设图G=(V,E)为一个图,一个双值函数f:v→ {-1,+1},若S⊆V,则记f(S)=∑ V∈Sf(V)。如果对任意的顶点ν ∈V,均有f(N( ν))≥1成立,则称f为图G的一个符号全控制函数。图G的符号全控制数定义为γ st(G)=min {f(V)|f是图G的一个符号全控制函数}。本文首先给出一般图的符号全控制数的下界,然后用分类讨论和穷标法得到了两类图广义Petesen图P (n,k)和Double广义Petesen图DP (n,k)的符号全控制数的精确值,这里n≡0(mod3),k≠ 0(mod3)。 Let G=(V,E) be a graph and denotes f(S)=∑ V∈S f(V) for S⊆V. A function f:v→ {-1,+1} is said to be a signed total domination function (STDF), if f(N( ν ))≥1 for ν ∈V. The signed total domination number is γst(G)=min{f(V)|f is an STDF of G}. In this paper, a lower bound of the signed total domination number are obtained and we determine a exact value of signed total domi-nation number of two classes graphs generalized Petesen graph P (n,k) and Double generalized Petesen graph DP (n,k) by exhaustived method and classified discussion, where n≡0(mod3),k≠ 0(mod3).
红霞,高峰,张彩环,魏春艳
洛阳师范学院数学科学学院,河南 洛阳
收稿日期:2018年11月16日;录用日期:2018年12月6日;发布日期:2018年12月13日
设图 G = ( V , E ) 为一个图,一个双值函数 f : V → { − 1 , + 1 } ,若 S ⊆ V ,则记 f ( S ) = ∑ v ∈ S f ( v ) 。如果对任意的顶点 v ∈ V ,均有 f ( N ( v ) ) ≥ 1 成立,则称f为图G的一个符号全控制函数。图G的符号全控制数定义为 γ s t ( G ) = m i n { f ( V ) | f 是 图 G 的 一 个 符 号 全 控 制 函 数 } 。本文首先给出一般图的符号全控制数的下界,然后用分类讨论和穷标法得到了两类图广义Petesen图 P ( n , k ) 和Double广义Petesen图 D P ( n , k ) 的符号全控制数的精确值,这里 n ≡ 0 ( m o d 3 ) , k ≠ 0 ( m o d 3 ) 。
关键词 :符号全控制函数,符号全控制数,广义Petesen图 P ( n , k ) ,Double广义Petesen图 D P ( n , k )
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本文所指定的图均为无向简单图,文中未说明的符号和术语同文献 [
近几十年来,图的控制理论的研究内容越来越丰富,各种类型的符号控制数以及其变化的形式依次被提出,如图的符号控制数 [
目前很多相关学者研究了关于图的符号全控制数的上下界 [
对于图 G = ( V , E ) ,定义一个函数 f : V → R 和G的一个子集 S ⊆ V ,记 f ( S ) = ∑ v ∈ S f ( v ) 。为简单起见,下文中适合 f ( u ) = + 1 的顶点称为+1点,适合 f ( u ) = − 1 的顶点称为-1点,用 Ζ n 表示模n的剩余类。
定义1 [
如果对任意的顶点 v ∈ V ,均有 f ( N ( v ) ) ≥ 1 成立,则称f为图G的一个符号全控制函数,图G的符号全控制数定义为 γ s t ( G ) = min { f ( V ) | f 是 图 G 的 一 个 符 号 全 控 制 函 数 } 并将使得 γ s t ( G ) = f ( V ) 的符号全控制函数称f为图G的一个最小符号全控制函数。
从定义1可以看出以下性质。
性质:设G是 n ( n > 1 ) 个顶点的简单图。若 f = ( V − 1 , V + 1 ) 是图G一个最小符号全控制函数,则有以下结论成立。
i) | V − 1 | + | V + 1 | = n
ii) γ s t ( G ) = | V + 1 | − | V − 1 |
定义2 [
V ( P ( n , k ) ) = { u 1 , u 2 , ⋯ , u n , v 1 , v 2 , ⋯ , v n } E ( P ( n , k ) ) = { u i u i + 1 , u i v i , v i v i + k | i ∈ Ζ n }
定义3 [
V ( P ( n , k ) ) = { x i , u i , v i , y i | i ∈ Ζ n } E ( P ( n , k ) ) = { x i x i + 1 , y i y i + 1 , x i u i , y i v i , u i v i + k , v i u i + k | i ∈ Ζ n }
显然,广义Petersen图 P ( n , k ) 和Double广义Petesen图 D P ( n , k ) 都是3-正则图。
引理 [
定理1:设图G是 n ( n > 1 ) 个顶点的简单图。若 f = ( V − 1 , V + 1 ) 是图G一个最小符号全控制函数,且 δ = δ ( G ) ≥ 1 , Δ = Δ ( G ) ,则有以下结论成立。
i) ( Δ − 1 ) | V + 1 | ≥ ( δ + 1 ) | V − 1 | ;
ii) | V + 1 | ≥ δ + 1 Δ + δ n ;
iii) γ s t ( G ) ≥ δ + 2 − Δ Δ + δ n ;
证明:i) 假设 f = ( V − 1 , V + 1 ) 是图G一个最小符号全控制函数,由性质,有
| V − 1 | + | V + 1 | = n ≤ ∑ v ∈ V ( G ) f ( N ( v ) ) = ∑ v ∈ V ( G ) d ( v ) f ( v ) = ∑ v ∈ V + 1 d ( v ) − ∑ v ∈ V − 1 d ( v ) ≤ Δ | V + 1 | − δ | V − 1 |
从而有
( Δ − 1 ) | V + 1 | ≥ ( δ + 1 ) | V − 1 |
ii) 由性质和i),推导出
( Δ − 1 ) | V + 1 | ≥ ( δ + 1 ) ( n − | V + 1 | ) = δ n + n − δ | V + 1 | − | V + 1 |
通过移项,得
| V + 1 | ≥ δ + 1 Δ + δ n
iii) 由性质和i),有
( Δ + δ ) γ s t ( G ) = ( Δ + δ ) ( 2 | V + 1 | − n ) ≥ 2 ( δ + 1 ) n − ( Δ + δ ) n = ( δ + 2 − Δ ) n
故,有
γ s t ( G ) ≥ δ + 2 − Δ Δ + δ n
推论:设G是一个r-正则图,那么有 γ s t ( G ) ≥ n r 。
注:定理1的结果与引理的结论一致。
定理2:设图G是广义Petersen图 P ( n , k ) 且 n ≡ 0 ( mod 3 ) , k ≠ 0 ( mod 3 ) 。那么
γ s t ( P ( n , k ) ) = 2 n 3
证明:令图G是广义Petersen图 P ( n , k ) ,这里 n ≡ 0 ( mod 3 ) , k ≠ 0 ( mod 3 ) 。记
V ( P ( n , k ) ) = { u 1 , u 2 , ⋯ , u n , v 1 , v 2 , ⋯ , v n } E ( P ( n , k ) ) = { u i u i + 1 , u i v i , v i v i + k | i ∈ Ζ n }
因此,有
| V ( P ( n , k ) ) | = 2 n , | E ( P ( n , k ) ) | = 3 n
由定理1,有
γ s t ( P ( n , k ) ) ≥ 2 n 3
下面我们定义图G的一个符号全控制数f:
f ( u i ) = { + 1 , 当 i ≡ 0 , 2 ( mod 3 ) − 1 , 当 i ≡ 1 ( mod 3 )
f ( v i ) = { + 1 , 当 i ≡ 0 , 2 ( mod 3 ) − 1 , 当 i ≡ 1 ( mod 3 )
这里 i ∈ Ζ n
容易验证,对于每个顶点 x ∈ V ( G ) ,有 f ( N ( x ) ) = 1 。注意到此时图G中-1点个数t为 2 n 3 ,+1点个数s为 4 n 3 。从而
f ( V ( G ) ) = s − t = 2 n 3
因此,有
γ s t ( P ( n , k ) ) ≤ 2 n 3
定理2:证毕。
定理3:设图G是Double广义Petesen图 D P ( n , k ) 且 n ≡ 0 ( mod 3 ) , k ≠ 0 ( mod 3 ) 。那么
γ s t ( D P ( n , k ) ) = 4 n 3
证明:令图G是Double广义Petesen图 D P ( n , k ) ,这里 n ≡ 0 ( mod 3 ) , k ≠ 0 ( mod 3 ) 。记
V ( P ( n , k ) ) = { x i , u i , v i , y i | i ∈ Ζ n } E ( P ( n , k ) ) = { x i x i + 1 , y i y i + 1 , x i u i , y i v i , u i v i + k , v i u i + k | i ∈ Ζ n }
因此,有
| V ( P ( n , k ) ) | = 4 n , | E ( P ( n , k ) ) | = 5 n
由定理1,有
γ s t ( P ( n , k ) ) ≥ 4 n 3
下面我们定义图G的一个符号全控制数f:
f ( x i ) = { + 1 , 当 i ≡ 0 , 2 ( mod 3 ) − 1 , 当 i ≡ 1 ( mod 3 )
f ( u i ) = { + 1 , 当 i ≡ 0 , 2 ( mod 3 ) − 1 , 当 i ≡ 1 ( mod 3 )
f ( v i ) = { + 1 , 当 i ≡ 0 , 2 ( mod 3 ) − 1 , 当 i ≡ 1 ( mod 3 )
f ( y i ) = { + 1 , 当 i ≡ 0 , 2 ( mod 3 ) − 1 , 当 i ≡ 1 ( mod 3 )
这里 i ∈ Ζ n
容易验证,对于每个顶点 w ∈ V ( G ) ,有 f ( N ( w ) ) = 1 。注意到此时图G中-1点个数t为 4 n 3 ,+1点个数s为 8 n 3 。从而
f ( V ( G ) ) = s − t = 4 n 3
因此,有
γ s t ( P ( n , k ) ) ≤ 4 n 3
定理3证毕。
国家自然科学基金(No. 11701257, No.11801253, No. 11571005),河南省教育厅高校重点项目(No. 18A110025, No. 18A110026)、河南省科技计划项目(182102310930, 182102310955)、(2017-JSJYYB-074)。
红 霞,高 峰,张彩环,魏春艳. 图的符号全控制数Signed Total Domination Number of Graphs[J]. 应用数学进展, 2018, 07(12): 1543-1548. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.712180