本文对场代数的弱局部性进行了研究,给出了一个具体的例子,用于比较算子的弱局部性与非局部性。对场代数关于其双边理想做商得到商空间,并探究了场代数商空间的若干基本性质。 In this paper, we investigate the weak locality of a field algebra and give a concrete example which relates to weak locality and non-locality. The quotient space of a field algebra is obtained by its bilateral ideals. Finally, some theorems on the quotient space of a field algebra are explored.
陈晓培,王宪栋
青岛大学数学与统计学院,山东 青岛
收稿日期:2019年11月3日;录用日期:2019年11月22日;发布日期:2019年11月29日
本文对场代数的弱局部性进行了研究,给出了一个具体的例子,用于比较算子的弱局部性与非局部性。对场代数关于其双边理想做商得到商空间,并探究了场代数商空间的若干基本性质。
关键词 :场代数,顶点代数,弱局部性,双边理想,商空间
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场代数是顶点代数概念的“非局部性”推广。在顶点代数的定义中,局部性是一个基本的条件,把它换成较弱的结合性条件,将得到一个新的代数结构——场代数。由于场代数与顶点代数之间有着如此密切的联系,对场代数的研究将有助于更好的理解顶点代数及其相关领域。
在文献 [
本文假设所讨论的向量空间与各种代数结构都是指某个固定的域F上的,F可以是一般的域,必要时还可以假定它是复数域,从而保障线性变换特征值与特征向量的存在性。关于顶点代数的系统讨论,以及本文用到的一些术语与记号,参见文献 [
设V是一个向量空间, 0 ≠ | 0 〉 ∈ V ,若有线性映射:
Y : V → g l f ( V ) = { a ( z ) = ∑ n ∈ Z a n z − n − 1 ; a n ∈ E n d V , n ∈ Z } a → Y ( a , z )
及自同态 T ∈ E n d V ,使得下列条件成立:
1) 真空性 Y ( | 0 〉 , z ) = I V , Y ( a , z ) | 0 〉 = a + T ( a ) z + ⋯ ∈ V 〚 z 〛 ,其中 I V ( ∈ E n d V ) 是恒等变换;
2) 平移不变性 [ T , Y ( a , z ) ] = Y ( T a , z ) = ∂ z Y ( a , z ) (称T是V上的平移算子);
则称三元组 ( V , | 0 〉 , Y ) 是态场对应。
进一步,若态场对应 ( V , | 0 〉 , Y ) 满足结合性公理:对 a , b , c ∈ V ,有
( z − w ) N Y ( Y ( a , z ) b , − w ) c = ( z − w ) N i z , w Y ( a , z − w ) Y ( b , − w ) c , N ≫ 0 ,
则称三元组 ( V , | 0 〉 , Y ) 为场代数。
定义2.1 [
定义2.2 [
( z − w ) N [ Y ( a , z ) , Y ( b , w ) ] = 0 ,
其中 [ Y ( a , z ) , Y ( b , w ) ] = ∑ n , m ∈ Z [ a n , b m ] z − n − 1 w − m − 1 ,则称 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是相互局部的。
定义2.3 [
设V是域F上的向量空间,定义V上的算子向量空间
g l f ( V ) = { a ( x ) = ∑ n ∈ Z a n x − n − 1 | a n ∈ E n d V ; ∀ v ∈ V , a n v = 0 , n > > 0 } ,
其加法和数乘运算都是自然定义的。称 g l f ( V ) 是向量空间V上的场空间,其中的元素 a ( x ) 为V上的场或算子。定义 g l f ( V ) 上的双线性n-运算如下:
n : g l f ( V ) × g l f ( V ) → g l f ( V ) ( a ( x ) , b ( x ) ) → a ( x ) n b (x)
a ( x ) n b ( x ) = Re s x 1 { ( x 1 − x ) n a ( x 1 ) b ( x ) − ( − x + x 1 ) n b ( x ) a ( x 1 ) }
此时, g l f ( V ) 是F上的非结合代数,其中的算子也称为是下方截断的,见文献 [
引理3.1:定义算子 a ( z ) ∈ E n d V 〚 z , z − 1 〛 ,使得 a ( z ) 的系数 a 0 , a 1 , ⋯ , a N 与 b ( z ) 的任何系数可交换,则有 Re s ( z − w ) N [ a ( z ) , b ( w ) ] = 0 。此时,算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是N-弱局部的。
进一步,若还有 a N + j = 0 , j ≥ 1 ,则算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是弱局部的。
证明:设 a ( z ) = ∑ n ∈ Z a n z − n − 1 , b ( z ) = ∑ m ∈ Z b m z − m − 1 ,其中 a n , b m ∈ E n d V , ∀ n , m ∈ Z 。根据引理的条件,有下列等式:
Re s z ( z − w ) N [ a ( z ) , b ( w ) ] = Re s z [ ∑ i = 0 N ( − 1 ) i z N − i w i ∑ n , m ∈ Z [ a n , b m ] z − n − 1 w − m − 1 ] = Re s z [ ∑ i = 0 N ( − 1 ) i ∑ n , m ∈ Z [ a n , b m ] z N − i − n − 1 w i − m − 1 ] = Re s z [ ∑ i = 0 N ( − 1 ) i ∑ n , m ∈ Z [ a N + n − i , b m + i ] z − n − 1 w − m − 1 ] = ∑ i = 0 N ( − 1 ) i ∑ m ∈ Z [ a N − i , b m + i ] w − m − 1 = 0
即,等式 Re s z ( z − w ) N [ a ( z ) , b ( w ) ] = 0 成立,算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是N-弱局部的。
定理3.2:设算子 a ( z ) , b ( z ) 如上,且 b ( z ) 是下方截断的。若有正整数 N 1 使得 b N 1 ≠ 0 , b N 1 + j = 0 , ∀ j = 1 , 2 , ⋯ ,且算子 a ( z ) 满足条件:对任意的正整数 N 2 ,存在非负整数n,使得系数 a N 2 + n 与 b N 1 不可交换,则 ( a ( z ) , b ( z ) ) 不是局部的。
证明:对任意正整数 N 2 ,要证明 ( z − w ) N 2 [ a ( z ) , b ( w ) ] ≠ 0 。根据前面的计算式,只要证明
∑ i = 0 N 2 ( − 1 ) i [ a N 2 + n − i , b m + i ] ≠ 0 , ∃ n , m ∈ Z
选取 m = N 1 ,上述不等式化简为 [ a N 2 + n , b N 1 ] ≠ 0 。再根据定理条件: a N 2 + n 与 b N 1 不可交换,前面的不等式确实成立,从而算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 不是局部的。
注记:上述定理中的 a ( z ) 不具有下方截断性。若要求 a ( z ) 满足下方截断性,可选取正整数 K > N 1 ,使得 a K ≠ 0 ,且 a K + j = 0 , j ≥ 1 。此时,对任意的正整数 N 2 及整数k,满足: 0 ≤ k ≤ N 2 ,使得 a N 2 + n − k ≠ 0 ,且 a N 2 + n − k + j = 0 , j ≥ 1 ,这里 n = k − N 2 + K 。取 b N 1 ,使它与 a K 不可交换。再令 m = N 1 − k ,则有下列式子:
[ a N 2 + n − k , b m + k ] = [ a N 2 + n − k , b N 1 ] ≠ 0 ,
从而有
∑ i = 0 N 2 ( − 1 ) i [ a N 2 + n − i , b m + i ] = [ a N 2 + n − k , b m + k ] ≠ 0.
因此,算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 不是局部的。
下面我们以二阶矩阵为例,给出一个具体的例子。
例3.3:1) 构造算子 a ( z ) :当 s < 0 时, a s 为任意矩阵。当 0 ≤ s ≤ N 1 时,令 a s = ( b s 0 0 b s ) , b s ∈ F 。当 N 1 + 1 ≤ s ≤ K ,令 a s = ( s s 0 s ) 。当 s ≥ K + 1 ,令 a s = 0 。2) 构造算子 b ( z ) :当 s < N 1 时, b s 为任意矩阵。当 s = N 1 时, b N 1 = ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) , b 21 ≠ 0 或者 b 12 ≠ b 22 。当 s > N 1 时, b N 1 + j = 0 , j ≥ 1 。此时, ( s s 0 s ) ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) ≠ ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) ( s s 0 s ) 。因此, ( a ( z ) , b ( z ) ) 是 N 1 -弱局部的,但是它们不是局部的。
讨论算子的弱局部性是为了构造场代数,而局部性的研究是顶点代数要面临的问题。下面的例子给出了一些说明,其详细讨论见文献 [
例3.4:设子空间W是向量空间 g l f ( V ) 的一个弱局部子空间,它包含恒等变换 I ( x ) = I d V ,且对n运算封闭,则 ( W , Y , I ( x ) ) 是一个态场对应。这里线性映射 Y : W → E n d W 〚 z , z − 1 〛 定义如下:
Y ( a ( x ) , z ) = ∑ n ∈ Z a ( x ) n z − n − 1 ,
其中 a ( x ) n b ( x ) 定义如上。若 ( W , Y , I ( x ) ) 满足结合性公理,则它是场代数。若还满足弱局部性,则它是强场代数。
引理3.5:设 ( V , | 0 〉 , Y ) 是场代数,I是V的T不变的双边真理想,则 ( V / I , [ | 0 〉 ] , Y ˜ ) 也是一个场代数。相应的线性映射可以如下给出:
Y ˜ : V / I → E n d ( V / I ) 〚 z , z − 1 〛 [ u ] → Y ( [ u ] , z ) = ∑ n ∈ Ζ [ u ] n z − n − 1 , n ∈ Z , u ∈ V
证明:1) 合理性:商空间 V / I 中的n运算定义为: [ u ] n [ v ] = [ u n v ] , ∀ u , v ∈ V 。若 [ a ] = [ b ] , [ u ] = [ w ] ,则 a − b ∈ I , u − w ∈ I ,I是V的双边理想,必有 ( a − b ) n u ∈ I , b n ( u − w ) ∈ I 。
a n u − b n w = a n u − b n u + b n u − b n w = ( a − b ) n u + b n ( u − w ) ∈ I ,
于是, [ a n u ] = [ b n w ] ,运算的定义是合理的。
2) 真空性: Y ( [ | 0 〉 ] , z ) = I V / I , Y ( [ a ] , z ) | 0 〉 = [ a ] + T ( [ a ] ) z + ⋯ ∈ V / I 〚 z 〛 ,其中 I v ∈ E n d V 是恒等变换。
3) 平移不变性: [ T , Y ( [ a ] , z ) ] = Y ( T [ a ] , z ) = ∂ z Y ( [ a ] , z ) ,T是 V / I 上的平移算子。
4) 因为 ( V , | 0 〉 , Y ) 是场代数,对所有的 a , b , c ∈ V ,有下列结合性等式:
( z − w ) N Y ( Y ( a , z ) b , − w ) c = ( z − w ) N i z , w Y ( a , z − w ) Y ( b , − w ) c , N ≫ 0
( z − w ) N Y ( ∑ n ∈ Z a n b z − n − 1 , − w ) c = ( z − w ) N i z , w ∑ m ∈ Z a m ( z − w ) − m − 1 ∑ k ∈ Z b k c ( − w ) − k − 1
将上式变形,得到下列等式:
( z − w ) N ∑ s , n ∈ Z ( a n b ) s c z − n − 1 ( − w ) − s − 1 = ( z − w ) N i z , w ∑ m , k ∈ Z a m ( b k c ) ( z − w ) − m − 1 ( − w ) − k − 1 .
对商空间 V / I 中的任意元素 [ a ] , [ b ] , [ c ] ,必有
( z − w ) N ∑ s , n ∈ Z ( [ a ] n [ b ] ) s [ c ] z − n − 1 ( − w ) − s − 1 = ( z − w ) N i z , w ∑ m , k ∈ Z [ a ] m ( [ b ] k [ c ] ) ( z − w ) − m − 1 ( − w ) − k − 1
( z − w ) N Y ( Y ( [ a ] , z ) [ b ] , − w ) [ c ] = ( z − w ) N i z , w Y ( [ a ] , z − w ) Y ( [ b ] , − w ) [ c ] , N ≫ 0
故 ( V / I , [ | 0 〉 ] , Y ) 也是一个场代数。
可以按照通常的方式定义场代数的同态,并且同态的核是理想,同态的像是场代数。
引理3.6:场代数的同态基本定理:设 f : V → W 是场代数 V , W 之间的同态,I是V的一个理想,并且 I ⊂ ker f ,则有唯一的场代数同态 f ˜ : V / I → W ,使得 f ˜ π = f 。这里 π : V → V / I , a → [ a ] 是典范同态,而 f ˜ ( [ a ] ) = f ˜ π ( a ) = f ( a ) , ∀ a ∈ V 。
特别,若 I = ker f ,则 f ˜ 是单射,此时 f ˜ : V / I → Im f 是同构。
证明:
1) 令 f ˜ ( [ x ] ) = f ( x ) , ∀ x ∈ V 。映射 f ˜ 定义合理:若 [ a 1 ] = [ a 2 ] ,即 a 1 ~ a 2 , a 1 − a 2 ∈ I ⊂ ker f ,有
f ( a 1 − a 2 ) = 0 。 f ( a 1 ) = f ( a 2 ) , f ˜ ( [ a 1 ] ) = f ˜ ( [ a 2 ] ) 。
2) f ˜ 是同态: V / I → W 。首先,它是向量空间的线性映。另外,它保持n运算:
f ˜ ( [ | 0 〉 ] ) = | 0 〉 , f ˜ ( [ a ] n [ b ] ) = f ( a n b ) = f ( a ) n f ( b ) = f ˜ ( [ a ] ) n f ˜ ( [ b ] ) .
3) 由 f ˜ 的定义直接看出: f ˜ π = f 。
4) 唯一性:若还有另外一个同态 g : V / I → W ,使得 g π = f 。则 ( g π ) ( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ V 。即 g ( [ x ] ) = f ( x ) , ∀ [ x ] ∈ V / I 。由此可知, g = f ˜ 。
5) f ˜ : V / I → Im f 是双射:由定义直接看出。因此, f ˜ : V / I → Im f 是场代数的同构映射。
引理3.7:设 ( V , | 0 〉 , Y ) 是场代数,I是V的真理想,则商代数 V / I 的理想构成的集合B与V包含I的理想构成的集合A之间有一一对应。特别地, V / I 的理想形如 L / I ,这里L是V的包含I的理想。
证明:考虑典范态场对应同态 π : V → V / I , a → [ a ] ,由此定义集合之间的映射
σ : A → B , L → π ( L ) = L / I .
1) σ 是单射:设理想 L 1 , L 2 ∈ A ,且 L 1 / I = L 2 / I 。 ∀ a ∈ L 1 ,必有
2)
因此,
引理3.8:设
证明:由双边理想的定义可以验证
陈晓培,王宪栋. 场代数弱局部性与商空间的研究On the Weak Locality of a Field Algebra and Its Quotient Space[J]. 理论数学, 2019, 09(09): 1108-1113. https://doi.org/10.12677/PM.2019.99136