利用欧拉变分原理以及一个变形的山路引理,证明了一类非线性椭圆型边界值问题至少存在两个正解。 Using the Ekeland’s variantional principle and a variant version mountain pass lemma, two positive solutions are obtained for a class of nonlinear elliptic boundary value problem.
曲广军
陕西理工大学,数学与计算机科学学院,陕西 汉中
收稿日期:2018年6月24日;录用日期:2018年7月13日;发布日期:2018年7月20日
利用欧拉变分原理以及一个变形的山路引理,证明了一类非线性椭圆型边界值问题至少存在两个正解。
关键词 :欧拉变分原理,变形的山路引理,正解
Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
考虑以下非线性椭圆型边界值问题
{ − Δ p u = λ f ( x , u ) , x ∈ Ω . u = 0 , x ∈ ∂ Ω . (1)
其中, Δ p u 是p-拉普拉斯算子且 p > 1 , Ω 是 R n ( n ≥ 1 ) 中带有光滑边界的有界区域, λ > 0 是参数,函数 f ( x , t ) ∈ C ( Ω ¯ × R , R ) 满足以下条件:
f1) lim t → 0 + f ( x , t ) t p − 1 = + ∞ a.e. x ∈ Ω ¯ ;
f2) lim t → + ∞ f ( x , t ) t p − 1 = + ∞ a.e. x ∈ Ω ¯ ;
f3) 存在常数 θ ≥ 1 , θ 0 > 0 使得 θ G ( x , s ) ≥ G ( x , t ) − θ 0 ∀ x ∈ Ω ¯ , 0 ≤ t ≤ s 都成立。其中, G ( x , t ) = f ( x , t ) t − p F ( x , t ) 且 F ( x , t ) = ∫ 0 t f ( x , s ) d s ;
f4) 当 n > p 时, ∃ q ∈ ( p , n p n − p ) ;当 n ≤ p 时, ∃ q ∈ ( p , + ∞ ) ,s. t. lim t → + ∞ f ( x , t ) t q − 1 = 0 a.e. x ∈ Ω ¯ ;
f5) 当 t ≥ 0 , x ∈ Ω ¯ 时, f ( x , t ) ≥ 0 ;当 t ≤ 0 , x ∈ Ω ¯ 时, f ( x , t ) ≡ 0 。
方程(1)是一类重要的非线性椭圆问题,因此被广泛研究,如文献 [
f2') lim t → + ∞ f ( x , t ) t p − 1 = l a.e. x ∈ Ω ¯ ,其中l是常数。
若 f ( x , t ) 满足条件(f2'),则称 f ( x , t ) 在无穷远处是渐近线性的;若 f ( x , t ) 满足条件(f2),则称 f ( x , t ) 在无穷远处是超线性的;很明显(f2)和(f2')是不相容的。
文献 [
f1') b 0 ≤ lim t → 0 + inf f ( x , t ) t p − 1 ≤ lim t → 0 + sup f ( x , t ) t p − 1 ≤ a ( x ) a. e. x ∈ Ω ¯ ,其中 b 0 为常数, a ( x ) ∈ L ∞ ( Ω ) 满足
∀ x ∈ Ω ¯ ,都有 a ( x ) ≤ λ 1 ,且存在某正测集 Ω 1 ⊂ Ω 使得 a ( x ) ≤ λ 1 a. e. x ∈ Ω ¯ , λ 1 是 − Δ p 的第一个特征值。
明显地,条件(f1)和(f1')是矛盾的。本文将在(f1)~(f5)的条件下,证明方程(1)至少存在两个正解。
定义:设E为实Banach空间, I ∈ C 1 ( E , R ) 。如果使得 { I ( u k ) } 有界,且
( 1 + ‖ u k ‖ ) I ′ ( u k ) → 0 ( k → ∞ )
的任一序列 { u k } ( u k ∈ E ) 都有一个收敛子列,则称泛函I满足(C)条件。
以下是本文将要用到的一个变形的山路引理,其证明见文献 [
山路引理:设E为实Banach空间,其对偶空间为 E ∗ , I ∈ C 1 ( E , R ) ,且存在 α < β , ρ > 0 及 e ∈ E ( ‖ e ‖ > ρ ) ,使得
max { I ( 0 ) , I ( e ) } ≤ α < β ≤ inf ‖ u ‖ = ρ I ( u ) 。
记 c = inf γ ∈ Γ max 0 ≤ t ≤ 1 I ( γ ( t ) ) ,其中 Γ = { γ ∈ C ( [ 0 , 1 ] , E ) : γ ( 0 ) = 0 , γ ( 1 ) = e } 为连结0与e的道路的集合。则存
在序列 { u n } ⊂ E ,使得
I ( u n ) → c ≥ β ,且 ( 1 + ‖ u n ‖ ) ‖ I ′ ( u n ) ‖ E ∗ → 0 ( n → ∞ ) 。
定义如下的 C 1 泛函:
J λ ( u ) = 1 p ∫ Ω | ∇ u | p d x − λ ∫ Ω F ( x , u ) d x , ∀ u ∈ W 0 1 , p ( Ω ) 。
则 J λ ∈ C 1 ( W 0 1 , p ( Ω ) , R ) ,且寻找方程(1)的非平凡解等价于寻找泛函 J λ 的非零临界点。
命题1:设函数 f ( x , t ) 满足条件(f4),(f5),则 ∃ β , ρ > 0 , s. t. ∀ u ∈ W 0 1 , p ( Ω ) ( ‖ u ‖ = ρ ) ,有 J λ ( u ) ≥ β > 0 。
证:由 f ( x , t ) ∈ C ( Ω ¯ × R , R ) 及条件(f4),(f5)成立,则存在常数 c 1 > 0 ,使得
f ( x , t ) ≤ c 1 | t | q − 1 , ∀ ( x , t ) ∈ Ω ¯ × R 。
则
F ( x , t ) ≤ c 1 q | t | q , ∀ ( x , t ) ∈ Ω ¯ × R 。 (2)
所以由(2)式及Sobolev不等式,有
J λ ( u ) = 1 p ‖ u ‖ p − λ ∫ Ω F ( x , u ) d x ≥ 1 p ‖ u ‖ p − λ ∫ Ω c 1 q | u | q d x ≥ 1 p ‖ u ‖ p − λ c 2 ‖ u ‖ q (3)
其中 c 2 > 0 为常数。因为 p < q , λ > 0 ,令 ρ > 0 足够小,使
β = 1 p ρ p − λ c 2 ρ q > 0 。
则由(3)式, J λ ( u ) | ∂ B ρ ( 0 ) ≥ β > 0 。
命题2:设函数 f ( x , t ) 满足条件(f2),(f5),则存在 e λ ∈ W 0 1 , p ( Ω ) 且 ‖ e λ ‖ > ρ ,使得 J λ ( e λ ) < 0 。
证:由条件(f2),(f5),则 ∀ ε > 0 , ∃ m = m ( ε ) > 0 ,s. t.
f ( x , t ) ≥ t p − 1 ε − m , ∀ ( x , t ) ∈ Ω ¯ × R 。
则
F ( x , t ) ≥ 1 p ε t p − m t , ∀ ( x , t ) ∈ Ω ¯ × R 。
设 ϕ 1 > 0 ( ‖ ϕ 1 ‖ = 1 ) 是 λ 1 对应的正则特征函数,则
∫ Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x ≥ ∫ Ω ( 1 p ε ϕ 1 p − m ϕ 1 t p − 1 ) d x . (4)
在(4)式中令 t → + ∞ ,则
lim t → + ∞ inf ∫ Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x ≥ ∫ Ω 1 p ε ϕ 1 p d x ,
由 ε > 0 是任意的,故当 ε → 0 + 时,可得
lim t → + ∞ ∫ Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x = + ∞ 。
从而,
J λ ( t ϕ 1 ) t p = 1 p − ∫ Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x → − ∞ ( t → + ∞ ) 。
所以当 t 0 > 0 充分大时, ∃ e λ = t 0 ϕ 1 ∈ W 0 1 , p ( Ω ) 且 ‖ e λ ‖ > ρ ,s. t. J λ ( e λ ) < 0
命题3:设函数 f ( x , t ) 满足条件(f2),(f3),(f5),则 J λ ( u ) 满足(C)条件。
证:令 { u n } ⊂ W 0 1 , p ( Ω ) 满足
J λ ( u n ) → c ,且 ( 1 + ‖ u n ‖ ) ‖ J ′ λ ( u n ) ‖ → 0 ( n → ∞ ) . (5)
则 1 p 〈 J ′ λ ( u n ) , u n 〉 = o ( 1 ) ,从而
∫ Ω ( λ p f ( x , u n ) u n − λ F ( x , u n ) ) d x = c + o ( 1 ) . (6)
下证 { u n } 有界。若不然,假设存在 { u n } 的子序列(仍记为 { u n } ),使得当 n → ∞ 时, ‖ u n ‖ → ∞ 。令 W n = u n ‖ u n ‖ ,则 ‖ W n ‖ = 1 。从而存在 W ∈ W 0 1 , p ( Ω ) 及 { W n } 的子序列(仍记为 { W n } ),使得当 n → ∞ 时,有
W n → 弱 W 在 W 0 1 , p ( Ω ) 中;有 W n → 强 W 在 L q ( Ω ) 中; W n ( x ) → W ( x ) a.e. x ∈ Ω . (7)
易见, W + 和 W − 有类似于(7)的收敛性,其中 W ± = max { ± W , 0 } 。
若 W + ≡ 0 。选取一个实数序列 { t n } ,使得 J λ ( t n u n ) = max t ∈ [ 0 , 1 ] J λ ( t u n ) 。对任意的正整数k,定义 V n = ( 2 p k ) 1 p W n + ,因为 W + ≡ 0 ,则
lim n → ∞ ∫ Ω F ( x , V n ) d x = 0 。 (8)
因为 c ‖ u n ‖ → + ∞ ( n → ∞ ) ,则当n充分大时, ( 2 p k ) 1 p ‖ u n ‖ ∈ [ 0 , 1 ] 。由 t n 的定义及(8)式,得
J λ ( t n u n ) ≥ J λ ( ( 2 p k ) 1 p ‖ u n ‖ u n + ) = J λ ( ( 2 p k ) 1 p W n + ) = J λ ( V n ) ≥ 2 K − λ ∫ Ω F ( x , V n ) d x ≥ K 。
故
J λ ( t n u n ) → + ∞ ( n → ∞ ) 。 (9)
由条件(f5)知, f ( x , 0 ) = 0 ,则 J λ ( 0 ) = 0 。又因为 J λ ( u n ) → c ( n → ∞ ) ,则当n充分大时, 0 < t n < 1 。因此
∫ Ω | ∇ ( t n u n ) | p d x − λ ∫ Ω f ( x , t n u n ) t n u n d x = 〈 J ′ λ ( t n u n ) , t n u n 〉 = t n d J λ ( t u n ) d t | t = t n = 0 (10)
但由 0 ≤ t n ≤ 1 ,则 | t n u n | ≤ | u n | 。从而由(9),(10)式及条件(f3),有
∫ Ω ( λ p f ( x , u n ) u n − λ F ( x , u n ) ) d x = λ p ∫ Ω ( f ( x , u n ) u n − p F ( x , u n ) ) d x = λ p ∫ Ω G ( x , u n ) d x ≥ λ p θ ∫ Ω ( G ( x , t n u n ) − θ 0 ) d x = 1 θ ∫ Ω ( λ p f ( x , t n u n ) t n u n − λ F ( x , t n u n ) ) d x − λ θ 0 p θ | Ω | = 1 θ ∫ Ω ( 1 p | ∇ ( t n u n ) | p − λ F ( x , t n u n ) ) d x − λ θ 0 p θ | Ω | = 1 θ J λ ( t n u n ) − λ θ 0 p θ | Ω | → + ∞ ( n → ∞ )
这与(6)矛盾。
若 W + > 0 ,由 ‖ u n ‖ → + ∞ ( n → ∞ ) ,则当 n → ∞ 时, u n + → + ∞ a.e. x ∈ Ω + = { x ∈ Ω : W + > 0 } 。由条件(f2),则
lim n → ∞ f ( x , u n + ) ( u n + ) p − 1 ( W n + ) p = + ∞ a.e. x ∈ Ω + 。 (11)
由条件(f5)及(5)式,有
o ( 1 ) = 〈 J ′ λ ( u n ) , u n 〉 = ‖ u n ‖ p − λ ∫ Ω f ( x , u n ) u n d x ≤ ‖ u n ‖ p − λ ∫ Ω + f ( x , u n + ) u n + d x = ‖ u n ‖ p ( 1 − λ ∫ Ω + f ( x , u n + ) ( u n + ) p − 1 ( W n + ) p d x ) ,
则
o ( 1 ) ≤ 1 − λ ∫ Ω + f ( x , u n + ) ( u n + ) p − 1 ( W n + ) p d x 。
由 λ > 0 ,Fatou引理及(11)式,有
1 ≥ λ lim n → ∞ inf ∫ Ω + f ( x , u n + ) ( u n + ) p − 1 ( W n + ) p d x = + ∞ 。
这显然是一个矛盾。
综上, { u n } 有界。由Sobolev紧嵌入及标准化方法,可知 { u n } 存在一个收敛子列,即 J λ ( u ) 满足(C)条件。
定理4:设函数 f ( x , t ) 满足条件(f1)~(f5),则对每一个 λ > 0 ,方程(1)至少存在两个正解。
证:由命题1~3及变形的山路引理,可知 J λ 有一个临界点 u 0 λ 满足 J λ ( u 0 λ ) ≥ β > 0 。
由 J λ ( 0 ) = 0 ,则 u 0 λ ≠ 0 。又因为
0 = 〈 J ′ λ ( u 0 λ ) , ( u 0 λ ) − 〉 = ‖ ( u 0 λ ) − ‖ p − λ ∫ Ω f ( x , u 0 λ ) ( u 0 λ ) − d x = ‖ ( u 0 λ ) − ‖ p ≥ 0 ,
则 ‖ ( u 0 λ ) − ‖ = 0 ,故 u 0 λ ≥ 0 。从而由强极大值原理知 u 0 λ > 0 a.e. x ∈ Ω 。由命题1,s. t. ∃ β , ρ > 0 , inf ∂ B ρ ( 0 ) J λ ≥ β > 0 。
下证 − ∞ < inf B ρ ( 0 ) ¯ J λ < 0 。事实上,由条件(f1)及 λ > 0 知,当 t ∈ ( 0 , ρ ) 足够小时,有
J λ ( t ϕ 1 ) t p = 1 p − λ ∫ Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x < 0 。
故
− ∞ < inf B ρ ( 0 ) ¯ J λ < 0 < inf ∂ B ρ ( 0 ) J λ .
从而由欧拉变分原理,
∃ { V n λ } ⊂ B ρ ( 0 ) ⊂ W 0 1 , p ( Ω ) ,
s . t . ‖ J ′ λ ( V n λ ) ‖ → 0 , J λ ( V n λ ) → inf u ∈ B ρ ( 0 ) ¯ J λ ( u ) 。
所以 ∃ V 0 λ ∈ B ρ ( 0 ) ¯ ⊂ W 0 1 , p ( Ω ) , s t : V n λ → V 0 λ 且 J λ ( V 0 λ ) = inf u ∈ B ρ ( 0 ) ¯ J λ ( u ) , J ′ λ ( V 0 λ ) = 0 。
因此, V 0 λ 是 J λ 在 B ρ ( 0 ) ¯ 上的一个局部极小值,从而是方程(1)的解。由于
J λ ( V 0 λ ) = inf u ∈ B ρ ( 0 ) ¯ J λ ( u ) < 0 = J λ ( 0 ) < β ≤ J λ ( u 0 λ ) .
故 V 0 λ ≠ u 0 λ 且 V 0 λ ≠ 0 。由条件(f5)及极大值原理知, V 0 λ > 0 a. e. x ∈ Ω 。故方程(1)至少有两个正解 u 0 λ 和 V 0 λ 。
国家自然科学基金项目(11401357);陕西省教育厅科研基金项目(17JK0145)。
曲广军. 一类非线性椭圆型边界值问题的正解Positive Solutions for a Class of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problem[J]. 应用数学进展, 2018, 07(07): 857-862. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.77103