , m 。
证明:由于本文讨论的时标 T = [ a , b ] ∪ { c } ∪ [ d , e ] ,则在区间[a, b]和[d, e]上有 μ = 0 , r σ = r ,所以时标上的积分退化为经典的勒贝格积分,主基解矩阵退化为
F k ( t , λ , a k ) = [ 1 t − a k 0 0 0 1 0 0 ∫ a k t ( λ w − q ) ( t − x ) d x ∫ a k t ( λ w − q ) ( t − x ) ( x − a k ) d x 1 − ( t − a k ) − ∫ a k t ( λ w − q ) d x − ∫ a k t ( λ w − q ) ( x − a k ) d x 0 1 ] , k = 0 , 2 , ⋯ , 2 m ;
F k ( t , λ , a k ) = [ 1 t − a k ∫ a k t r ( t − x ) d x − ∫ a k t r ( t − x ) ( x − a k ) d x 0 1 ∫ a k t r d x − ∫ a k t r ( x − a k ) d x 0 0 1 − ( t − a k ) 0 0 0 1 ] , k = 1 , 3 , ⋯ , 2 m − 1.
主基解矩阵的证明与文献 [
引理3.2. 令(3.1)~(3.4)成立。设 Ψ ( t , λ ) = [ ψ i j ( t , λ ) ] 是方程(2.1)满足初始条件 Ψ ( b , λ ) = I , λ ∈ ℂ 的基解矩阵,令
F i ~ ( t , λ , b i ) = [ 1 t − b i 0 0 0 1 0 0 ∫ b i t μ ( λ w − q ) Δ x + ∫ b i t ( λ w − q ) ( t − x ) Δ x ∫ b i t μ ( λ w − q ) ( x − b i ) Δ x + ∫ b i t ( λ w − q ) ( t − x ) ( x − b i ) Δ x 1 − ( t − b i ) − ∫ b i t ( λ w − q ) Δ x − ∫ b i t ( λ w − q ) ( x − b i ) Δ x 0 1 ] , i = 0 , 2 , ⋯ , 2 n ; (3.8)
F i ~ ( t , λ , b i ) = [ 1 t − b i ∫ b i t r σ ( t − x ) Δ x − ∫ b i t r σ ( t − x ) ( x − a k ) Δ x − ∫ b i t μ r σ ( t − x ) Δ x 0 1 ∫ b i t r σ Δ x − ∫ b i t r σ ( x − a k ) Δ x − ∫ b i t μ r σ Δ x 0 0 1 − ( t − b i ) 0 0 0 1 ] , i = 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1. (3.9)
那么,对于 1 ≤ i ≤ 2 n + 1 ,有
Ψ ( b i , λ ) = F i − 1 ~ ( b i , λ , b i − 1 ) Ψ ( b i − 1 , λ ) . (3.10)
为了更加简洁,我们令 T 0 ~ = F 0 ~ ( b 1 , λ , b 0 ) , T i ~ = F 2 i ~ ( b 2 i + 1 , λ , b 2 i ) F 2 i − 1 ~ ( b 2 i , λ , b 2 i − 1 ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。则 Ψ ( b 1 , λ ) = F 0 ~ ( b 1 , λ , b 0 ) = T 0 ~ , Ψ ( b 2 i + 1 , λ ) = T i ~ Ψ ( b 2 i − 1 , λ ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n 。进而得到如下递推公式 Ψ ( b 2 i + 1 , λ ) = T i ~ T i − 1 ~ ⋯ T 0 ~ , i = 0 , 1 , ⋯ , n 。
证明:该引理的证明与引理3.1类似。
注3.1. 引理3.1和引理3.2中,为了便于区分,部分自变量t使用x来表示。
下面我们根据间断点之间的关系得出连接矩阵。
引理3.3. 令(3.1)~(3.4)成立。 Φ ( t , λ ) , Ψ ( t , λ ) 由引理3.1和引理3.2给出,则
Φ ( e , λ ) = Ψ ( e , λ ) N ( λ ) Φ ( b , λ ) , (3.11)
其中 N ( λ ) = N 2 ( λ ) N 1 ( λ ) ,且
N 1 ( λ ) = [ 0 c − b 0 0 ( c − b ) 3 r ( c ) ( λ w ( b ) − q ( b ) ) 1 ( c − b ) r ( c ) − ( c − b ) 2 r ( c ) ( c − b ) 2 ( λ w ( b ) − q ( b ) ) 0 1 − ( c − b ) − ( c − b ) ( λ w ( b ) − q ( b ) ) 0 0 1 ] ,
N 2 ( λ ) = [ 0 d − c 0 0 ( d − c ) 3 r ( d ) ( λ w ( c ) − q ( c ) ) 1 ( d − c ) r ( d ) − ( d − c ) 2 r ( d ) ( d − c ) 2 ( λ w ( c ) − q ( c ) ) 0 1 − ( d − c ) − ( d − c ) ( λ w ( c ) − q ( c ) ) 0 0 1 ] .
证明:由定义2.3和方程(2.1)可知
u i Δ ( b ) = u i ( c ) − u i ( b ) c − b , i = 1 , 2 , 3 , 4. (3.12)
由(1.1),(3.12)计算可得
X ( c ) = N 1 ( λ ) X ( b ) ,
其中
N 1 ( λ ) = [ 0 c − b 0 0 ( c − b ) 3 r ( c ) ( λ w ( b ) − q ( b ) ) 1 ( c − b ) r ( c ) − ( c − b ) 2 r ( c ) ( c − b ) 2 ( λ w ( b ) − q ( b ) ) 0 1 − ( c − b ) − ( c − b ) ( λ w ( b ) − q ( b ) ) 0 0 1 ] ,
同理可得
X ( d ) = N 2 ( λ ) X ( c ) ,
其中
N 2 ( λ ) = [ 0 d − c 0 0 ( d − c ) 3 r ( d ) ( λ w ( c ) − q ( c ) ) 1 ( d − c ) r ( d ) − ( d − c ) 2 r ( d ) ( d − c ) 2 ( λ w ( c ) − q ( c ) ) 0 1 − ( d − c ) − ( d − c ) ( λ w ( c ) − q ( c ) ) 0 0 1 ] .
又因为
X ( b ) = Φ ( b , λ ) X ( a ) , X ( e ) = Ψ ( e , λ ) X ( d ) ,
则
X ( e ) = Ψ ( e , λ ) N ( λ ) Φ ( b , λ ) X ( a ) , X ( e ) = Φ ( e , λ ) X ( a ) . (3.13)
又因为 det ( I + μ ( b ) A ( b ) ) ≠ 0 ,由引理2.2以及(3.13)可知 Φ ( e , λ ) = Ψ ( e , λ ) N ( λ ) Φ ( b , λ ) 。
推论 3.1. 令 N ( λ ) = [ n 11 ( λ ) d − b n 13 n 41 n 21 ( λ ) n 22 ( λ ) n 23 n 42 n 31 ( λ ) n 32 ( λ ) 1 − ( d − b ) n 41 ( λ ) n 42 ( λ ) 0 1 ] ,对基解矩阵 Φ 我们有
ϕ i j ( e , λ ) = H i j λ m + n + 1 + ϕ i j ~ ( λ ) , i , j = 1 , 2 , 或 者 i , j = 3 , 4 ; ϕ i j ( e , λ ) = H i j λ m + n + 2 + ϕ i j ~ ( λ ) , i = 3 , 4 , j = 1 , 2 ; ϕ i j ( e , λ ) = H i j λ m + n + ϕ i j ~ ( λ ) , i = 1 , 2 , j = 3 , 4 ,
其中Hij取决于 r k , r k ∧ , r k ∨ , k = 0 , 1 , ⋯ , m − 1 , w k , w k ∧ , w k ∨ , k = 0 , 1 , ⋯ , m , r i ~ , r i ~ ∧ , r i ~ ∨ , i = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 , w i ~ , w i ~ ∧ , w i ~ ∨ , i = 0 , 1 , ⋯ , n ,和端点b,c,d,e。 ϕ i j ~ ( λ ) 是关于λ的函数,其所含λ的次数分别小于 m + n + 1 , m + n + 2 或 m + n 。例如 ϕ 11 ( e , λ ) = H 11 λ m + n + 1 + ϕ 11 ~ ( λ ) ,所以 ϕ 11 ~ ( λ ) 中λ的次数小于 m + n + 1 。
下面我们可以得出本文的主要结论。考察时标上四阶边值问题(1.1),(1.3),则可得以下定理。
定理3.1. 设 m , n ∈ ℕ ,令(3.1)~(3.4)成立。则时标上四阶边值问题(1.1),(1.3)至多有 3 m + 3 n + 4 个特征值。
证明:因为 δ ( λ ) = det [ A + B Φ ( e , λ ) ] ,其中 Φ ( e , λ ) = [ ϕ i j ( e , λ ) ] 。由引理2.3和推论3.1可知判断函数 δ(λ)是关于λ的多项式。我们用 d i j , 1 ≤ i , j ≤ 4 来表示 ϕ i j ( e , λ ) 中λ的次数,则基解矩阵 Φ ( e , λ ) 中λ的次数可以写成以下矩阵
( d i j ) = [ m + n + 1 m + n + 1 m + n m + n m + n + 1 m + n + 1 m + n m + n m + n + 2 m + n + 2 m + n + 1 m + n + 1 m + n + 2 m + n + 2 m + n + 1 m + n + 1 ] . (3.14)
由引理2.3和(3.14)知,δ(λ)中λ最高次数为 3 m + 3 n + 4 。由代数基本定理知δ(λ)至多有 3 m + 3 n + 4 个根,即时标上四阶边值问题(1.1),(1.3)至多有 3 m + 3 n + 4 个特征值。
注3.2. 本文我们只研究了时标上四阶对称S-L方程其中的一种,其他的情形可以用类似的方法研究并得到相应的有限谱结论,只是计算过程有所不同。
本文由国家自然科学基金(11661059, 11301259),内蒙古自然科学基金(2017JQ07)资助。
王 娟,敖继军. 一类时标上四阶边值问题的有限谱 Finite Spectrum of a Class of Fourth Order Boundary Value Problems on Time Scales[J]. 应用数学进展, 2018, 07(05): 510-518. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.75062