本文利用两个已知的双曲迭代函数系:
赵 瑜
广东海洋大学数学与计算机学院,广东 湛江
收稿日期:2018年9月8日;录用日期:2018年9月23日;发布日期:2018年9月30日
本文利用两个已知的双曲迭代函数系: { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 和 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } ,构造积空间 X × Y 上的迭代函数系,使这个新的双曲迭代函数系具有与升腾动力系统相类似的性质,并且与原来的两个迭代函数系有密切的联系。
关键词 :双曲迭代函数系,积空间,吸引子
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对于两个已知的双曲迭代函数系 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 和 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } [
度量空间 ( X , ρ ) 与定义在其上的一有限个压缩映射族 w n : X → X , n = 1 , 2 , ⋯ , N ,组成一个双曲迭代函数系,用IFS表示它,记为 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } ;如果 w n 的压缩比为 c n , n = 1 , 2 , ⋯ , N ,则称 c = max { c n , n = 1 , 2 , ⋯ , N } 为此IFS的压缩比(见 [
设 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 是完备度量空间 ( X , ρ ) 上的双曲迭代函数系,其压缩比为c,变换 W : F ( X ) → F ( X ) ,由下式定义: W ( B ) = ∪ n = 1 N w n ( B ) , ∀ B ∈ F ( X ) ,则W是分形空间 ( F ( X ) , h p ) 上压缩比为c的压缩映射,且存在唯一的不动点(不变集) A ∈ F ( X ) ,满足: A ∈ W ( A ) = ∪ n = 1 N w n ( A ) 且对 ∀ B ∈ F ( X ) ,都有 A = lim n → ∞ W n ( B ) (见 [
不动点 A ∈ F ( X ) 称为此IFS的吸引子(见 [
引理2.1(见 [
引理2.2(见 [
d ( x , y ) = max { ρ ( x 1 , y 1 ) , ρ ( x 2 , y 2 ) } ,其中 x = ( x 1 , x 2 ) ∈ X × Y , y = ( y 1 , y 2 ) ∈ X × Y ,
则d与 ρ 是等价的度量。
引理2.3 [
以上三个引理的证明极易,故从略。
引理2.4 [
证明:由引理2.1知 ( X × Y , d ) 是度量空间,设有一柯西序列 { ( x n , y n ) | n = 1 , 2 , ⋯ } ,则对 ∀ ε > 0 ,总存在自然数N,使得当 n , m > N 时,有 ρ 1 ( x n , x m ) < ε , ρ 2 ( y n , y m ) < ε ,
所以 { x n } 是X中的柯西序列, { y n } 是Y中的柯西序列,有X和Y的完备性知, lim n → ∞ x n 和 lim n → ∞ y n 均存在,记 lim n → ∞ x n = x , lim n → ∞ y n = y ,因此 lim n → ∞ ( x n , y n ) = ( x , y ) 。
定理3.1:设 ( X , ρ 1 ) , ( Y , ρ 2 ) 是两个完备度量空间, { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 和 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是两个双曲迭代函数系, w i 压缩比为 c i , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , w ′ n 的压缩比为 d j , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 ,令 w i × w ′ j ( x , y ) = ( w i ( x ) , w ′ j ( y ) ) , ∀ ( x , y ) ∈ X × Y ,则 { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是完备度量空间 ( X × Y , d ) 上的双曲迭代函数系。
证明:由于
d ( w i × w ′ j ( x , y ) , w i × w ′ j ( x ′ , y ′ ) ) = d { ( w i ( x ) , w ′ j ( y ) ) , ( w i ( x ′ ) , w ′ j ( y ′ ) ) } = max { ρ 1 ( w i ( x ) , w i ( x ′ ) ) , ρ 2 ( w ′ j ( y ) , w ′ j ( y ′ ) ) } ≤ max { c i ρ 1 ( x , x ′ ) , d j ρ 2 ( y , y ′ ) | 1 ≤ i ≤ N 1 , 1 ≤ j ≤ N 2 } ≤ max { c i , d j | 1 ≤ i ≤ N 1 , 1 ≤ j ≤ N 2 } ⋅ max { ρ 1 ( x , x ′ ) , ρ 2 ( y , y ′ ) | 1 ≤ i ≤ N 1 , 1 ≤ j ≤ N 2 } = max { c i , d j | 1 ≤ i ≤ N 1 , 1 ≤ j ≤ N 2 } ⋅ d ( ( x , y ) , ( x ′ , y ′ ) )
所以 w i × w ′ j 是压缩映射, i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 。由引理4知 ( X × Y , d ) 是完备的,因此定理得证。
称定理3.1中的双曲迭代函数系
{ X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 为双曲迭代函数系 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 和 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 的乘积。
关于两个迭代函数系的乘积,有以下的性质:
定理3.2:(影象定理),设A是完备度量空间上的双曲迭代函数系 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 的吸引子,B是完备度量空间上的双曲迭代函数系 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 的吸引子,则 A × B 是这两个IFS的乘积的吸引子;反之,C是这两个IFS乘积的吸引子,则 P 1 ( C ) 是 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 的吸引子, P 2 ( C ) 是 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 的吸引子,其中 P 1 : X × Y → Y , P 2 : X × Y → X 为自然投影。
证明:1) W ′ ( A ) = ∪ i = 1 N 1 w i ( A ) , ∀ A ∈ F ( X ) , W ″ ( B ) = ∪ j = 1 N 2 w ′ j ( B ) , ∀ B ∈ F ( Y ) ,则 W ′ × W ″ ( A × B ) = W ′ ( A ) × W ″ ( B ) = A × B 。于是定理的前半部分得证。
2) W = W ′ × W ″ ,其中 W ′ 和 W ″ 同(1)中的定义,则 W ( C ) = W ′ × W ″ ( C ) = C ,从而 P 1 ( W ( C ) ) = P 1 ( C ) , P 2 ( W ( C ) ) = P 2 ( C ) ,又由于 C = ∪ ( x , y ) ∈ C { ( x , y ) } ,所以 W ( C ) = ∪ ( x , y ) ∈ C W { ( x , y ) } = ∪ ( x , y ) ∈ C W ′ ( { x } ) × W ″ ( { y } ) ,
因而有: P 1 ( W ( C ) ) = ∪ ( x , y ) ∈ C W ′ ( { x } ) = ∪ ( x , y ) ∈ C ∪ i = 1 N 1 { w i ( x ) } = W ′ ( P 1 ( C ) ) = P 1 ( C ) ,同理可证得: P 2 ( W ( C ) ) = W ″ ( P 2 ( C ) ) = P 2 ( C ) 。由于吸引子是唯一的不动点,所以有 A = P 1 ( C ) , B = P 2 ( C ) 。
注记3.1:定理3.2的证明,用到以下的结果: F ( X × Y ) = F ( X ) × F ( Y ) 。事实上,设 C ∈ F ( X × Y ) ,则 P 1 ( C ) ∈ F ( X ) , P 2 ( C ) ∈ F ( Y ) ;反之,若 A ∈ F ( X ) , B ∈ F ( Y ) ,则有 A × B 为 X × Y 的紧子集且非空,即 A × B ∈ F ( X × Y ) 。
注记3.2: { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 与 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 的乘积的压缩比是两IFS的压缩比的最大值。
注记3.3:以上的定理及定义,可推广到任意有限多个的情形。
定理3.3设 ( X , ρ 1 ) , ( Y , ρ 2 ) 是两个完备度量空间, { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 和 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是两个双曲迭代函数系,他们的乘积为: { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 则有:
1) { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是全不连通的当且仅当 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 与 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 都是全不连通的。
2)若 { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是刚触及的,则在两个曲线迭代函数系 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 与 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 中,至少有一个也是刚触及的。
3) { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 与 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 均是刚触及的,则 { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 也是刚触及的。
证明:设A是 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 的吸引子,B是 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 的吸引子,则 A × B 是完备度量空间 ( X × Y , d ) 上的
IFS: { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 的吸引子,于是有:
Φ ( σ , n , ( x , y ) ) = w ¯ σ 1 ∘ w ¯ σ 2 ∘ ⋯ ∘ w ¯ σ n ( x , y ) ,其中 Σ = { x : x = x 1 x 2 ⋯ x i ⋯ , ∀ i ∈ N , x i ∈ { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ⋯ , ( N 1 , N 2 ) } } ,同时要求 { ( i , j ) : i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 以字典顺序关系作为此集合的偏序关系, w ¯ σ 1 = w p 1 ( σ 1 ) × w ′ p 2 ( σ 1 ) , p 1 , p 2 为自然投射,所以有:
w ¯ σ 1 ∘ w ¯ σ 2 = ( w p 1 ( σ 1 ) ∘ w p 1 ( σ 2 ) ) × ( w ′ p 2 ( σ 1 ) ∘ w ′ p 2 ( σ 2 ) ) ,由引理5知: Φ ( σ ) = lim n → ∞ Φ ( σ , n , ( x , y ) ) 存在,且 Φ ( σ ) 与 ( x , y ) 的选择无关以及 Φ : Σ → A 是连续满射。
1) 若 { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是
全不连通的,则 ∀ ( a , b ) ∈ A × B , Φ − 1 ( a , b ) = { σ } 是单点集,由于 Φ ( σ , n , ( x , y ) ) = Φ 1 ( σ ′ , n , x ) × Φ 2 ( σ ″ , n , y ) ,其中
σ ′ = σ ′ 1 ∘ σ ′ 2 ∘ ⋯ ∘ σ ′ i ∘ ⋯ , σ ′ i = p 1 ( σ i ) , i = 1 , 2 , ⋯ σ ″ = σ ″ 1 ∘ σ ″ 2 ∘ ⋯ ∘ σ ″ j ∘ ⋯ , σ ″ j = p 2 ( σ j ) , j = 1 , 2 , ⋯
所以 Φ ( σ ) = lim n → ∞ [ Φ 1 ( σ ′ , n , x ) × Φ 2 ( σ ″ , n , x ) ] = Φ 1 ( σ ′ ) × Φ 2 ( σ ″ ) ,其中:
Φ 1 ( σ 1 ) = lim n → ∞ Φ 1 ( σ ′ , n , x ) , Φ 2 ( σ 2 ) = lim n → ∞ Φ 2 ( σ ″ , n , y ) , Φ 1 ( σ ′ , n , x ) = w σ ′ 1 ∘ w σ ′ 2 ∘ ⋯ ∘ w σ ′ n ( x ) , Φ 2 ( σ ″ , n , y ) = w ′ σ ″ 1 ∘ w ′ σ ″ 2 ∘ ⋯ ∘ w ′ σ ″ n ( y ) ,
则 ∀ ( a , b ) ∈ A × B , { σ } = Φ − 1 ( a , b ) 是单点集当且仅当 { σ ′ } = Φ 1 − 1 ( a ) 和 { σ ″ } = Φ 2 − 1 ( b ) 也是单点集,因此结论(1)得证。
2) 由1)知
{ X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 不是全不连通的当且仅当 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 或 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 不是全不连通的。若 { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是刚触及的,则存在非空开集 V ⊂ X × Y ,使得:
① w i 1 × w ′ j 1 ( V ) ∩ w i 2 × w ′ j 2 ( V ) = ∅ , i 1 , i 2 ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N 1 } , j 1 , j 2 ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N 2 } ;
② ∪ j = 1 N 2 ∪ i = 1 N 1 w i × w ′ j ( V ) ⊂ V ;
由①有 [ w i 1 ( p 1 ( V ) ) × w ′ j 1 ( p 2 ( V ) ) ] ∩ [ w i 2 ( p 1 ( V ) ) × w ′ j 2 ( p 2 ( V ) ) ] = ∅ ,所以 w i 1 ( p 1 ( V ) ) ∩ w i 2 ( p 1 ( V ) ) = ∅ 或者 w ′ j 1 ( p 2 ( V ) ) ∩ w ′ j 2 ( p 2 ( V ) ) = ∅ ,又 ( i 1 , j 1 ) ≠ ( i 2 , j 2 ) ,若 j 1 = j 2 ,则 ∀ i 1 , i 2 ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N 1 } ,有 w i 1 ( p 1 ( V ) ) ∩ w i 2 ( p 1 ( V ) ) = ∅ ,而 p 1 ( V ) 是X中的非空开集,同理可证得 w ′ j 1 ( p 2 ( V ) ) ∩ w ′ j 2 ( p 2 ( V ) ) = ∅ , ∀ j 1 , j 2 ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N 2 } , j 1 ≠ j 2 ,且 p 1 ( V ) 为中的非空开集。
由②有 ∪ j = 1 N 2 ∪ i = 1 N 1 [ w i ( p 1 ( V ) ) × w ′ j ( p 2 ( V ) ) ] ⊂ V ,所以有 ∪ i = 1 N 1 w i ( p 1 ( V ) ) ⊂ p 1 ( V ) ,并且也有 ∪ j = 1 N 2 w ′ j ( p 2 ( V ) ) ⊂ p 2 ( V ) ,因此 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 或 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是刚触及的。
3) { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 和 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是刚触及的,由1)可知:
{ X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 不是全不连通的,且存在一个非空开集 V 1 ⊂ X ,使得:
① ∀ i 1 , i 2 ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N 1 } , i 1 ≠ i 2 ,有 w i 1 ( V 1 ) ∩ w i 2 ( V 1 ) = ∅ ;
② ∪ i = 1 N 1 w i ( V 1 ) ⊂ V 1 ,从而
w i 1 × w ′ j 1 ( V 1 × V 2 ) ∩ w i 2 × w ′ j 2 ( V 1 × V 2 ) = [ w i 1 ( V 1 ) ∩ w i 2 ( V 1 ) ] × [ w ′ j 1 ( V 2 ) ∩ w ′ j 2 ( V 2 ) ] = ∅ , ( i 1 , j 1 ) ≠ ( i 2 , j 2 ) (因为也存在非空开集 V 2 ⊂ Y ,使得:③ ∀ j 1 , j 2 ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N 2 } , j 1 ≠ j 2 ,有 w ′ j 1 ( V 2 ) ∩ w ′ j 2 ( V 2 ) = ∅ ;④ ∪ j = 1 N 2 w ′ j ( V 2 ) ⊂ V 2 ),显然 ∪ j = 1 N 2 ∪ i = 1 N 1 w i × w ′ j ( V 1 × V 2 ) ⊂ V 1 × V 2 且 V 1 × V 2 是 X × Y 中的非空开集,因此结论得证。
推论3.1 设 ( X , ρ 1 ) , ( Y , ρ 2 ) 是两个完备度量空间, { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 与 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是两个双曲迭代函数系,则有
1) 若 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 与 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是重叠的,则它们的乘积
2) 若 { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是重叠的,则 { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 是重叠的,或者 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 是重叠的。
证明:1) 由定理3.3中的1)可知
{ X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 不是全不连通的,再由定理3.3中的2)知 { X × Y : w i × w ′ j , i = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 不是刚触及的,因此结论得证。
2) 由定理3.3中的1)可知, { X : w n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 1 } 与 { Y : w ′ n , n = 1 , 2 , ⋯ , N 2 } 都不是全不连通的,再由定理3.3中的3)知结论成立。
赵 瑜. 关于两个双曲迭代函数系的乘积的研究Study on the Product of Two Hyperbolic Iterated Function Systems[J]. 理论数学, 2018, 08(05): 584-588. https://doi.org/10.12677/PM.2018.85078