本文在模糊定向集上引入一致模糊集的概念,讨论一致模糊集的基本性质。其次在一致模糊集的基础上引入一致模糊完备集,最后通过给出一种新的模糊way-below关系引入一致模糊连续集的概念,给出其若干性质。 In this paper, the concept of uniform fuzzy posets is introduced on the fuzzy directed posets, and the basic properties of the uniformly fuzzy posets are discussed. Secondly, the uniformly fuzzy complete posets are introduced on the basis of uniformly fuzzy posets. Finally, by introducing a new fuzzy way-below relation, the concept of uniformly fuzzy continuous posets is introduced and some properties are given.
李辉,陈璐
淮北师范大学数学科学学院,安徽 淮北
收稿日期:2018年10月25日;录用日期:2018年11月6日;发布日期:2018年11月16日
本文在模糊定向集上引入一致模糊集的概念,讨论一致模糊集的基本性质。其次在一致模糊集的基础上引入一致模糊完备集,最后通过给出一种新的模糊way-below关系引入一致模糊连续集的概念,给出其若干性质。
关键词 :一致模糊集,一致模糊完备集,一致模糊连续集
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1965年Zadeh, L.A.提出模糊集 [
本节给出本文所需的基本概念和符号。
定义2.1 [
i) 自反性: ∀ x ∈ X , e ( x , x ) = 1 ;
ii) 传递性: ∀ x , y , z ∈ X , e ( x , y ) ∧ e ( y , z ) ≤ e ( x , z ) ;
iii) 反对称性: ∀ x , y ∈ X , e ( x , y ) = e ( y , x ) = 1 ⇒ x = y ;
称偶对 ( X , e ) 为模糊偏序集,简称模糊集。
例2.1 [
s u b X ( A , B ) = ∧ x ∈ X A ( x ) → B (x)
定义1.2 [
1) ∀ x ∈ X , A ( x ) ≤ e ( x , x 0 ) ;(相应的, ∀ x ∈ X , A ( x ) ≤ e ( x 0 , x ) )
2) ∀ y ∈ X , ∧ x ∈ X ( A ( x ) → e ( x , y ) ) ≤ e ( x 0 , y )
(相应的, ∀ y ∈ X , ∧ x ∈ X ( A ( x ) → e ( y , x ) ) ≤ e ( y , x 0 ) ),则称 x 0 为A的上确界(相应的,下确界),记作 x 0 = ∐ A (相应的, x 0 = ∏ A )。
定义2.3 [
定义2.4 [
∀ y ∈ X , ↓ A ( x ) = ∨ y ∈ X A ( y ) ∧ e ( x , y ) ( ↑ A ( x ) = ∨ y ∈ X A ( y ) ∧ e ( y , x ) ).
对于 A ⊆ X , χ A ∈ L X (称为A的特征函数)定义为 χ A ( x ) = 1 ,若 x ∈ A ;否则为0.0,1分别为L的最小元和最大元。
定义2.5 [
1) ∨ x ∈ X D ( x ) = 1 ;2) ∀ x , y ∈ X , D ( x ) ∧ D ( y ) ≤ ∨ z ∈ X D ( z ) ∧ e ( x , z ) ∧ e ( y , z ) ,
则称D为模糊定向集。如果模糊定向集 D ∈ L X 还是一个下集,则称D为模糊理想。 ( X , e ) 上的全体模糊定向子集记为 D ( X ) 。
定义2.6 [
定义2.7 [
在本节中引入一致模糊偏序集和一致模糊连续偏序集的概念。
定义3.1:设 ( X , e ) 为模糊偏序集, A ∈ L X 为模糊子集,若 ∀ D ⊆ A , ∀ x , y ∈ X 满足:
1) ∨ x ∈ X A ( x ) = 1 ;
2) D ( x ) ∧ D ( y ) ≤ ∨ z ∈ X A ( z ) ∧ e ( x , z ) ∧ e ( y , z ) 。
则称A为一致模糊偏序集。 ( X , e ) 上的一致模糊偏序集的全体记为 U F ( X ) ,若A还是一个模糊下集,则称A为一致模糊理想,全体一致模糊理想记为 U F I ( X ) 。
注3.1:在定义2.1中若令 D = A ,则此时A为模糊定向集。即模糊定向集为一致模糊集。
定义3.2:设 ( X , e ) 为模糊偏序集,若 ∀ A ∈ U F ( X ) , ∐ A 存在,则称 ( X , e ) 为一致模糊完备偏序集。记为UFCPO。
注3.2:设 ( X , e ) 是UFCPO, A ∈ U F ( X ) , D ⊆ A 为模糊子集,则 ∐ D ≤ ∐ A ,等号成立当且仅当 D = A 。
定义3.3:设 ( X , e ) 为UFCPO,定义其上的一致模糊way-below关系为, ∀ x , y ∈ X ,
⇓ U F x ( y ) = ∧ I ∈ U F I ( X ) ( e ( x , ∐ I ) → I ( y ) ) .
称 ⇓ U F : X × X → L 为 ( X , e ) 上的一致模糊way-below关系,且 ⇓ U F x ( y ) = ⇓ U F ( y , x ) 。如果 ∀ x ∈ X , ⇓ U F x ∈ U F ( X ) 且 x = ⇓ U F ∐ x ,则称 ( X , e ) 为一致模糊连续偏序集或一致模糊Domain。
定理3.1:设 ( X , e ) 为UFCPO, ∀ x ∈ X , A ∈ U F ( X ) ,若 x = ∐ A ,则 ⇓ U F x ≤ ↓ A 。
证明:设 ( X , e ) 为UFCPO,故 ∀ A ∈ U F ( X ) , ∐ A 存在,且 ↓ A 为一致模糊理想,故 x = ∐ A = ∐ ↓ A 。因此 ∀ y ∈ X ,有
⇓ U F x ( y ) ≤ e ( x , ∐ A ) → ↓ A ( y ) = 1 → ↓ A ( y ) = ↓ A ( y ) .
命题3.1:设 ( X , e ) 为UFCPO, ∀ x , y ∈ X , ∀ I ∈ U F I ( X ) ,则以下条件成立:
1) ∧ y ∈ X e ( x , y ) ≤ I ( x ) ;
2) ∧ z ∈ X e ( x , y ) ≤ ⇓ U F y ( x ) ;
3) ⇓ U F x ≤ ↓ x ;
4) 对任意的 u , v ∈ X , e ( u , x ) ∧ ⇓ U F y ( x ) ∧ e ( y , v ) ≤ ⇓ U F v ( u ) 。
证明:
1) ∧ y ∈ X e ( x , y ) = ( ∧ y ∈ X e ( x , y ) ) ∧ ( ∨ z ∈ X I ( z ) ) = ∨ z ∈ X ( ∧ y ∈ X e ( x , y ) ∧ I ( z ) ) ≤ ∨ z ∈ X ( e ( x , z ) ∧ I ( z ) ) ≤ I ( x ) 。
2) ⇓ U F y ( x ) = ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( y , ∐ I ) → I ( x ) ≥ ∧ I ∈ U F I ( X ) I ( x ) ≥ ∧ z ∈ X e ( x , z ) 。
3) ⇓ U F x ( y ) ≤ e ( x , ∐ ↓ x ) → ↓ x ( y ) = e ( x , x ) → e ( y , x ) = e ( y , x ) = ↓ x ( y ) 。
4) e ( v , ∐ I ) ∧ e ( u , x ) ∧ e ( y , u ) ∧ ( e ( y , ∐ I ) → I ( x ) ) ≤ e ( y , ∐ I ) ∧ ( e ( y , ∐ I ) → I ( x ) ) ∧ e ( u , x ) ≤ e ( u , x ) ∧ I ( x ) ≤ I ( u ) 。
且 e ( u , x ) ∧ e ( y , u ) ∧ ( e ( y , ∐ I ) → I ( x ) ) ≤ e ( v , ∐ I ) → I ( u ) 。
进而 e ( u , x ) ∧ ⇓ U F y ( x ) ∧ e ( y , v ) = e ( u , x ) ∧ e ( y , u ) ∧ ( ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( y , ∐ I ) → I ( x ) ) ≤ ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( u , x ) ∧ e ( y , u ) ∧ ( e ( y , ∐ I ) → I ( x ) ) ≤ ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( v , ∐ I ) → I ( u ) = ⇓ U F v ( u ) 。
定理3.2:设 ( X , e ) 为一致模糊Domain,则 ∀ x , y ∈ X , ⇓ U F y ( x ) = ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( x ) ∧ ⇓ U F y ( z ) 。
证明:由命题3.1可知 ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( x ) ∧ ⇓ U F y ( z ) ≤ ⇓ U F y ( x ) 。下证
⇓ U F y ( x ) ≤ ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( x ) ∧ ⇓ U F y ( z ) .
∀ a ∈ X ,令 A ( a ) = ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( x ) ∧ ⇓ U F y ( z ) 。故只需证 ⇓ U F y ( a ) ≤ A ( x ) 。
首先证A是一致模糊理想。
1) ∨ a ∈ X A ( a ) = ∨ a ∈ X ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( a ) ∧ ⇓ U F y ( z ) = ∨ z ∈ X ∨ a ∈ X ⇓ U F z ( a ) ∧ ⇓ U F y ( z ) = ∨ z ∈ X ( ⇓ U F y ( z ) ∧ ( ∨ a ∈ X ⇓ U F z ( a ) ) ) = ∨ z ∈ X ⇓ U F y ( z ) = 1
2) ∀ a , b ∈ X ,
A ( a ) ∧ e ( b , a ) = ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( a ) ∧ ⇓ U F y ( z ) ∧ e ( b , a ) ≤ ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( b ) ∧ ⇓ U F y ( z ) = A ( b ) .
因此A是模糊下集。
3) ∀ a , b ∈ X , ∀ D ⊆ A ,由命题3.1 (4),
D ( a ) ∧ D ( b ) = ∨ a 1 , b 1 ∈ X ⇓ U F a 1 ( a ) ∧ ⇓ U F b 1 ( b ) ∧ ⇓ U F y ( a 1 ) ∧ ⇓ U F y ( b 1 ) ≤ ∨ a 1 , b 1 ∈ X ∨ c ∈ X ⇓ U F a 1 ( a ) ∧ ⇓ U F b 1 ( b ) ∧ ⇓ U F y ( c ) ∧ e ( a , c ) ∧ e ( b , c ) = ∨ a 1 , b 1 ∈ X ∨ c ∈ X ( ⇓ U F a 1 ( a ) ∧ e ( a , c ) ) ∧ ( ⇓ U F b 1 ( b ) ∧ e ( b , c ) ) ∧ ⇓ U F y ( c ) ≤ ∨ a 1 , b 1 ∈ X ∨ c ∈ X ⇓ U F c ( a ) ∧ ⇓ U F c ( b ) ∧ ⇓ U F y (c)
= ∨ c ∈ X ⇓ U F c ( a ) ∧ ⇓ U F c ( b ) ∧ ⇓ U F y ( c ) ≤ ∨ c ∈ X ∨ d ∈ X ⇓ U F c ( d ) ∧ e ( a , d ) ∧ e ( b , d ) ∧ ⇓ U F y ( c ) = ∨ d ∈ X ( e ( a , d ) ∧ e ( b , d ) ∧ ( ∨ c ∈ X ⇓ U F c ( d ) ∧ ⇓ U F y ( c ) ) ) = ∨ d ∈ X e ( a , d ) ∧ e ( b , d ) ∧ A (d)
其次, y = ∐ A 。事实上, ∀ a ∈ X ,
∧ z ∈ X A ( z ) → e ( z , a ) = ∧ z ∈ X ∧ a 1 ∈ X ( ⇓ U F a 1 ( z ) ∧ ⇓ U F y ( a 1 ) → e ( z , a ) ) = ∧ a 1 ∈ X ( ⇓ U F y ( a 1 ) → ∧ z ∈ X ( ⇓ U F a 1 ( z ) → e ( z , a ) ) ) = ∧ a 1 ∈ X ⇓ U F y ( a 1 ) → e ( ∐ ⇓ U F a 1 , a ) = ∧ a 1 ∈ X ⇓ U F y ( a 1 ) → e ( a 1 , a ) = e ( y , a ) .
最后, ⇓ U F y ( x ) = ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( y , ∐ I ) → I ( x ) ≤ e ( y , ∐ A ) → A ( x ) = 1 → A ( x ) = A ( x ) 。
定理3.3: ( X , e ) 是一致模糊Domain当且仅当 ( ⇓ U F , ∐ ) 是 ( X , e ) 和 ( U F I ( X ) , s u b X ) 之间的一个模糊Galois伴随。
证明:
1) 必要性。 ∀ x , y ∈ X ,
s u b ( ⇓ U F x , ⇓ U F y ) = ∧ z ∈ X ( ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( x , ∐ I ) → I ( z ) ) → ( ∧ J ∈ U F I ( X ) e ( y , ∐ J ) → J ( z ) ) ≥ ∧ z ∈ X ( ∧ J ∈ U F I ( X ) e ( y , ∐ I ) → J ( z ) ) → ( e ( y , ∐ J ) → J ( z ) ) ≥ ∧ J ∈ U F I ( X ) e ( y , ∐ J ) → e ( x , ∐ J ) ≥ e ( x , y ) .
则 ⇓ U F 是保模糊序的。 ∀ I , J ∈ U F I ( X ) ,
e ( ∐ I , ∐ J ) = ∧ x ∈ X I ( x ) → e ( x , ∐ J ) ≥ ∧ x ∈ X I ( x ) → J ( x ) = s u b X ( I , J ) ,故 ∐ 也是保模糊序的。
∀ x ∈ X , I ∈ U F I ( X ) ,
s u b X ( ⇓ U F x , I ) = ∧ y ∈ X ⇓ U F x ( y ) → I ( y ) ≥ ∧ y ∈ I ( e ( x , ∐ I ) → I ( y ) ) → I ( y ) ≥ e ( x , ∐ I ) .
并且, e ( x , ∐ I ) = ∧ y ∈ X ⇓ U F x ( y ) → e ( y , ∐ I ) ≥ ∧ y ∈ X ⇓ U F x ( y ) → I ( y ) = s u b X ( ⇓ U F x , I ) 。
因此, ( ⇓ U F , ∐ ) 是 ( X , e ) 和 ( U F I ( X ) , s u b X ) 之间的一个模糊Galois伴随。
2) 充分性。因 ( ⇓ U F , ∐ ) 是 ( X , e ) 和 ( U F I ( X ) , s u b X ) 之间的一个模糊Galois伴随,故 ∀ x ∈ X , ⇓ U F x ∈ U F I ( X ) 且 e ( x , ∐ ⇓ U F x ) = 1 ,进而 x ≤ ∐ ⇓ U F x ≤ ∐ ↓ x = x ,故 x = ∐ ⇓ U F x 。所以 ( X , e ) 是一致模糊Domain。
李 辉,陈 璐. 一致模糊偏序集及其应用Uniformly Fuzzy Posets and Its Applications[J]. 理论数学, 2018, 08(06): 676-680. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86091