如果完全二部多重图λK m,n的边集可以划分为 λK m,n的K p,q-因子,则称 λK m,n存在 K p,q-因子分解。当p = 1、q = 2和p = 2、q = 3时, λK m,n的 K p,q-因子分解的存在性问题已被完全解决。当p = 1、q = 3和p = 1、q = 4时,K m,n的 K p,q-因子分解的存在性问题已被基本解决。文章研究当p = 2和q = 4时完全二部多重图 λK m,n的K 2,4-因子分解的存在性。证明完全二部多重图 λK m,n存在K 2,4-因子分解的充分必要条件是:1) m≡n≡0 (mod 2),2) m ≤ 2n,3) n ≤ 2m,4), m+n≡0 (mod 6),5) 3 λm,n/[4(m+n)]是整数。 Let λK m,n be a complete bipartite multigraph with two partite sets having m and n vertices, re-spectively. A K p,q -factorization λK m,n is a set of edge-disjoint K p,q -factors of λK m,n . When p = 1, q = 2 and p = 2, q = 3, the K p,q -factorization of λK m,n has been completely solved. When p = 1, q = 3 and p = 1, q = 4, the K p,q -factorization of K m,n has been totally solved. In this article, the K 2,4-factorization of λK m,n is researched. We will give a necessary and sufficient condition for K 2,4-factorization of λK m,n, that is: 1) m≡n≡0 (mod 2), 2) m ≤ 2n, 3) n ≤ 2m, 4) m+n≡0 (mod 6), 5) 3 λ m,n/[4(m+n)] .
朱莉
南通职业大学,江苏 南通
收稿日期:2019年2月26日;录用日期:2019年3月13日;发布日期:2019年3月20日
如果完全二部多重图 λ K m , n 的边集可以划分为 λ K m , n 的 K p , q -因子,则称 λ K m , n 存在 K p , q -因子分解。当p = 1、q = 2和p = 2、q = 3时, λ K m , n 的 K p , q -因子分解的存在性问题已被完全解决。当p = 1、q = 3和p = 1、q = 4时,Km,n的 K p , q -因子分解的存在性问题已被基本解决。文章研究当p = 2和q = 4时完全二部多重图 λ K m , n 的K2,4-因子分解的存在性。证明完全二部多重图 λ K m , n 存在K2,4-因子分解的充分必要条件是:1) m ≡ n ≡ 0 (mod 2),2) m £ 2n,3) n £ 2m,4) m + n ≡ 0 (mod 6),5) 3 λ m n / [ 4 ( m + n ) ] 是整数。
关键词 :二部多重图,因子,因子分解
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Km,n表示完全二部图,其两个部分点集X和Y分别具有m和n个点。lKm,n表示完全二部多重图,它是l个两两不交的同构于Km,n的图的并。如果lKm,n的一个子图F包含了lKm,n的所有点,则称F为lKm,n的一个支撑子图。若lKm,n的支撑子图F的每个分支均同构于图Kp,q,则称F为lKm,n的一个Kp,q-因子。如果lKm,n的边集可以划分为lKm,n的Kp,q-因子,则称lKm,n存在Kp,q-因子分解。在综述文章 [
lKm,n的Kp,q-因子分解有许多应用,特别是Yamamoto和Ushio等 [
定理1.1:完全二部多重图lKm,n存在K2,4-因子分解的充分必要条件是:1) m ≡ n ≡ 0 (mod 2),2) m £ 2n,3) n £ 2m,4) m + n ≡ 0 (mod 6),5) 3 λ m n / [ 4 ( m + n ) ] 是整数。
定理1.1的必要性证明通过简单计算即可得到,充分性部分的证明由以下几个引理构成,第一个引理是显然的,其中 gcd ( x , y ) 表示x和y的最大公约数。
引理2.1:设u,v,x和y是正整数。如果 gcd ( u x , v y ) = 1 ,则 gcd ( u v , u x + v y ) = 1 。
引理2.2:设s是任意正整数。如果lKm,n存在K2,4-因子分解,则lsKm,n存在K2,4-因子分解。
证明:重复lKm,n的K2,4-因子分解s次即得lsKm,n的K2,4-因子分解。
引理2.3:设s是任意正整数。如果lKm,n存在K2,4-因子分解,则lKms,ns存在K2,4-因子分解。
证明:由于Ks,s是可1-因子分解的(参见 [
由引理2.3我们易得当m = 2n或n = 2m时,lKm,n存在K2,4-因子分解。因此下面我们只需考虑m < 2n且n < 2m时的情形。在这种情形下,我们令 a = ( 2 n − m ) / 6 , b = ( 2 m − n ) / 6 , t = ( m + n ) / 6 和 r = 3 λ m n / [ 4 ( m + n ) ] 。由定理1.1的条件(1)~(4)可知a,b,t,r是整数,且0 < a < m,0 < b < n。于是有2a + 4b = m,4a + 2b = n。进而可得 r = λ ( a + b ) + λ a b / [ 2 ( a + b ) ] 。设 z = λ a b / [ 2 ( a + b ) ] ,它也是整数。设 gcd ( 2 a , 4 b ) = d ,2a = dp,4b = dq,其中 gcd ( p , q ) = 1 。因此 z = λ d p q / [ 4 ( 2 p + q ) ] 。于是我们可得下列各式:
d = 4 ( 2 p + q ) z / ( λ p q )
m = 4 ( p + q ) ( 2 p + q ) z / ( λ p q )
n = 2 ( 4 p + q ) ( 2 p + q ) z / ( λ p q )
r = ( p + q ) ( 4 p + q ) z / ( λ p q )
a = 2 p ( 2 p + q ) z / ( λ p q )
b = q ( 2 p + q ) z / ( λ p q )
则有以下引理
引理2.4:1) 如果 gcd ( p , 4 ) = 1 , gcd ( q , 16 ) = 1 ,设 gcd ( 2 p + q , l ) = γ ,则
d = 4 ( 2 p + q ) s / γ , m = 4 ( p + q ) ( 2 p + q ) s / γ , n = 2 ( 4 p + q ) ( 2 p + q ) s / γ ,
r = ( p + q ) ( 4 p + q ) s λ / γ , a = 2 p ( 2 p + q ) s / γ , b = q ( 2 p + q ) s / γ
其中s是正整数。
2) 如果
d = 4 ( p + q 1 ) s / γ , m = 4 ( p + 2 q 1 ) ( p + q 1 ) s / γ , n = 4 ( 2 p + q 1 ) ( p + q 1 ) s / γ ,
r = ( p + 2 q 1 ) ( 2 p + q 1 ) s λ / γ , a = 2 p ( p + q 1 ) s / γ , b = 2 q 1 ( p + q 1 ) s / γ
其中s是正整数。
3) 如果 gcd ( p , 4 ) = 1 , gcd ( q , 16 ) = 4 ,设 q = 4 q 2 ,设 gcd ( p + 2 q 2 , l ) = γ ,则
d = 2 ( p + 2 q 2 ) s / γ , m = 2 ( p + 4 q 2 ) ( p + 2 q 2 ) s / γ , n = 4 ( p + q 2 ) ( p + 2 q 2 ) s / γ ,
r = ( p + 4 q 2 ) ( p + q 2 ) s λ / γ , a = p ( p + 2 q 2 ) s / γ , b = 2 q 2 ( p + 2 q 2 ) s / γ
其中s是正整数。
4) 如果 gcd ( p , 4 ) = 1 , gcd ( q , 16 ) = 8 ,设 q = 8 q 3 ,设 gcd ( p + 4 q 3 , λ ) = γ ,则
d = 2 ( p + 4 q 3 ) s / γ , m = 2 ( p + 8 q 3 ) ( p + 4 q 3 ) s / γ , n = 4 ( p + 2 q 3 ) ( p + 4 q 3 ) s / γ ,
r = ( p + 8 q 3 ) ( p + 2 q 3 ) s λ / γ , a = p ( p + 4 q 3 ) s / γ , b = 4 q 3 ( p + 4 q 3 ) s / γ
其中s是正整数。
5) 如果 gcd ( p , 4 ) = 1 , gcd ( q , 16 ) = 16 ,设 q = 16 q 4 ,设 gcd ( p + 8 q 4 , λ ) = γ ,则
d = 2 ( p + 4 q 4 ) s / γ , m = 2 ( p + 16 q 4 ) ( p + 8 q 4 ) s / γ , n = 4 ( p + 4 q 4 ) ( p + 8 q 4 ) s / γ ,
r = ( p + 16 q 4 ) ( p + 4 q 4 ) s λ / γ , a = p ( p + 8 q 4 ) s / γ , b = 8 q 4 ( p + 8 q 4 ) s / γ
其中s是正整数。
6) 如果 gcd ( p , 4 ) = 2 , gcd ( q , 16 ) = 1 ,设 p = 2 p 1 ,设 gcd ( 4 p 1 + q , λ ) = γ ,则
d = 4 ( 4 p 1 + q ) s / γ , m = 4 ( 2 p 1 + q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ , n = 2 ( 8 p 1 + q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ ,
r = ( 2 p 1 + q ) ( 8 p 1 + q ) s λ / γ , a = 4 p 1 ( 4 p 1 + q ) s / γ , b = q ( 4 p 1 + q ) s / γ
其中s是正整数。
7) 如果 gcd ( p , 4 ) = 4 , gcd ( q , 16 ) = 1 ,设 p = 4 p 2 ,设 gcd ( 8 p 2 + q , λ ) = γ ,则
d = 4 ( 8 p 2 + q ) s / γ , m = 4 ( 4 p 2 + q ) ( 8 p 2 + q ) s / γ , n = 2 ( 16 p 2 + q ) ( 8 p 2 + q ) s / γ ,
r = ( 4 p 2 + q ) ( 16 p 2 + q ) s λ / γ , a = 8 p 2 ( 8 p 2 + q ) s / γ , b = q ( 8 p 2 + q ) s / γ
其中s是正整数。
证明:1) 由条件我们有 gcd ( p , 4 ) = gcd ( q , 16 ) = gcd ( p , q ) = 1 ,因此 gcd ( 4 p , q ) = 1 。此时 r = ( p + q ) ( 4 p + q ) z / ( p q ) 。根据引理2.1,我们有 gcd ( p q , p + q ) = gcd ( p q , 4 p + q ) = 1 。所以 z / ( p q ) 是正整数。令 z ′ = z / ( p q ) 。设 gcd ( 2 p ( 2 p + q ) , λ ) = γ 1 , gcd ( q ( 2 p + q ) , λ ) = γ 2 。由 a = 2 p ( 2 p + q ) z ′ / λ , b = q ( 2 p + q ) z ′ / λ 。我们知 z ′ γ 1 / λ 和 z ′ γ 2 / λ 是正整数。因为
(2)~(7)中各式的证明类似于(1)。
引理2.5:对于任意正整数γ,p和q,如果 m = 4 ( p + q ) ( 2 p + q ) / γ , n = 2 ( 4 p + q ) ( 2 p + q ) / γ ,则当 ( 2 p + q ) / γ 是正整数时,γKm,n存在K2,4-因子分解。
证明:记 a = 2 p ( 2 p + q ) / γ , b = q ( 2 p + q ) / γ , r = ( p + q ) ( 4 p + q ) , r 1 = p + q 和 r 2 = 4 p + q 。并令X和Y是γKm,n两个部分点集
X = { x i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ j ≤ 4 ( 2 p + q ) / γ } ,
Y = { y i , j | 1 ≤ i ≤ r 2 , 1 ≤ j ≤ 2 ( 2 p + q ) / γ } 。
我们将构作γKm,n的一个K2,4-因子分解。我们约定xi,j和yi,j的第一个下标分别在
对于每一个正整数i,x,y,z,1 £ I £ p,0 £ x £ 1和0 £ y £ 3,令 f ( x ) = 2 ( 2 p + q ) x / γ , g ( i , y ) = 4 ( i − 1 ) + y + 1 , h ( i , y ) = 4 ( i − 1 ) + y 并构作如下边集
E i = { x i , f ( x ) + j y g ( i , y ) , h ( i , y ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( 2 p + q ) / γ , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 } 。
对于每一个正整数i,x,y,z,1 £ i £ q和0 £ x,y,z £ 1,令 u ( x , y ) = ( 2 p + q ) ( 2 x + y ) / γ , v ( i , y , z ) = 4 p + 2 ( i − 1 ) + ( 2 p + q ) y / γ + z 并构作如下边集
E p + i = { x p + i , u ( x , y ) + j y 4 p + i , v ( i , y , z ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( 2 p + q ) / γ , 0 ≤ x , y , z ≤ 1 } 。
令 F = ∪ 1 ≤ i ≤ p + q E i ,则图F就是γKm,n的一个K2,4-因子。定义 X ∪ Y 到 X ∪ Y 上的双射 σ : σ ( x i , j ) = x i + 1 , j , σ ( y i , j ) = y i + 1 , j 。对于每一个 i ∈ { 1,2, ⋯ , r 1 } 和每一个 j ∈ { 1,2, ⋯ , r 2 } ,令
F i , j = { s i ( x j ) s j ( y j ) | x ∈ X . y ∈ Y , x y ∈ F } 。
易证每一个图 F i , j ( 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ i ≤ r 2 ) 都是γKm,n的K2,4-因子。于它们边集的并构成γKm,n,因此 { F i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ i ≤ r 2 } 就是γKm,n的一个K2,4-因子分解。
引理得证。
以下引理的证明同引理2.5相类似,因此我们只写出其中X,Y,Ei和 E p + i 的表达式。
引理2.6:对于任意正整数γ,p和q,如果 m = 4 ( p + 2 q ) ( p + q ) / γ , n = 4 ( 2 p + q ) ( p + q ) / γ ,则当 ( 2 p + q ) / γ 是正整数时,γKm,n存在K2,4-因子分解。
证明:记 a = 2 p ( p + q ) / γ , b = 2 q ( p + q ) / γ , r = ( p + 2 q ) ( 2 p + q ) , r 1 = p + 2 q 和 r 2 = 2 p + q 。并令
X = { x i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 ,1 ≤ j ≤ 4 ( p + q ) / γ } ,
Y = { y i , j | 1 ≤ i ≤ r 2 , 1 ≤ j ≤ 4 ( p + q ) / γ } 。
对于每一个正整数i,x,y,z,1 £ i £ p,0 £ x,y,z £ 1,令 f ( x ) = 2 ( p + q ) x / γ , g ( i , y ) = 2 ( i − 1 ) + y + 1 , h ( i , y , z ) = 4 ( i − 1 ) + y + 4 ( p + q ) z / γ 并构作如下边集
E i = { x i , f ( x ) + j y g ( i , y ) , h ( i , y , z ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( p + q ) / γ , 0 ≤ x , y , z ≤ 1 } 。
对于每一个正整数i,x,y,z,1 £ i £ q,0 £ x,y,z £ 1,令 f ( x ) = 2 ( p + q ) x / γ , g ( i , y ) = 2 ( i − 1 ) + y + 1 , u ( i , y , z ) = 2 p + 2 ( p + q ) z / γ + 2 ( i − 1 ) + y + 1 并构作如下边集
E p + i = { x p + g ( i , y ) , f ( x ) + j y 2 p + i , u ( i , y , z ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( p + q ) / γ , 0 ≤ x , y , z ≤ 1 } 。
引理2.7:对于任意正整数γ,p和q,如果 m = 2 ( p + 8 q ) ( p + 4 q ) / γ , n = 4 ( p + 2 q ) ( p + 4 q ) / γ 。则当 ( p + 4 q ) / γ 是正整数时,γKm,n存在K2,4-因子分解。
证明:记 a = p ( p + 4 q ) / γ , b = 4 q ( p + 4 q ) / γ , r = ( p + 8 q ) ( p + 2 q ) , r 1 = p + 8 q 和 r 2 = p + 2 q 。并令
X = { x i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 ,1 ≤ j ≤ 2 ( p + 4 q ) / γ } ,
Y = { y i , j | 1 ≤ i ≤ r 2 ,1 ≤ j ≤ 4 ( p + 4 q ) / γ } 。
对于每一个正整数i,x,y,1 £ i £ p,0 £ x £ 1和0 £ y £ 3,令 f ( x ) = ( p + 4 q ) x / γ , g ( i , y ) = i − 1 + ( p + 4 q ) y ,并构作如下边集
E i = { x i , f ( x ) + j y i , g ( i , y ) + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 4 q ) / γ , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 } 。
对于每一个正整数i,x,y,z,w,1 £ i £ q,0 £ y,w £ 1和0 £ x,z £ 3,令 h ( i , x , y ) = p + 8 ( i − 1 ) + 2 x + y , u ( i , x , w ) = p + 4 ( i − 1 ) + x + ( p + 4 q ) w / γ 并构作如下边集
E p + i = { x h ( i , x , y ) , ( p + 4 q ) z / γ + j y p + 2 ( i − 1 ) + y , u ( i , x , w ) + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 4 q ) / γ , 0 ≤ y , w ≤ 1 和 0 ≤ x , z ≤ 3 } 。
引理2.8:对于任意正整数γ,p和q,如果 m = 2 ( p + 16 q ) ( p + 8 q ) / γ , n = 4 ( p + 4 q ) ( p + 8 q ) / γ 。则当 ( p + 8 q ) / γ 是正整数时,γKm,n存在K2,4-因子分解。
证明:记 a = p ( p + 8 q ) / γ , b = 8 q ( p + 8 q ) / γ , r = ( p + 16 q ) ( p + 4 q ) , 和 r 2 = p + 4 q 。并令
X = { x i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 ,1 ≤ j ≤ 2 ( p + 8 q ) / γ } ,
Y = { y i , j | 1 ≤ i ≤ r 2 ,1 ≤ j ≤ 4 ( p + 8 q ) / γ } 。
对于每一个正整数i,x,y,满足1 £ i £ p,0 £ x £ 1和0 £ y £ 3,令 f ( x ) = ( p + 8 q ) x / γ , g ( i , y ) = ( p + 8 q ) y / γ + i − 1 ,并构作如下边集
E i = { x i , f ( x ) + j y i , g ( i , y ) + 1 : 1 ≤ j ≤ ( p + 8 q ) / γ , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 } 。
对于每一个正整数i,x,y,z,s,t,且1 £ i £ q,0 £ x £ 3,0 £ y,z,s,t £ 1,令 h ( i , x , y , z ) = p + 16 ( i − 1 ) + 4 x + 2 y + z + 1 , u ( s ) = ( p + 8 q ) s / γ , v ( i , x ) = p + 4 ( i − 1 ) + x + 1 , w ( i , x , y , t ) = p + 8 ( i − 1 ) + 2 x + y + 1 + ( p + 8 q ) y / γ + ( p + 8 q ) t / γ 并构作如下边集
E p + i = { x h ( i , x , y , z ) , u ( s ) + j y v ( i , x ) , w ( i , x , y , t ) + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 8 q ) / γ , 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y , z , s , t ≤ 1 } 。
定理1.1的证明:定理1.1必要性的证明显然。结合引理2.2和引理2.8,即可完成定理1.1充分性的证明。
国家自然科学基金资助项目(11571251)。
朱 莉. 完全二部多重图的K2,4-因子分解K2,4-Factorization of Complete Bipartite Multigraphs[J]. 理论数学, 2019, 09(02): 182-187. https://doi.org/10.12677/PM.2019.92023