设β=(√ 5+1)/2,T为[0,1)上的β-连分数变换,P n(x)/q n(x)是x的n阶β-渐近分数。本文证明了序列( P n (x)/q n (x)) n ≥1的一些性质,并且证明了 (Pn(x)/qn(x))n ≥1 收敛且收敛到x。 Let (√ 5+1)/2, T is the continued β-fraction transformation on [0,1), and P n (x)/q n (x) is the nth-order β-fraction-convergent of x. In this paper, we show many properties of the sequence ( P n (x)/q n (x) ) n ≥1. Moreover, we prove that (Pn(x)/qn(x))n ≥1 converges to x.
肖倩
华南理工大学,广东 广州
收稿日期:2018年12月2日;录用日期:2018年12月21日;发布日期:2018年12月28日
设 β = 5 + 1 2 ,T为[0,1)上的β-连分数变换, p n ( x ) q n ( x ) 是x的n阶β-渐近分数。本文证明了序列 ( p n ( x ) q n ( x ) ) n ≥ 1 的一些性质,并且证明了 ( p n ( x ) q n ( x ) ) n ≥ 1 收敛且收敛到x。
关键词 :β-连分数,渐近分数,收敛
Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
在1957年,数的表示理论中一种新的表示方法——β-展开被Renyi [
T β ( x ) = β x − ⌊ β x ⌋ = { β x } , x ∈ [ 0 , 1 ) ,
其中 ⌊ x ⌋ 表示不超过x的最大整数, { x } 表示数x的小数部分。
那么,任意一个实数 x ∈ [ 0 , 1 ) 都可以把它展成一个如下形式的有限或者无限的序列:
对于任意的 n ≥ 1 , ε 1 ( x ) = ⌊ β x ⌋ , ε n + 1 ( x ) = ε 1 ( T β n ( x ) ) 。我们把式叫做x的β-展式,记为序列 ε ( x , β ) : = ( ε 1 ( x ) , ε 2 ( x ) , ⋯ , ε n ( x ) , ⋯ ) [
任意实数x可以唯一地被展成 ∑ k = 0 n v − k β k + ∑ k = 1 ∞ v k β − k 。在求和中β的非负幂部分叫做x的β-整数部分,记作 ⌊ x ⌋ β ;β的负幂部分叫做x的β-分数部分,记作 { x } β 。如果x的
ℤ β + = { 所 有 的 非 负 β - 整 数 } = { ξ : ∃ x ≥ 0 , s . t . ξ = ⌊ x ⌋ β } 。
当 β = 5 + 1 2 时,我们知道
ℤ β + = { m + n β | m , n ∈ ℤ , m , n ≥ 0 , − 1 < m − n β < β } [
定义1.1:定义 T : [ 0 , 1 ) → [ 0 , 1 )
T ( 0 ) : = 0 , T ( x ) = 1 x − ⌊ 1 x ⌋ β , x ∈ ( 0 , 1 ) ,
其中 ⌊ x ⌋ β 表示不超过x的最大β-整数。
因此,对于任意的非负实数x都有如下形式的β-连分数展式:
x = ⌊ x ⌋ β + 1 ⌊ 1 x ⌋ β + 1 ⌊ 1 T ( x ) ⌋ β + ⋯ + 1 ⌊ 1 T K − 1 ( x ) ⌋ β + T k ( x ) : = [ a 0 ( x ) ; a 1 ( x ) , a 2 ( x ) , ⋯ , a k ( x ) + T k ( x ) ] ,
= ⌊ x ⌋ β + 1 ⌊ 1 x ⌋ β + 1 ⌊ 1 T ( x ) ⌋ β + ⋯ : = [ a 0 ( x ) ; a 1 ( x ) , a 2 ( x ) , ⋯ ] ,
其中 a 0 ( x ) = ⌊ x ⌋ β , a i ( x ) = ⌊ 1 T i − 1 ( x ) ⌋ β , i ≥ 1 。
定义2.1:给定β是大于1的任意实数,对任意的 n ≥ 1 , a n ∈ ℤ β + ,令 p − 1 = 1 , q − 1 = 0 , p 0 = a 0 , q 0 = 1 ,定义
p n = a n p n − 1 + p n − 2
对于任意的 x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ⋯ ] ∈ ℝ + ,把 p n ( x ) q n ( x ) 叫做x的n阶β-渐近分数。
注2.2:由上述定义可以看出:由于 a n ≥ 1 ,故序列 ( q n ) n ≥ 1 单调递增且
q n = a n q n − 1 + q n − 2 ≥ 2 q n − 2 ≥ ⋯ ≥ 2 n − 2 2 。
命题2.3:对任意的 n ≥ 1 ,我们有
p n q n − 1 − q n p n − 1 = ( − 1 ) n − 1 。
证明:把定义2.1中式的左右同时乘以 q n − 1 ,便得到
p n q n − 1 = a n p n − 1 q n − 1 + p n − 2 q n − 1 ,
类似的,把式的左右两边同时乘以 p n − 1 ,便得到
q n p n − 1 = a n q n − 1 p n − 1 + q n − 2 p n − 1 。
那么可得 p n q n − 1 − q n p n − 1 = p n − 2 q n − 1 − q n − 2 p n − 1 = ⋯ = ( − 1 ) n − 1 。
推论2.4:对任意的 n ≥ 1 ,有
p n q n − p n − 1 q n − 1 = ( − 1 ) n − 1 q n q n − 1 。
证明:把命题2.3中的式子左右两边同时除以
p n q n − p n − 1 q n − 1 = ( − 1 ) n − 1 q n q n − 1 。
注2.5:由推论2.4可以看出,每一个奇数阶的β-渐近分数都大于紧接着它的那个偶数阶的β-渐近分数。
命题2.6:对任意的 n ≥ 1 ,有
q n p n − 2 − p n q n − 2 = ( − 1 ) n − 1 a n 。
证明:把定义2.1中式的左右两边同时乘以 q n − 2 ,便得到
p n q n − 2 = a n p n − 1 q n − 2 + p n − 2 q n − 2 ,
同样的把式的左右两边同时乘以 p n − 2 ,便得到
q n p n − 2 = a n q n − 1 p n − 2 + q n − 2 p n − 2 。
那么可得 q n p n − 2 − p n q n − 2 = a n ( p n − 2 q n − 1 − q n − 2 p n − 1 ) 。再由命题2.3得到: q n p n − 2 − p n q n − 2 = ( − 1 ) n − 1 a n 。
推论2.7:对任意的 n ≥ 1 ,有
p n − 2 q n − 2 − p n q n = ( − 1 ) n − 1 a n q n q n − 2 。
证明:把命题2.6的左右两边同时除以 q n q n − 2 得到:
p n − 2 q n − 2 − p n q n = ( − 1 ) n − 1 a n q n q n − 2 。
注2.8:由推论2.7可以看出,偶数阶的β-渐近分数形成递增序列,奇数阶的β-渐近分数形成递减序列。显然,把推论2.4和推论2.7结合得到:任何奇数阶的β-渐近分数必大于任何偶数阶的β-渐近分数。
定理2.9:对任意的 n ≥ 1 ,序列 ( p n ( x ) q n ( x ) ) n ≥ 1 收敛。
证明:由推论2.4可知:
p n q n = p n − 1 q n − 1 + ( − 1 ) n − 1 q n q n − 1 = p n − 2 q n − 2 + ( − 1 ) n − 2 q n − 1 q n − 2 + ( − 1 ) n − 1 q n q n − 1 = ⋯ = p 0 q 0 + 1 q 0 q 1 + − 1 q 1 q 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 q n q n − 1 = a 0 + 1 q 0 q 1 + − 1 q 1 q 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 q n q n − 1
因为 1 q 0 q 1 + − 1 q 1 q 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 q n q n − 1 + ⋯ 是交错级数,由Libniz判别法知级数收敛,即 lim n → ∞ p n ( x ) q n ( x ) 存在,故序列 ( p n ( x ) q n ( x ) ) n ≥ 1 收敛。
命题2.10: [
x = p n ( x ) + p n − 1 ( x ) T n ( x ) q n ( x ) + q n − 1 ( x ) T n ( x ) 。
定理2.11:设 p n ( x ) q n ( x ) 是x的n阶β-渐近分数,则
证明:
当n趋于无穷时, 2 3 − n 趋于0,因此 p n ( x ) q n ( x ) → x 。
肖 倩. β-连分数的渐近分数The Convergent in Continued β-Fraction[J]. 应用数学进展, 2018, 07(12): 1645-1649. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.712192