本文研究了一类的形如
陈宝琴,李升*
广东海洋大学,数学与计算机学院,广东 湛江
收稿日期:2018年6月23日;录用日期:2018年7月13日;发布日期:2018年7月20日
本文研究了一类的形如 的差分潘勒韦方程,其中 h ( z ) ∈ S ( w ) 为有理函数,得到以下结论:1) 若w只有有限个零点和极点,则 ρ ( w ) ∈ { 1 , 2 } 且 w = R e a 2 z 2 + a 1 z + a 0 ,其中R为有理函数, a 0 , a 1 , a 2 为常数, a 1 , a 2 不同时为0;2) 若w有无穷多个零点或极点,则 ρ ( w ) ≥ m a x { λ ( w ) , λ ( 1 / w ) } ≥ 1 。
关键词 :差分潘勒韦方程,增长级,极点,零点
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在本文中,亚纯函数是指该函数在整个复平面上亚纯。在下文中,假定所有读者都熟悉亚纯函数的Nevanlinna理论和潘勒韦方程理论及其基本记号 [
微分潘勒韦方程是一类物理背景深厚、应用广泛的重要方程。人们开展相关的研究已有一百多年,并取得了极其丰富的成果。近十多年来,人们通过引入Nevanlinna理论深入研究复域差分、差分方程,并取得了一些优秀的成果 [
定理A [
w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = R ( z , f ) (1)
有超级小于1的可容许解w,其中 R ( z , w ) 关于z亚纯且为w的有理函数,则或者w满足差分Riccati方程
w ( z + 1 ) = α ( z ) w ( z ) + β ( z ) w ( z ) + γ ( z ) ,
其中 α ( z ) , β ( z ) , γ ( z ) ∈ S ( w ) 为代数体函数,或者方程(1)等价于以下形式之一:
w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = η ( z ) w 2 ( z ) − λ ( z ) w ( z ) + μ ( z ) ( w ( z ) − 1 ) ( w ( z ) − ν ( z ) ) , (2a)
w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = η ( z ) w 2 ( z ) − λ ( z ) w ( z ) w ( z ) − 1 , (2b)
w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = η ( z ) ( w ( z ) − λ ( z ) ) w ( z ) − 1 , (2c)
w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = h ( z ) w m ( z ) . (2d)
在(2a)中,系数满足
κ 2 ( z ) μ ( z + 1 ) μ ( z − 1 ) = μ 2 ( z ) , λ ( z + 1 ) μ ( z ) = κ ( z ) λ ( z − 1 ) μ ( z + 1 ) , κ ( z ) λ ( z + 2 ) λ ( z − 1 ) = κ ( z − 1 ) λ ( z ) λ ( z + 1 ) ,
和以下情况之一:1) η ≡ 1 , ν ( z + 1 ) ν ( z − 1 ) = 1 , κ ( z ) = ν ( z ) ;2) η ( z + 1 ) = η ( z − 1 ) = ν ( z ) , κ ≡ 1 。
在(2b)中,系数满足 η ( z ) η ( z + 1 ) = 1 和 λ ( z + 2 ) λ ( z − 1 ) = λ ( z ) λ ( z + 1 ) 。
在(2c)中,系数满足
1) η ≡ 1 ,且 λ ( z ) = λ ( z + 1 ) λ ( z − 1 ) 或 λ ( z + 3 ) λ ( z − 3 ) = λ ( z + 2 ) λ ( z − 2 ) 成立;
2) λ ( z + 1 ) λ ( z − 1 ) = λ ( z + 2 ) λ ( z − 2 ) , η ( z + 1 ) λ ( z + 1 ) = λ ( z + 2 ) η ( z − 1 ) , η ( z ) η ( z − 1 ) = η ( z + 2 ) η ( z + 3 ) ;
3) η ( z + 2 ) η ( z − 2 ) = η ( z ) η ( z − 1 ) , λ ( z ) = η ( z − 1 ) ;
4) λ ( z + 3 ) λ ( z − 3 ) = λ ( z + 2 ) λ ( z − 2 ) λ ( z ) , η ( z ) λ ( z ) = η ( z + 2 ) η ( z − 2 ) 。
在(2d)中, h ( z ) ∈ S ( w ) 且 m ∈ ℤ , | m | ≤ 2 。
在定理A中,方程(2a)~(2d)均为第三类差分潘勒韦方程。蓝双婷和陈宗煊 [
w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = h ( z ) w 2 ( z ) , (3)
其中, h ( z ) ∈ S ( w ) 为有理函数,得到了以下结果:
定理1:设w为方程(3)的有限级亚纯解,其中 h ( z ) ∈ S ( w ) 为有理函数,则以下结论成立:
1) 若w只有有限个零点和极点,则 ρ ( w ) ∈ { 1 , 2 } 且 w = R e a 2 z 2 + a 1 z + a 0 ,其中R为有理函数, a 0 , a 1 , a 2 为常数, a 1 , a 2 不同时为0;
2) 若w有无穷多个零点或极点,则 。
注:方程(3)可能有级为无穷且超级为1的亚纯解;而在不考虑条件 h ( z ) ∈ S ( w ) 时,方程(3)可能既有超越亚纯函数解,又有有理函数解,例如方程
w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = z 2 − 1 z 2 w 2 (z)
的其中五个解为 w 1 = z e e 2 π i z , w 2 = z , w 3 = z e z , w 4 = z sin ( 2 π z ) , w 5 = z / sin ( 2 π z ) 。这里 w 2 是有理函数解,而
ρ ( w 1 ) = + ∞ , ρ ( w 2 ) = ρ ( w 3 ) = ρ ( w 4 ) = ρ ( w 5 ) = ρ 2 ( w 1 ) = 1 ; λ ( 1 / w 4 ) = ρ ( w 4 ) ; λ ( w 5 ) = ρ ( w 5 ) .
引理1 [
f ( z ) = c k z k + c k + 1 z k + 1 + ⋯ , c k ≠ 0 , k ∈ ℤ ,
则
f ( z ) = z k e Q ( z ) P 1 ( z ) P 2 ( z ) ,
其中 P 1 ( z ) , P 2 ( z ) 分别为 f ( z ) 非零零点和极点的典型乘积, Q 2 ( z ) 为次数不超过 ρ ( f ) 的多项式。
引理2:假设w为方程(3)的非常数亚纯解, h ( z ) ∈ S ( w ) ,则w为超越亚纯函数。
证明:利用反证法,假设w为方程(1)的有理函数解,则w至少有一个零点或极点, T ( r , w ) = O ( log r ) 。由 h ( z ) ∈ S ( w ) 可知 h ( z ) 为常数函数,且
h ( z ) ≡ lim z → ∞ w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) w 2 ( z ) = 1.
这表明
w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = w 2 ( z ) . (4)
为方便计,不妨设0为 w ( z ) 的 k 1 ≥ 1 阶零点(事实上,若
情况1:−1为 w ( z ) 的 l 1 ≥ 1 阶零点。此时由 w 2 ( − 2 ) = w ( − 1 ) w ( − 3 ) ,可知:
子情况1.1:−2既不是 w ( z ) 的零点也不是 w ( z ) 的极点,则−3为 w ( z ) 的 l 1 阶极点。再由 w 2 ( − 3 ) = w ( − 2 ) w ( − 4 ) ,可知−4为 w ( z ) 的 2 l 1 阶极点。依次类推, − n ( n = 5 , 6 , 7 , ⋯ ) 均为 w ( z ) 的 ( n − 2 ) l 1 阶极点,这表明w有无穷多个极点,与w为有理函数矛盾。
子情况1.2:−2为 w ( z ) 的 k 2 ≥ 1 阶零点,则
1) 当 2 k 2 − l 1 = 0 时,−3既不是 w ( z ) 的零点也不是 w ( z ) 的极点,类似情况1可得类似的矛盾。
2) 当 2 k 2 − l 1 ≤ − 1 时,−3为 的 l 1 − 2 k 2 阶极点。再由 w 2 ( − 3 ) = w ( − 2 ) w ( − 4 ) ,可知−4为 w ( z ) 的 2 l 1 − 3 k 2 阶极点。依次类推, − n ( n = 5 , 6 , 7 , ⋯ ) 均为 w ( z ) 的 ( n − 2 ) l 1 − ( n − 1 ) k 2 阶极点,这表明w有无穷多个极点,与w为有理函数矛盾。
3) 当 2 k 2 − l 1 ≥ 1 时,−3为 w ( z ) 的 2 k 2 − l 1 阶零点。再由 w 2 ( − 3 ) = w ( − 2 ) w ( − 4 ) ,由(1)和(2)中的讨论可知−4是 w ( z ) 的极点且阶为 3 k 2 − 2 l 1 。依此类推可得, − n ( n = 5 , 6 , 7 , ⋯ ) 均为 w ( z ) 的 ( n − 1 ) k 2 − ( n − 2 ) l 1 阶零点。这表明w有无穷多个零点,与w为有理函数矛盾。
情况2:−1为 w ( z ) 的 l 1 ≥ 1 阶极点。类似子情况1.2中(2)的讨论可得类似的矛盾。
情况3:−1既不是 w ( z ) 的零点也不是 w ( z ) 的极点。类似子情况1.1可得类似的矛盾。
综上所述,引理2得证。
假设w为方程(1)的有限级非常数亚纯解,则由引理2可知,w为超越亚纯函数。再由引理1,可以将w记为
w ( z ) = z k e Q ( z ) P 1 ( z ) P 2 ( z ) , (5)
其中 P 1 ( z ) , P 2 ( z ) 分别为w非零零点和极点的典型乘积, Q ( z ) 为多项式且次数不超过w的级 ρ ( w ) 。
情况1:w只有有限个零点和极点,此时 P 1 ( z ) , P 2 ( z ) 为多项式,从而 Q ( z ) 为非常数多项式。将(5)代入(3)可得
h ( z ) = ( z + 1 ) k ( z − 1 ) k z 2 k P 2 2 ( z ) P 1 ( z + 1 ) P 1 ( z − 1 ) P 1 2 ( z ) P 2 ( z + 1 ) P 2 ( z − 1 ) e 2 Q ( z ) − Q ( z + 1 ) − Q ( z − 1 ) ,
即
e Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = ( z + 1 ) k ( z − 1 ) k z 2 k h ( z ) P 2 2 ( z ) P 1 ( z + 1 ) P 1 ( z − 1 ) P 1 2 ( z ) P 2 ( z + 1 ) P 2 ( z − 1 ) . (6)
记
Q ( z ) = a n z n + ⋯ + a 1 z + a 0 ,
其中 a n ≠ 0 , n ≥ 1 。注意到(6)的右边是有理函数,故
Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = c . (7)
容易验证:
1) 当 n = 1 时, Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = 0 ;
2) 当 n = 2 时, Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = 2 C 2 2 − 2 a 2 z 2 − 2 ;
3) 当 n = 3 时, Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = 2 ⋅ ( C 3 2 a 3 z 3 − 2 + C 2 2 a 2 z 2 − 2 ) 。
由此再结合归纳法可得当 n ≥ 3 时,
Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = 2 ∑ j = 2 n C j j − 2 a j z j − 2 ≜ b n − 2 z n − 2 + b n − 3 z n − 3 + ⋯ + b 0 ,
其中 b j = 2 C j j − 2 a j , j = 2 , 3 , ⋯ , n 。要使得(7)成立,必有 n ≤ 2 。这就得到
Q ( z ) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 ,
其中 a 0 , a 1 , a 2 为常数, a 1 , a 2 不同时为0。
情况2:w有无穷多个零点或极点。不妨设w有无穷多个零点。注意到h为有理函数,至多有有限个零点和极点。故可以取到w的某个零点 z m 使得 h ( z m + k ) ≠ 0 , ∞ , ∀ k ∈ ℤ 。类似引理2的讨论,可以证明 z k − k ( k = 3 , 4 , ⋯ ) 都是w零点(极点)。从而在圆 { z : | z | = r ≤ s + | z m | ( s = 1 , 2 , ⋯ ) } 内至少有 s − 2 个零点(极点),从而得到
λ ( r , w ) = lim r → + ∞ sup log N ( r , 1 / w ) log r ≥ lim s → + ∞ log ( ( s − 2 − k ) log s ) log ( s + | z m | ) = 1 ,
或
λ ( r , 1 / w ) = lim r → + ∞ sup log N ( r , w ) log r ≥ lim s → + ∞ log ( ( s − 2 − k ) log s ) log ( s + | z m | ) = 1.
也就是
ρ ( w ) ≥ max { λ ( w ) , λ ( 1 / w ) } ≥ 1 .
定理1证明完毕。
本论文得到广东省高等学校优秀青年教师培养计划项目(YQ2015089),广东自然科学基金项目(2015A030313620),广东海洋大学优秀青年教师培养计划项目(2014007,HDYQ2015006),广东海洋大学创新强校工程项目(gdou2016050209)的资助。
陈宝琴,李升. 一类差分潘勒韦方程亚纯解的性质 Properties of Meromorphic Solutions of a Class of Difference Painlevé Equations[J]. 应用数学进展, 2018, 07(07): 836-841. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.77100