本文讨论带有延迟的随机游动,利用建立的更新方程,借助零延迟的结果,在随机游动增量的分布具有重尾情形下,得到了延迟随机游动超出的局部渐近性质。 This paper investigates a delay random walk. Using the renewal equation and the results of random walk with zero delay, when the distribution of the increment of the random walk has a heavy tail, the paper obtains the local asymptotics of the overshoot of the delay random walk.
胡甜甜,吉正敏,毛砚竹,王开永*
苏州科技大学数理学院,江苏 苏州
收稿日期:2019年4月4日;录用日期:2019年4月19日;发布日期:2019年4月26日
本文讨论带有延迟的随机游动,利用建立的更新方程,借助零延迟的结果,在随机游动增量的分布具有重尾情形下,得到了延迟随机游动超出的局部渐近性质。
关键词 :随机游动,延迟,超出,局部渐近性质
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设 { X i , i ≥ 2 } 为独立同分布 ( i . i . d ) 的随机变量具有共同的分布 K 及有限的负均值 μ k = − m 。随机变量 X 1 与 { X i , i ≥ 2 } 独立且具有分布 K 1 。由 { X i , i ≥ 1 } 定义了随机游动 { S n , n ≥ 0 } ,其中,设 S 0 = 0 , S n = ∑ i = 1 n X i , n ≥ 1 ,称 { S n , n ≥ 0 } 为由 { X i , i ≥ 1 } 产生的随机游动。当 X 1 与 { X i , i ≥ 2 } 具有不同分布时,称此随机游动为延迟的随机游动,否则称为零延迟的随机游动。记
η ( x ) = inf { n ≥ 1 : S n > x } , x ≥ 0 ,
为随机游动 { S n , n ≥ 0 } 首次上穿水平 x 的时刻,其中约定 inf ϕ = ∞ 。称 S η ( x ) − x 为随机游动 { S n , n ≥ 0 } 在水平 x 处的超出。
记 Z + = η ( 0 ) , S Z + 为首次上穿梯高。周知,当 0 < m < ∞ 时, Z + 和 S Z + 为亏损随机变量,即
P ( S Z + < ∞ ) = P ( Z + < ∞ ) = q ∈ ( 0 , 1 ) 。
设 K + 为 S Z + 的分布,记
K P + ( x ) = P ( S Z + ≤ x | Z + < ∞ ) = K + ( x ) q , x ≥ 0 。
从而,
K P + ¯ ( x ) = 1 − K + ( x ) q = q − 1 ( q − K + ( x ) ) = q − 1 K + ¯ ( x ) , x ≥ 0 ,
其中 K + ¯ ( x ) = q − K + ( x ) , x ≥ 0 。
随机游动的超出是随机游动中的重要对象,在风险理论、排队论、分支过程等领域中有广泛的应用。
对于零延迟的随机游动,有较多的文献研究了随机游动超出的性质,如Janson [
下面给出一些常用的分布族。设 V 是支撑在 ( 0 , ∞ ) 上的分布,称 V 属于长尾分布族,记作 V ∈ L ,若对任 y ∈ ( − ∞ , ∞ ) ,有
V ¯ ( x + y ) ~ V ¯ ( x ) 。
长尾分布族的一个子族为次指数分布族,记作 S 。设 V 是支撑在 ( 0 , ∞ ) 上的分布,称 V ∈ S ,若
V * 2 ¯ ( x ) ~ 2 V ¯ ( x ) 。
此处, V * 2 为 V 的二重卷积。一个常用的次指数分布族的子族为 S * 族,它是由Klüppelberg [
∫ 0 x V ¯ ( x − y ) V ¯ ( y ) d y ~ 2 V ¯ ( x ) ∫ 0 x V ¯ ( y ) d y 。
设 V 是支撑在 ( − ∞ , ∞ ) 上的分布,称 V 属于某一分布族,若 V ( x ) Ι { x > 0 } 属于某一分布族,其中 Ι A 为 A 的示性函数。
上述分布族具有如下关系
S * ⊂ S ⊂ L 。
可见Cline和Samorodnitsky [
下面结果为本文的主要结果。
定理1.1:设 K 1 ∈ L , K ∈ S * 且 K 1 ¯ ( x ) = O ( 1 ) K ¯ ( x ) ,则对任 0 < T < ∞ ,
P ( S η ( x ) ∈ x + Δ T ) ~ ( ( 1 − q ) − 1 ∫ 0 T K + ¯ ( y ) d y + T ) m − 1 K ¯ ( x ) (1.1)
下面的引理给出了长尾分布族的一个等价条件,可见Gao和Wang [
H V = { h : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) : h ( x ) ↑ ∞ , x − 1 h ( x ) → 0 且 V ¯ ( x − y ) ~ V ¯ ( x ) 对 | y | ≤ h ( x ) 一 致 } .
引理2.1:设 V 是一个支撑在 ( − ∞ , ∞ ) 上的分布,则
V ∈ L ⇔ H V ≠ ϕ 。
对于上述随机游动 { S n , n ≥ 0 } ,当 { S n , n ≥ 0 } 为零延迟时,Cui等 [
引理2.2:设 { X i , i ≥ 1 } 为 i . i . d 随机变量,具有支撑在 ( − ∞ , ∞ ) 上的分布 K 。若 K ∈ S * 则对任 0 < T < ∞ ,
P ( S η ( x ) ∈ x + Δ T ) ~ ( ( 1 − q ) − 1 ∫ 0 T K + ¯ ( y ) d y + T ) m − 1 K ¯ ( x ) 。
下面证明主要结果。
定理1.1的证明:
记 S ′ n = S n − X 1 , n ≥ 1 ,
η ′ ( x ) = inf { n ≥ 1 : S ′ n > x } , x ≥ 0 。
从而,由强马氏性知,对任 x > 0 及 0 < T < ∞ ,
由于 K ∈ S * ⊂ L , K 1 ∈ L 及引理2.1知,存在函数 h ∈ H K ∩ H K 1 。从而对充分大的 x ,有
P ( S η ( x ) ∈ x + Δ T ) = K 1 ( x + Δ T ) + ( ∫ − ∞ h ( x ) + ∫ h ( x ) x − h ( x ) + ∫ x − h ( x ) x ) P ( S ′ η ′ ( x − y ) ∈ x − y + Δ T ) K 1 ( d y ) = : K 1 ( x + Δ T ) + ∑ i = 1 3 J i ( x ) (2.1)
由于 K 1 ∈ L 且 K 1 ¯ ( x ) = O ( 1 ) K ¯ ( x ) ,则
K 1 ( x + Δ T ) = o ( 1 ) K 1 ¯ ( x ) = o ( 1 ) K ¯ ( x ) (2.2)
由于 { S ′ n , n ≥ 1 } 为零延迟的随机游动且 K ∈ S * ,从而由引理2.2知
P ( S ′ η ′ ( x ) ∈ x + Δ T ) ~ C 1 K ¯ ( x ) (2.3)
其中, C 1 = ( ( 1 − q ) − 1 ∫ 0 T K + ¯ ( y ) d y + T ) m − 1 。从而由(2.3)及 K ∈ L 知
J 1 ( x ) ~ C 1 ∫ − ∞ h ( x ) K ¯ ( x − y ) K 1 ( d y ) ~ C 1 K ¯ ( x ) . (2.4)
对于 J 2 ( x ) ,由于 K 1 ¯ ( x ) = O ( 1 ) K ¯ ( x ) ,从而由(2.3),引理2.1,分部积分及 K ∈ S * ⊂ S 知,
J 2 ( x ) ~ C 1 ∫ h ( x ) x − h ( x ) K ¯ ( x − y ) K 1 ( d y ) ≤ C 1 ( K ¯ ( x − h ( x ) ) K 1 ¯ ( h ( x ) ) + ∫ h ( x ) x − h ( x ) K 1 ¯ ( x − y ) K ( d y ) ) = O ( 1 ) ( K ¯ ( x − h ( x ) ) K 1 ¯ ( h ( x ) ) + ∫ h ( x ) x − h ( x ) K ¯ ( x − y ) K ( d y ) ) = o ( 1 ) K ¯ ( x ) (2.5)
对于 J 3 ( x ) ,由 K 1 ∈ L 及 K 1 ¯ ( x ) = O ( 1 ) K ¯ ( x ) 知,对充分大的 x ,
J 3 ( x ) ≤ K 1 ¯ ( x − h ( x ) ) − K 1 ¯ ( x ) = o ( 1 ) K 1 ¯ ( x ) = o ( 1 ) K ¯ ( x ) (2.6)
从而由(2.1),(2.2),(2.4)~(2.6)知,(1.1)成立。
江苏省大学生实践创新训练计划项目资助(项目号:201710332029Y)。
胡甜甜,吉正敏,毛砚竹,王开永. 延迟随机游动的超出的局部渐近性质 The Local Asymptotics of the Overshoot of a Delay Random Walk[J]. 统计学与应用, 2019, 08(02): 370-374. https://doi.org/10.12677/SA.2019.82041